高中数学三角函数知识点及试题总结

1、高考三角函数1.特殊角的三角函数值:_ 0sin 0 = 0小0cos 0 = 1tan 00 = 01 sin3 00 =2cos3 00 =2tan3 0030 yf2sin 45 =2店V2cos 45 =2tan 450=1sin6 00 = "32 0 1 cos6 0 =20i-tan6 0 =J3sin9 00 =1 cos9 00 =0tan9 0无意义2.角度制与弧度制的互化：360° 2 ,180°003 004506009 00120013501500180027 003600023532643234623. 弧长与扇形面积公式弧长公式：I

2、.r扇形面积公式:S=-l.r2是圆心角且为弧度制。r 是扇形半径4. 任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点px,y, r= 、x2y2(1) 正弦sin =- 余弦cos =-正切tan =-rrx(2) 各象限的符号：kty 1卜y 1y+ 一+OfaxxO+O+sin cos tan5. 同角三角函数的根本关系:1平方关系：sin 2 + cos 2 =1。2商数关系：二tancos訂，k z6.诱导公式:看象限。记忆口诀：把k"2"的三角函数化为的三角函数，概括为:奇变偶不变，符号1 sin 2ksin,cos2kcos,tan2ktan k.2 sins

3、in,coscos,tantan3 sinsin ,coscos , tantan4 sinsin ,coscos ,tantan口诀：函数名称不变，符号看象限.5sin2cos,cos2sin6sin2cos,cos2sin .口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质二垢幽St7=sinxy= costy= t ariK图象in 3启抠丿A10NW住义域4-W)nn+)2值域【一期-LI(« *+ « )嶷丸小 值心当戸血+彳时 * Fhb<= 1 ：当K=為时， 丿5= 11当2Ab+ 出J,无8三角函数公式：两角和与差的三角函

4、数关系倍角公式sin()=sincos cos sincos()=coscos sin sin、tantantan(),1 tantansin2:cos2tan 2=2s in cos二coS2 -sin2=2cos2 -1=1-2s in22 ta n1 tan2降幕公式:升幕公式 ：1+cos =2cos2COS221-cos =2sin2 Sin 229.正弦定理 ：a b c1 cos221 cos 22sin A sin B sin C2R.余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA;2 2 2b c a 2ca cos B ；2 2 2cab 2abcosC ., 、 111 三角

5、形面积定理.S - absinC -bcsin2 2 21直角三角形中各元素间的关系：如图，在 ABC中, C= 90°, AB= c, AC= b, BC= a。1三边之间的关系：a2+ b2= c2。勾股定理兰 x= 2kTi 时，片血=1FnLjn= 1奇偶性奇函較偶函数奇函數周期性有界性育界W界无界单调性在的一y .2kn+ -上都2是増函教，在口肝+ -,2卄y 上都 是滅函熹在 K2kIX血e上都是階函骯在皿旣+1上郁是减函数往的I - 2 轴+中內都 是噌函数2锐角之间的关系： 阳B= 90°3边角之间的关系：锐角三角函数定义sin A= cos B= , c

6、os A= sin B= b , tan A=。 cb2斜三角形中各元素间的关系:在厶ABC中, A B C为其角，a、b、c分别表示 A、B、C的对边。 1三角形角和：A+ B+ C=n。2正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2R。a b csin A sin B sin CR为外接圆半径3余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍a2= b + c2 2bccosA； b2= c2 + a2 2cacosB； c2= a2 + b2 2abcosG3 三角形的面积公式：“= laha= Ibhb =丄 chc ha、hb、hc

7、 分别表示 a、b、c 上的高；2 2 2111B;absin C= bcsin A=acsin2222 2 2a sinBsinC b sinCsinAc sinAsinB3A=2si n(B C) 2 si n(C A)2si n(A B)4A= 2sin Asin Bsin C。 R为外接圆半径5A =abc4R 16A= . s(s a)(s b)(s c) ； s (a b c)；27A= r s。4解三角形：由三角形的六个元素即三条边和三个角中的三个元素其中至少有一个是边求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以与切圆半径、外接圆

8、半径、面积等等解三角形的问题一般可分正弦定理asin Ab csin B sin C2R R为外接圆半径；它们的变形形式有：2 2 2sin A ab c aa 2 R sin A, cos Asin B b2bc余弦定理c2=a2+b2 2bccosC, b2=a2+c2 2accosB, a2=b2+c2 2bccosA；5.三角形中的三角变换为下面两种情形：假设给出的三角形是直角三角形，那么称为解直角三角形；假设给出的三角形是斜三角形，那么称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设厶ABC勺三边为1角与角关系：a、b、c,对应的三个角为A、B、GA+BC=n ；2边与边关系：a + b &

9、gt; c, b + c > a, c + a > b, a b < c, b c < a, c a >3边与角关系:三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的 特点。1角的变换因为在 ABC 中，A+B+C=t,所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= tanC。.ABCAB. Csincos , cossin ;22 2 2面积公式2三角形边、角关系定理与面积公式，正弦定理，余弦定理。S = ah. = absinC = r2 4 2r为三角形切圆半径，p为周长之半。3在厶ABC中

10、，熟记并会证明：/ A, / B, Z C成等差数列的充分必要条件是/B=60° ABC是正三角形的充分必要条件是Z AZ B,Z C成等差数列且a, b, c成等比数列。 四【典例解析】题型1正、余弦定理2021 中第四次月考. ABC 中,AB a, AC b , a b 0, S ABC157，a 3, b 5，那么 BAC A.30 B150 C . 1500D30 或 1500答案C例 1. 1在 ABC 中,2在 ABC 中， 确到1cm。A 32.00, B 81.8° , a 42.9 cm,解三角形；a 20 cm, b 28 cm, A 40°

11、，解三角形角度准确到10，边长准例 2. 1在 ABC中, a 2 3 , c 6.2 , B 600，求 b 与 A;2在 ABC中，a 134.6cm , b 87.8cm , c 161.7 cm，解三角形 解析：1t b2 a2 c2 2accosB=(2 3)2 ( /62)22 2 3 ( 6.2) cos 450=12 C 62)2 4 3C 3 1)=8求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法cos A.2 2 2b c a2bc(2 2)2 ( .6 空)2 (2.3)22 2近(拓血)12, : A 6002由余弦定理的推论得:cos A.2 2 2b c a2bc8

12、7.82 161.72 134.622 87.8 161.70.5543,A 56 020 ;cos B2ca134.62 161.72 87.822 134.6 161.70.8398,B 32053 ;C 180° (A B) 180° (56°20 32°53)90°47.例 3 .在 ABC 中，si nA cos A , AC 2 , AB 3,求 tan A 的值和 ABC 2的面积。sin Acos A.2 cos(A45 )2cos(A45 )180 ,4560,A105.si nAS ABC例4.tan Asin105tan(

13、45sin(4560 )60)sin45 cos603,cos45 sin601 AC AB sin A22021卷文在锐角AC的取值围为.6) oABC 中，BC 1,B2A,那么AC的值等于cos A解析设 A,B 2 .ACBCAC 1sin 2sin '2cos由锐角ABC 得 0290又018039030AC2cos八 3).答案0此题总分值14分例 5.2021 理由正弦定理得2 (23)竺2.cos4560"，故 3045 cos2在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a满足cos 2A2yJ5A34>>解 1因为 cos, cos

14、A 2cos21 ,sin A ,又由 AB AC 3252551得 bc cos A 3, bc 5 , S ABC -bcsin A 222对于bc 5，又b c 6, b 5,c1或b 1,c5，由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos A 20， a 2 5例6.2021全国卷I理在 ABC中，角A、B C的对边长分别为a、b > c , a2 J 2b ,且 sinAcosC 3cos AsinC,求 b解法一：在 ABC中t、sin AcosC 3cos As in C,那么由正弦定理与余弦定理2 2 2 2 2 2有：- 3- *c,化简并整理得：2(a2 c2) b2.

15、又由2ab2bca2 c2 2b 4b b2.解得 b 4或b 0(舍)B c 例7. ABC的三个角为 A、B、C，求当A为何值时，cos A 2cos取得最大2值，并求出这个最大值。B+C n AB+C A解析：由 A+B+Cn，得 2，所以有 cos丁 =sin 。B+CA2AAA 1 2 3cosA+2cos =cosA+2sin =1 2sin 2 + 2sin q= 2(sin 2)+ 2 ；A 1nB+C，+3当sin § = ，即A=3时，cosA+2cos 取得最大值为2。例8 2021文此题总分值14分在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且A 2

16、庸满足 cos 一 , AB AC 3 .25I求 ABC的面积； II丨假设c 1，求a的值.2 A2 5 23解I cos A 2cos 12 ()1255又A(0, ) , si nA J1 cos24A ,而 AB.ACAB.AC.cos A-bc 3，所55以bc5，所以 ABC的面积为：1 1bcsin A 54 22 25n由I知 bc 5，而c1，所以b 5例9 在 ABC中, a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边长，a、b、c成等比数列，且 a2-c2=ac be,求/ A的大小与bsin B的值。ca、b、c成等比数列， b2=ac。2 2 2 2 2又 a c =

17、ac bc,. b +c a =bc。在厶ABC中，由余弦定理得:cos A=b22 2c a = bc =12bc 2bc 2Cl aCtan 3 tan tan 的值。2 2在厶 ABC中，由正弦定理得sin B=bsin A ,. b2=ac,/ A=60a.bsinB b2sin60 =si门60 °=_2。cac2a 例io.在厶abc中, A B C成等差数列，求tan2解析：因为A B、C成等差数列，又A C从而=60°，故tan2A+ B+ C= 180°，所以 A+ C= 120°,.3 .由两角和的正切公式，+ A * C tan t

18、an22AC1 tan tan 22Ac所以 tan tan 223 3tanAtan；tan2 tanf 3tan2tanl 3。例11.在 ABC中，假设2cos Bsin A= sinC ,那么 ABC的形状一定是A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sin AcosB= sin A+ B+ sin A B又 2sin AcosB= sin C, sin A B= 0, A= B例12. 2021卷文在 ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,且 sin A ,sin BTO5101求A B的值；II丨假设a b21，求a、

19、b c的值。解I A、B为锐角,sin A乎sin B.1010cos A .1 sin2 A2 5,cosB5.1 sin2 B3.10cos(AB) cos AcosB245sin Asin B3.10 1025105102/ 0A B- AB -4II丨由1知c 3 ,si nC42丄abc小由一得sin Asin Bsin C5a 10b2c,即 a 2b, c 5b又 a b2b ba . 2, c ，/521. 2021卷文在ABC 中，AB为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 A亦.sin A ，sin5B厘10I求 A B的值;II丨假设a1，求 a、b c的值。B

20、为锐角,sin A空 sin B5远10cos A 1 sin2 A二 cosB51 sin2 B3.1010cos(A B) cos A cos B sin A sinB2、553.10105 1025102/ 0 A BII丨由sinC 24由旦sin A5a 10bbsin B2c,即 a 2b, cC得sin C5b又 a b,2b b2 1 b 1五.【思维总结】1 解斜三角形的常规思维方法是：1两角和一边如 A B、C，由A+B+C= n求C,由正弦定理求 a、b；2两边和夹角如 a、b、c，应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所 对的角，然后利用 A+BC = n,求另

21、一角；3两边和其中一边的对角如 a、b、A，应用正弦定理求 B,由A+申C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况；4三边a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由A+BC= n ,求角G2. 三角形切圆的半径:2Sr 一，特别地, a b ca cosC c cos A ,sin Asin B ,3三角学中的射影定理：在 ABC中，b4两角与其正弦值：在厶 ABC中，A B5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形边对大角定理与几何作图来帮助理解1如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为A BCD2、右图所示的是函数图象的一局部，那么其函

22、数解析式是A.B. C .D .3、函数的最小正周期为，那么该函数图象A.关于直线对称B.关于点，0对称C.关于点，0对称D.关于直线对称4、由函数的图象A.向左平移个单位B向左平移个单位C.向右平移个单位D 向右平移个单位5、假设是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时A.在单调递增B 在单调递减C在单调递减D 在单调递增6、函数的最小正周期是，假设其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，那么的值为A .B .C.D .7、2021年高考新课标理,函数在上单调递减.那么的取值围是A .B .C .D .8、 2021年高考文函数的图像的一条对称轴是A.B C D 9、以下命题中的真命题是A.

23、函数单调递增 B.函数的最小正周期为2C. 函数的图象是关于点，0丨成中心对称的图形D. 函数的图象是关于直线x=成轴对称的图形10、，那么等于A .B .C . 5D. 2511、正六边形 ABCDE啲边长为1,那么的值为D. 112、平面向量，与垂直，那么是A. 1B. 2C. - 213、设 ''，r；11, O为坐标原点，假设 A、B C三点共线，那么的最小值是A. 2B . 4C. 6D . 814、设/POQ=60 在 OROQh分别有动点A,B,假设=6， OAB的重心是 G 那么|的最小值是()A.1B . 2C . 3D .415、假设是夹角为的单位向量，且，

24、那么二A.1B. 4C.D.16、 圆O的半径为，圆周上两点A、B与原点O恰构成三角形，那么向量的数量积是A.B.C .17、如图，点O是边长为1的等边 ABC的中心，那么等于A.B.C .D .18、2021年高考大纲文假设函数是偶函数,那么 A.B .C .D .19、假设0,且0,那么有在A.第:一象限B.第二象限C.第三象限限D第四象20、函数y=cosx(o x w,且 )的图象为j yj yj4 1产1i y0T *JL勺J，a_|-1si w AB<ID21、在中，角 A、B C的对边长分别为、，且 求b.22、函数.I 求函数的单调递增区间；H中，角所对的边长分别为，假设，求的面积.23、向量I丨假设，求的值；II丨记，在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值围。24、设=3,计算：1； 2 丨。25、向量,1当/时，求的值；2求在上的值域.26、函数 f(x)=I求函数f(x)的最小正周期与单调增区间；H假设函数f(x)的图像向右平移 m(m> 0)个单位后，得到的图像