高中数学不等式选修题型全归纳

1、6.不等式选讲6.1均值不等式在证明中的应用1.1 a,b R ,x, y求证:2y_b2实数x,y满足:2x2试利用丄的最小值。y21证：a b x ax2bx2a2aybx22xy2解当且仅当1 22 1y2 2x2 y222x2时,取等号；1 21 2 9，当且仅当y2122xy的最小值y2 1 时，考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2绝对值不等式单绝对值不等式x2 5x 4 x 02.函数f(x)假设函数y f(x) ax恰有4个零点，那么实数a2 x 2,x 0的取值范围为.答案：(1,2)解析：分别作出函数y f(x)与y a|x|的图像，由图知，a 0时，函数y

2、 f(x)与y a|x|无交点，a 0时，函数y f (x)与y a|x|有三个交点，故a 0.当x 0， a 2时，函数y f (x)与y a |x |有一个交点，当x 0， 0 a 2时，函数y f (x)与y a |x |有两个交点，当x 0时，假设yax与y x2 5x 4,( 4 x 1)相切，那么由0得：a 1或a 9舍，因此当x 0， a 1时，函数y f (x)与y a| x |有两个交点，当x 0， a 1时，函数y f (x)与y a|x|有三个交点，当x 0， 0 a 1时，函数y f (x)与y a| x|有四个交点， 所以当且仅当1 a 2时，函数y f(x)与y a

3、|x|恰有4个交点.考点：单绝对值不等式3.存在x 0 ,使得不等式x2 2 x t|成立，那么实数t的取值范围为答案：9,24解析：不等式x2 2 |x t| ,即|x t 2 x2，令yi x t,yi的图象是关于x t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象 限；Y2 2 x2，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x 0，使不等式x t 2 x2成立，那么yi的图象应该在第二象限和y2的图象有交点,两种临界情况，当t 0时,yi的右半局部和y2在第二象限相切:yi的右半局部即yix t ，联列方程y x ty 2 x2，只有一个解；即 x t 2 x2 ，即 x2 x

4、 t 2 0 ,1 4t 8 0，得：t此时力恒大于等于y2 ,所以t 9取不到；4所以9 t 0 ；4当t 0时，要使和y2在第二象限有交点，即的左半局部和y2的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要与y轴的交点小于2即可；yi t x与y轴的交点为(0,t)，所以t 2，又因为t 0，所以0 t 2 ；综上，实数t的取值范围是：9上2 ；4故答案为：9,2 .考点：单绝对值不等式同系数绝对值相加型不等式4. 函数 f(x) |2x 1| |2x a| , g(x) x 3.1当a 2时，求不等式f(x) g(x)的解集;2设a 1，且当x 歸时，f(x) g(x)，求a的取值范围15x,

5、x21当 a 2 时，令 y 2x 1 2x 2 x 3 x 2,1 x 1 ,3x 6,x 1作出函数图像可知，当x (0,2)时，y 0 ,故原不等式的解集为x0 x 2 ;2依题意，原不等式化为1 a x 3，故x a2对故a a1 2，2故a 4 -3 7昇都成立，考点：同系数绝对值相加型不等式623同系数绝对值相减型不等式5. 函数f(x) x 2 x 51证明：3 f (x)3;2求不等式f (x) x2 8x 15的解集。3,x 21 f (x) x 2 x 5 2x 7, 2 x 53,x 5当 2 x 5 时，3 2x 7 3，所以， 3 fx 38x 15的解集为空集;5时

6、,x当2 8x 15的解集为x|53f (x) x2 8x 15 的解集为 x|5综上：不等式f (x) x2 8x 15的解集:x |5考点：同系数绝对值相减型不等式不同系数绝对值相加减型不等式6. 设函数f x 2x 1 x 21求不等式f x 2的解集；2假设x R, f x t2当恒成立，求实数t的取值范围.2C1x3,x-21由题意得 f(x)3x1, -x22x 3,x 2当x 1时，不等式化为x 3 2，解得x 5 x 5,2当1 x 2时，不等式化为3x 1 2，解得x 1 1 x 2,2当x 2时，不等式化为x 3 2，解得x 1 x 2 ,综上，不等式的解集为xx 1?cx

7、5 .2由1得 f X min5，假设 x R , f x t2 11t 恒成立，min22那么只需f X min 2 t2,解得 t 5，综上，t的取值范围为1 ,52考点：不同系数绝对值相加减型不等式6.3绝对值不等式解求参数7. 设函数 f (x) x a 3x,a 0(1)当a 1时，求不等式f(x) 3x 2的解集；如果不等式f(x) 0的解集为x x 1 ,求a的值。1当 a 1 时，f(x) 3x 2可化为 |x 1| 2。由此可得 x 3或x 1。故不等式f(x) 3x 2的解集为x|x 3或x 1(2)由 f(x) 0 得 x a 3x 0此不等式化为不等式组x ax a 3

8、x 0x aa x 3x 0x aa a2x a即a或x 4因为a 0，所以不等式组的解集为x|x旦2由题设可得a=-1，故a 22考点：绝对值不等式解求参数6.4绝对值不等式解的范围求参数范围8.函数 f (x) |x a| |x 2|.1当a3时，求不等式f(x) 3的解集；2假设f (x) |x 4|的解集包含1,2，求a的取值范围.答案：52x(x2)1当 a3时,f(x) |x 3| |x2|1(2x3)2x5(x3)所以不等式f(x)3可化为x522x 3，或21x 3或3解得x 1或x4因此不等式f(x)3的解集为x|x1或x42由f(x)|x 4|x 32x 5 3即为 |x

9、a| |x 2| |x 4| ,也即 | x a|x 4 | x 2 |假设f(x) |x 4|的解集包含1,2, 那么 x 1,2 , |x a| |x 4| |x 2| , 也就是 x 1,2 , |x a| 2 , 所以 x 1,2,从而解得1 a 22 a 2，3 a 0因此a的取值范围为a 3,0.考点：绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减6.5含绝对值不等式的恒成立问题9.函数 f(x) 2x 1| |2x 1，1假设对任意的x有f(x) a成立，求a的取值范围；2假设不等式2a b a *|a b f (x) 0，对于任意的a,b都成立，求x的取值 范围。1根

10、据题意,a小于等于f(x)的最小值x4x, x可得所以ba时取1a2abax212b ab6.6含绝对值不等式的能成立问题当且仅当(2a专为家教定制的优质教、学内容提供商2a b10.函数考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式b)a 0f(x) 0f (x) 21恒成立a b当aa 2a b第10页共18页DREAM(2 a b) a(2)假设关于x的不等式b 0时，由绝对值不等式得性质可得(1)求x的取值范围，使f由 f(x) 2, 1x 1x 3x为常数函数2f(x)2a b|a b2aaf (x)min 2当a b 0即a b时，2x a 0有解,求实数a的取值范围1

11、2f(x) 111x 220 f(x) 0恒成立， x R12124x,x -2x 2,x3(1) f x |x 1 x 34, 3 x 12x 2,x 1那么当x 3,1时,f x为常数函数.方法一:如图，结合(1)知函数f x的最小值为4 实数a的取值范围为a 4 .方法二：x 1 x 3 x 1 x 3；x 1 x 34 ,等号当且仅当x 3,1时成立.得函数f x的最小值为4 ,那么实数a的取值范围为a4 ./-j a1 J考点：含绝对值不等式的能成立问题6.7利用绝对值的三角不等式放缩求最值11.实数x，y满足：|x y| 3，|2x y|右求证：|y| 18-2x y ,证明：+3

12、| y | = | 3y | = |2 x y 2x y | 2 xAA由题设 |x y | -,|2x y|363| y|y|518考点：绝对值的三角不等式6.8数形结合在含参绝对值不等式中的应用12.函数 f(x)x2 6x 9 x2 8x 16 .1求f(x) f的解集;2设函数g(x) k(x 3) , k R，假设f(x) g(x)对任意的x R都成立，求实数k的取值范围.1f (x)x2 6x 9 x2 8x 16. (x 3)2 - (x 4)2 |x 3| |x 4| ,f(x) f (4)，即 |x 3| |x 4| 9,x 4,3 x x或sxx 3,x 49或x3,3x4

13、9,解得不等式：x 5 ；：无解；:所以f(x) f的解集为x|x5 或 x 4.2f (x) g(x)即 f (x) | x 3| x 4 |的图象恒在g(x)k(x 3)图象的上方,可以作出f(x) |x 3| |x 4|2x 1, x 4,7,4x3,的图象,2x 1, x 3而 g(x) k(x3)图象为恒过定点P(3, 0)，且斜率k变化的一条直线,作出函数yf (x), y g(x)图象，其中kpB 2,A( 4,7),1,由图可知，要使得f (x)的图象恒在g(x)图象的上方,KDREAM实数k的取值范围应该为1 k 2 .考点：同系数绝对值不等式相加型、数形结合在含参绝对值不等

14、式中的应用7.证明不等式的根本方法7.1比拟法证明不等式13.设不等式|2x 1| 1的解集是M , a,b M .1试比拟ab 1与a b的大小；2设max表示数集A的最大数.h max纟,a J ,令,求证：h 2.Va Jab Vb答案：1ab 1 a b; 2见解析解析：1先解出M x|0 x 1 .(ab 1) (a b) (a 1)(b 1) 0.问题得证.c2.22h max 2 a b 2-aab，c2.2c可知 h ：Vh 巳,h ：2b，所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出h3 8.故h 2.考点：比拟法证明不等式7.2综合法证明不等式7.3分析法证明

15、不等式14.f(x) |x 1| |x 1,不等式f (x) 4的解集为M .1求 M ；2当a,b M时，证明：2b 4 ab.1解不等式:x 1 亠 1 x或2x 42 41或x2x2x22,2 .2需证明:24(a 2abb2)2 2a b 8ab 16，只需证明a2b24a2 4b2 160，liiDREAM即需证明(a2 4)(b2 4)02 2 2 2a,b ( 2,2) a 4,b4 (a 4)0,(b 4)0(a2 4)(b2 4)0,所以原不等式成立. 考点：分析法证明不等式7.4反证法证明不等式15.设 a 0,b 0.且 a b -证明：a b1a b 2 ；2a2 a

16、2与b2 b 2不可能同时成立.由 a b 1 二一-，a 0,b 0.得 ab 1a b ab1由根本不等式及ab 1，有a b 2. ab 2，即a b 2 ；2假设a2 a 2与b2 b 2同时成立，那么由a2 a 2及a 0得0 a 1 ，同理0 b 1 ，从而ab 1，这与ab 1矛盾，故a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立. 考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用专为家教定制的优质教、学内容趕供商。8.5放缩法证明不等式多为数列的题16.数列an的前n项和S满足Sn 2an n1求数列的通项公式;anan 1，记数列bn的前n和为Tn，证明:【答案】1an 2n 1

17、； 2详见解析【解析】试题分析:1考虑到an 1 Sn 1Sn，因此可以利用条件中的式子得到数列an的一个递推公式，从而即可求解;2由1可知bnanan 1n /2 1n 1， bn2 112n，从而可证Tnn2进一步放缩可得12n 222n 2 3 2n13 2n，求和即可得证试题解析：1t Sn 2an n,当n 1时，S a12a1 1a11，又Sn 1 2an 1n 1,与 Sn 2ann两边分别相减得an 12an 1 2an 1 ,得an 12 an1，又ai12 ,数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an2n，得 an2n1；an2n 1an 12n- bn1232412n 2 20，得又_ 12n12n 2 32n13 2n12212n0.KDREAM9.柯西不等式9.1柯西不等式的代数形式17.关于x的不等式x ab的解集为x|2 x 4求实数a,b的值;求,aCl2、bt的最大值.解得a3,b 1.2 3t 12.t 、3 4 t 、t ,(、3)2 12(、4 t