高中数学88个常用公式及结论总结

1、高中数学常用公式及结论1元素与集合的关系：xA x CU A, x CU Ax A.£ A A2集合a1,a2/-.an的子集个数共有2n个；真子集有2n 1个；非空子集有2n 1个；非空的真子集有2n 2个.3二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式 f(x) ax2 bx c(a 0);(2) 顶点式f (x) a(x h)2 k(a 0)；当抛物线的顶点坐标 (h,k)时，设为此式(3) 零点式f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)；当抛物线与 x轴的交点坐标为(x1,0),( x2,0)时, 设为此式4切线式：f(x) a(x X。)2 (kx d),(a 0)。当

2、抛物线与直线y kx d相切且切点的横坐标为x时，设为此式4真值表：同真且真，同假或假5常见结论的否认形式；原命题互逆逆命题假设p那么q*假设q那么为为逆否命题1 F逆否命题假设非p那么非q互逆假设非q那么非P逆原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是:不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有n 1个小于不小于至多有n个至少有n 1、个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或 q6四种命题的相互关系(以下图):原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假充要条件：(1)、2、q，那么P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件

3、； q，且qz > p，那么P是q的充分不必要条件；P,且q p，那么P是q的必要不充分条件；p，且q丰> p,那么P是q的既不充分又不必要条件。7函数单调性：增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。2、数学符号表述是：设fx在x D上有定义，假设对任意的x1,X2 D,且x1 X2，都有f(x1) f(x2)成立，那么就叫fx、在x D上是增函数。D那么就是fx、的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。2、数学符号表述是：设 fx在x D上有定义，假设对任意的 Xi,x2 D,且x, x2，都有f(xi) f(x2)成立，那么就叫fx在x D上是减函数

4、。D那么就是fx的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；2、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f (x)0 ,那么f(x)为增函数；如果f (x)0 ,那么f (x)注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：函数-j单调单调性内层函数fJ外层函数J1 f复合函数fJJ等价关系:(1)设N，X2a, b , %x2 那么(X1X2)f(X1) f(X2)0f(X)f(X2)0f(x)在 a,b上是增函数;X1X2(X1X2)f (X

5、1) f(X2)0f (X1)f(X2)0f (x)在a, b上是减函数为减函数8函数的奇偶性:奇函数：注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称定义：在前提条件下，假设有f( x)f (x)或仁x) f (x) 0，那么f X就是奇函数。性质：1、奇函数的图象关于原点对称；2、奇函数在x>0和x<0上具有 相同的单调区间;3、定义在R上的奇函数，有f 0=0.偶函数:定义：在前提条件下，假设有 f( x) f(x)，那么f x就是偶函数。性质：1、偶函数的图象关于 y轴对称；2、偶函数在x>0和x<0上具有 相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)、奇函数偶函

6、数=奇函数；2、奇函数奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数偶函数=偶函数；(4)、奇函数土奇函数=奇函数也有例外得偶函数的(5)、偶函数土偶函数=偶函数；(6)、奇函数土偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.9函数的周期性：定义：对函数fx，假设存在T 0，使得fx+T=fx，那么就叫f x是周期函数，其中，T是f x的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：、f x+T= - f x，此时周期为2T ；2、 fx+m=f x+n，此时周期为 2 m

7、n ；、f(x m)，此时周期为f(x)2m10常见函数的图像:111213对于函数y f(x)(个函数y f (x a)与y分数指数幕与根式的性质:m(1) a7 namm 12a n -m _ a下 (na)n a.34y*a<0a>02 .y=Wx +bx+cR), f(x a)y.I,yy=ax0<a<1a>11oxf (b x)恒成立，那么函数f (b x)的图象关于直线a 0,m, n N，且 n1a 0, m, n Nn mQa当n为奇数时，n/指数式与对数式的互化式，且a ；当n为偶数时,|a|loga N bN (ay=log ax0<a&

8、lt;11a>1f (x)的对称轴是b a对称.2a, aa,a0,a1,N0).指数性质:(1) 1、02、aa 0、mn / m、na (a )(4)指数函数:s(a 0, r, s Q)、manxa (a1)在定义域内是单调递增函数;2、y ax(0 a 1)在定义域内是单调递减函数。注：j指数函数图象都恒过点0.，11对数性质：M(1)、 loga M loga N lOga(MN ) ； 2、 loga M log a N loga一 ；N(3)、 logabm m logab ; (4)、logambn loga b ；(5)、 loga1 0m(6)、logaa 1；(7)

9、、alogabb对数函数：、y loga x(a 1)在定义域内是单调递增函数；2、y loga x(0 a 1)在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点-丄1,0.、loga x 0 a,x (0,1)或 a, x (1,)、logax 0 a(0,1)那么x (1,)或 a (1,)那么x (0,1)14 对数的换底公式：logaN logm N ( a 0,且 a 1, m 0,且 m 1, N 0). log ma对数恒等式：alogaNN ( a 0,且 a 1, N 0).推论 logambn -logab( a 0,且 a 1, N 0). m15对数的四那么运算法那么

10、：假设a>0,1, M>0, N> 0，贝UM(1) loga(MN ) loga M log a N ; loga loga M log a N ;N(3) log a M n n logaM(n R) ; (4)log am N n loga N(n,m R)。m16平均增长率的问题负增长时p 0：如果原来产值的根底数为N,平均增长率为p，那么对于时间x的总产值y，有y N(1 p)x.17等差数列：1ana1(n 12推广anak3anSnSn 1(n1Sn门an)22Snnn(n23SnSn 1an(n4Sna1a2 -1、假艮设m+n=p+q ,通项公式:前n项和:

11、常用性质:，其中a1为首项，d为公差，n为项数，an为末项。(n k)d2)1)d2)an那么有注：该公式对任意数列都适用a1为首项，n为项数，an为末项。注：该公式对任意数列都适用注：该公式对任意数列都适用aman ap aq ；注：假设am是an, ap的等差中项，那么有 2 am a* ap n、m、p成等差。ab(1 b)元(贷款a元,n次还清，每期利率为b).(1 b)n 13an为等差数列，Sn为其前n项和，贝U Sm, S2m Smm S?m也成等差数列。4aPq,aqp,那么ap q0 ；5、1+2+3+ +n= n(n 1)2等比数列：通项公式：1、ann 1a1a1qqnq

12、 (n*N )，其中a1为首项，n为项数，q为公比。2推广：ran ak qi k3aSnSn 1 (n2)注:该公式对任意数列都适用前n项和:1SnSn 1an(n2)注：该公式对任意数列都适用2&aa?an注:该公式对任意数列都适用na1(q1)3Sna" qn)1 q(q1)常用性质：1假设m+n=p+q ,那么有am ar1a p aq；注:假设aan，a p2的等比中项，那么有 am an apn、m、p成等比。2假设 an、bn为等比数列，那么 an bn为等比数列。18分期付款(按揭贷款)：每次还款x19三角不等式：1假设 x (0,)， 贝U sin x x

13、tan x.2(2) 假设 x (O，)，那么 1 sinx cosx 2.(3) |sinx| |cosx| 1.20同角三角函数的根本关系式：sin2cos21, tan =sin ,cos21正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变，符号看象限22和角与差角公式sin( ) sin cos cos sin ； cos( ) cos cos 丰 sin sin2324tan(a sin辅助角) tan tan1 Tta n tanbcos = .a b sin( )所在象限由点a,b的象限决定,tan二倍角公式及降幕公式sin 2cos2tan 22 sinsin cos2 cos2 sinb-).

14、a2 tantan22cos211 2si n22ta n1 tan21 cos2 ,cos2tansin 21 cos21 tan21 tan21 cos2sin 21 cos 2三角函数的周期公式函数 y sin x , x 2T ；函数 y tan x | |三角函数的图像：及函数cos( x )y=s inx1-n23n/2,.k.-2 n -3 n2- n7on2nMx- 2 n 丿x,x RA, 3 , 为常数，且 心0的周期y=cosx -1'1-X.-_2 n -3 M2- n-M2on/2n3d22 nl-1xZA, 3 ,为常数，且心0的周期T|25正弦定理absi

15、n A sin B a 2Rs inA,bc2R R为 ABC外接圆的半径.sin C2Rsin B,c2Rs inCa : b : csin A:sin B : sin C26余弦定理：2 2a b2 2c 2bccosA; bc2 a2 2cacosB; c2a2 b22abcosC .27面积定理：1S2aha»hb?hchc分别表示a、b、c边上的高112Sabs in Cbcsi nA221 ca sin B2 Soab 2 (|°A| |OB |)22(°A °B)2Sab c斜边r内切圆,，直角内切圆ha、hb、a b c228三角形内角和

16、定理：在厶ABC中，有A BCC(A B)CA B2C 22(AB).2 2 229实数与向量的积的运算律:设入、i为实数，那么：1结合律：入a =入口 a ;2第一分配律：入 + 1 a= a + i a；(3)第二分配律：入(a+b)=入a +入b .30 a与b的数量积(或内积)：a b =| a | b | cos31平面向量的坐标运算：(1)设 a = (X1,yJ , b =(X2, y2)，那么 a + b = (X1X2, y1y2).设 a =(x1,yJ , b =(X2, y2)，那么 a- b = (X1X2, y1y2). 设 A(x1,yJ , B(x2,y2),那

17、么 AB OBOA(X2X1,y2 %)设 a=(x, y), R，那么 a = ( x, y).!*(5)设 a=(,y1), b =(x2, y2)，那么 a b =曲2 yy).X1X2y232两向量的夹角公式：2_2 _2 ( a = (X1, yj，b =(X2,y2) y1、化 y2a b cos|a| |b|33平面两点间的距离公式：dA,B=|AB| sAB AB 弋_(y2_(A(Xi,yJ , B(X2,y2).34向量的平行与垂直：设a = (x1, y1), b =(x2,y2)，且b 0，那么：a| bb=入aX2 X2%0 交叉相乘差为零a b (a0)Ta b =

18、0x1x2 y1y20 .对应相乘和为零35线段的定比分公式:设PX, yj ,F2(x2, y2) , P(x, y)是线段 PP2 的分点，是实数，且XXX2RPRP2，那么1OPOP OR,wy21y11OP tOR (1 t)OF2 t 136三角形的重心坐标公式： ABC三个顶点的坐标分别为 A(X1,y 1)、B(X2$2)、C(X3,y 3),那么厶ABC的重心的坐标是G(Xy1y2y3)3A, B,C所对边长分别为 a, b,c，那么1O为ABC的外心OAOB OC .2O为ABC的重心OAOB OC 0.3O为ABC的垂心OA OB OB OCOC OA4O为ABC的内心aO

19、AbOB cOC0.5O为ABC的 A的旁心aOA bOBcOC.37三角形五“心向量形式的充要条件： 设O为 ABC所在平面上一点，角2 2 238常用不等式：1a,b Ra2 b2 2ab(当且仅当 a = b 时取“=号).2a,b R 匕 .ab (当且仅当a = b时取“=号).3333abc3abc(a0,b0,c0).4abab ab .5-2ab 、需以 9 b (当且仅当a= b时取“=号)。 a b2 V 239极值定理：x, y都是正数，那么有1假设积xy是定值p，那么当x y时和x y有最小值2、p ;1 22假设和x y是定值s，那么当x y时积xy有最大值丄s2.4

20、3a,b,x,yR ,假设axby1那么有1 1(ax by)(-丄)abby axa b 2 . ab (、a 、b )2。x yxyx y4a,b,x,yR ,假设ab1那么有xyx ya(x y)(-b)» abaybx ab 2 ab (、_a . b)2xy"xy40 元二次不等式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0, b2 4ac 0)，如果a与ax2 bx c同号，那么 其解集在两根之外； 如果a与ax2 bx c异号，那么其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异 号两根之间.即：x-1xx2(xx-1)(xx2)0(x1x2)；x x-1,或x x2

21、 (x x-1 )(x x2)0(x-| x2).41含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有xxa a2 X2 X2 a2 aaXx a.a或xa42斜率公式:ky2y1RXyj、P2(X2 , y2 )丨.X2X143直线的五种方程：1点斜式 y y k(x为)(直线l过点R(X1,y1)，且斜率为k).2斜截式 y kx b(b为直线l在y轴上的截距).3两点式-xL(y1y2)(R(X1,yJ、P2(x2, y2)(x!x?, %y?).y2 y1x X1两点式的推广：(X2 x,)(y %) 皿 yj(x xj 0无任何限制条件！(4)截距式Xy1( a、b分别为直线的横、纵截距

22、，a 0、b0)ab5一般式AxBy C 0(其中A、B不同时为0).直线AxByC 0的法向量：I(AB)，方向向量：I(B,A)44夹角公式：(1)tan | k2k1|. (I1 ： ybi, I2: yk2Xb2 ,和21)1k2kA1 Bo A2B1tan| - |.(l1：Ax By G 0,l2: A,x B?y C? 0,人民 3B2 0).A1A2 B1B2直线l1 l2时，直线11与l2的夹角是1 2 2h到l2的角公式：k2 &(l)tan一 .(li：ykixbi,I2: yk?xb2, k1k21)1 k2kiAB2 A2B1 tan 一 .(11:A1XBC

23、10,12 : A2XB?yC20,a1a2b1B20).A1A2 B1 b2直线1112 时,直线h到l2的角是-.| Ax0 By0 C |(点 P(X0,y°),直线 l : Ax By C 0).1圆的标准方程(xa)2(yb)22 r .2圆的一般方程2 x2yDxEyF0 ( D2 E2 4F >0).xarcos3圆的参数方程ybrsi n4圆的直径式方程(xxj(x x?)(yyj(yy2 0圆的直径的端点是点到直线的距离圆的四种方程:P(x°, y°)与圆(x点与圆的位置关系：点a2y b2 r2的位置关系有三种：假设 d . a x02

24、b d r 点P在圆上； 直线与圆的位置关系：直线Aa Bb C：d:、A Bd r 相离两圆位置关系的判定方法外离外切r1A椭圆4冷、B冷,y2.2y_b22y°)，那么 ddByAx点P在圆外； 点P在圆内.0与圆x a2y b2 r2的位置关系有三种A D内切2 内含1(a准线到中心的距离为0； d r:设两圆圆心分别为4条公切线；3条公切线；相交2条公切线；1条公切线；无公切线.相切O,0; d rQ，半径分别为相交QQ1, 2,0.d，那么:内含 内切相交外切相离9a*»O d r2-r| 一 d一 r1+i2 d db 0的参数方程是a cosc. 离心率e b

25、sinaoc1a：,2，焦点到对应准线的距离焦准距pc过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:x2椭圆右a2 y b21a b 0焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积2a、)a ex， c2ae( x) a ex ； S 尸压 c|yP | cb2tan EPF o2椭圆的的内外部4546474849505152535455561点P(x0,y0)在椭圆2点P(xo,yo)在椭圆椭圆的切线方程2椭圆X(1)23椭圆2ax2双曲线冷a2 ab22可xyJ 2 ab222xy1外一点2 yb22准线的距离焦半径公式(焦准距)2xa2xa1(a b1(a b0,b2勒Kab2書Kab0)上一点

26、b 0)的内部b 0)的外部2X。a2x02西1 b22 西1 b21.x°xy°y 1P(x0, y0)处的切线方程是22a bx°xy°y 1P(x°,y°)所引两条切线的切点弦方程是2a b0)与直线Ax By0)的离心率e -aC 0相切的条件是 A2 a21号，准线到中心的距离为b2p 一。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为: c2aPF1 |e(x -)1 |a两焦半径与焦距构成三角形的面积双曲线的方程与渐近线方程的关系y2(1丨假设双曲线方程为2x2ab2(2)假设渐近线方程为bxaex|， PF2 |e( x) |

27、 |a ex|，S F1PF22(3)假设双曲线与笃acb2cot 工。渐近线方程:双曲线可设为2y2 y_ b20 ,焦点在x轴上，(4)焦点到渐近线的距离总是 57双曲线的切线方程x2(1)双曲线a2x2a0 ,焦点在y轴上b 。1有公共渐近线，可设为2y_b22y21(a0,b0)上一点P(x°,y°)处的切线方程是bx°xa2x过双曲线耸a23双曲线x?a2占 1外一点P(x0, y0)所引两条切线的切点弦方程是 b2 y 1与直线b2AxByC 0相切的条件是A2a258抛物线y22px的焦半径公式：抛物线y22px(p0)焦半径CFX。过焦点弦长CDx

28、1x22，焦点到对应c2b2.ax°x2aB2b2V0V 1 b2 1.二次函数y ax2bx c1顶点坐标为(b 2a(x )2a4ac b2、)；4ac b (a 0)的图象是抛物线: 4a3准线方程是b2a4ac b2 12焦点的坐标为(，2ab 4ac b 1)；4a4a直线与圆锥曲线相交的弦长公式或AB弦端点AB2 2X2)(y1 y2) (1 k )(X2 X1)4x2 X1|xi| y1 y21、1 cotA(Xi，yJ,B(X2，y2)，由方程kxyF(x,y)X21 1 tanb2消去y得到ax bx c 0 0为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率,0,证明直线与平面

29、的平行的思考途径1转化为直线与平面无公共点； :转化为线线平行；3转化为面面平行. 证明直线与平面垂直的思考途径1234转化为该直线与平面内任一直线垂直； 转化为该直线与平面内相交二直线垂直; 转化为该直线与平面的一条垂线平行； 转化为该直线垂直于另一个平行平面。证明平面与平面的垂直的思考途径：1转化为判断二面角是直二面角; 2转化为线面垂直；(3)转化为两平面的法向量平行。 向量的直角坐标运算：设 a = (a1.a2.a3),a + b = (aa - b = (a1b = (b1,b2,b3)那么:(1)bi,a2b2,a3b3)；| X!X21(X1 X2)2 4x1X2.bi,a2(

30、4)夹角公式:入 a = ( a1, a2, a3)I*"a b =叭 a2b2b2, a3(入b3)；R)；设 a = (aa2,a3), b = (b1,b2,b3)，那么 cosa,ba；a； , b2b；b异面直线间的距离d |CD n|(l1 ,l2是两异面直线，其公垂向量为 |n|点B到平面 的距离：d 1|n|n为平面的法向量，A球的半径是R,那么其体积V - R3,其外表积C、D 是 l1, l2上任一点，d 为 l1,，AB是的一条斜线段I2间的距离).5960616263646566676869球的组合体:(1)(2)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方

31、体的体对角线长 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长正方体的棱切球的直径是正方球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为12(正四面体高 丄6 a的1),外接球的半径为34分类计数原理加法原理：分步计数原理乘法原理丨：m1m1m2m2排列数公式：比=n(n 1)(n1)=n!6 亠 a (正四面体咼4mn.a 的 3).4n ) 规定 0!1.(n m)! m 1)n!*=(n N ,m! (n m)!cncncnv 规定 cn_ 2 n 2 2r n r. rbCna b(r 0,2 , n). anX

32、n的展开式的系数关系： a?(1)nanf ( 1); aoP(A + B)=P(A) + P(B).P(A1 + + + An)=P(A1) + 卩血)+ P(A. P(A B)= P(A) P(B).P(A1 A2 An)=P(A) P(A 2) P(A n). n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：Pn(k) C：Pk(1 P)n k.组合数公式：C组合数的两个性质二项式定理(a 二项展开式的通项公式f(x) (ax_ 阳 _ n(n=歹m:(1)b)nnb)ao(n1)mm n mCn =CnC0anTr 1a1x f(1); aoB分别发生的概率的和：；(2)C：an 1b C；a cnan a2x2rbrn!1.，且 m n )Cnbn ；a° a1 a?互斥事件A,n个互斥事件分别发生的概率的和: 独立事件A, B同时发生的概率：n个独立事件同时发生的概率：anf (0)。数学期望：EX1P