高中数学中对称性问题

1、3.函数y f (x)的图像关于点P(a,b)对称数y f (x)的图像关于点P(a,0)对称y f(x)是周期函数，且T y f (x)是周期函数，且T2a是函数的一个周期;4a是函数的一个周期;5.奇函数y f (x)的图像关于直线 x a对称y期；偶函数y f (x)的图像关于直线 x a对称 周期；f (x)是周期函数，且 T4a是函数的一个周yf (x)是周期函数，且T 2a是函数的一个对称性与周期性函数对称性、周期性的判断1.函数y f(x)有f(a x) f(b x)假设等式两端的两自变量相加为常数，如a b(a x) (b x) a b，那么f (x)的图像关于x轴对称；当a

2、b时，假设2f (a x) f (a x)(或f (x) f (2a x)，那么 f (x)关于 x a轴对称；2.函数y f (x)有f(x a) f (x b)假设等式两端的两自变量相减为常数，女口(x a) (x b) a b，那么f (x)是周期函数，其周期 T a b；当a b时，假设 f (x a) f (x a)，那么f (x)是周期函数，其周期 T 2a ；f (x) f (2a x) 2b (或f(x)=2b f (2a x)；函 f (x)= f (2 a x)(或 f (a x)= f (a x)；4.奇函数y f (x)的图像关于点P(a,O)对称偶函数y f (x)的

3、图像关于点P(a,O)对称函数y f(x)是周期函数，且函数y f (x)是周期函数，且6.函数y f (x)的图像关于点 M (a,0)和点N(b,0)对称T 2(a b)是函数的一个周期；7.函数y f (x)的图像关于直线 x a和直线x b对称T 2(a b)是函数的一个周期。关系图像特征f(x) f( X)关于y轴对称f (X)f( X)关于原点对称f(a x) f(x a)关于y轴对称f (a x) f (a x)，或 f (x) f (2a x)关于直线x a对称f (x) f (a x)a关于直线x 一轴对称2f (a x) f (b x)a b关于直线x 对称2f (x) f

4、 (x a)周期函数，周期为 a对点称、点直对称中心P(a,b)l : Ax By C 0C ： f (x, y) 0原点0，0(a, b)A( x) B( y) C 0f( x, y) 0Mxo，y。(2x。a,2 y。b)A(2x0 x) B(2y。y) C 0f (2x0 x,2y。 y) 0x轴(a, b)Ax B( y) C 0f(x, y) 0y轴(a,b)A( x) By C 0f( x, y) 0直线x y(b,a)Bx Ay C 0f(x,y) 0直线xy(b, a)B( x) A( y) C 0f( y, x) 0x y m 0(b m, a m)A( y m) B( x

5、m) C 0f( y m, x m) 0x y m 0(b m, a m)A(y m) B(x m) C 0f (y m,x m) 0点关于点的对称 中心对称问题点对称问题直线关于点的对称曲线关于点的对称 对称冋题点关于直线的对称 轴对称问题线对称问题直线关于直线的对称曲线关于直线的对称点对称点关于点的对称点问题假设点Ax1,y1 , BX2，y2,那么线段AB中点M的坐标是yiy22;据此可以解求点与点的中心对称，即求点M(Xo,y°)关于点p(a,b)的对称点 M的坐标(x, y)，利用中点坐标公式可得a x-x, b 火一y，解算的M'的坐标为(2a x。，2b y。)

6、。2 2例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点M'的坐标是(4, 1)iO1*2 2“( 必)込 b=yyA2 22)、当P点不在li上时，对称直线的求法为: 点M(Xo,y。)关于点P(a,b)的对称点M'的坐标(2a x。，2b y。) 点M(x°,y。)关于原点的对称点 M的坐标(2a x。，2 b y°)=( x。，y。)(2)直线关于点对称直线L: Ax By C 0关于原点的对称直线设所求直线上一点为M(x, y)，那么它关于原点的对称点为M'( x, y)，因为m'点在直线L上，故有 A( x) B( y) C 0，即

7、 Ax By C 0 ； 直线h： Ax By C 0关于某一点P(a,b)的对称直线I?它的求法分两种情况：1)、当P(a,b)在li上时，它的对称直线为过P点的任一条直线。解法一：在直线|2上任取一点M(x, y)，那么它关于P的对称点为M '(2a x,2b y)，因为M '点在h上，把M '点坐标代入直线在li中，便得到I2的方程即为A(2a x) B(2b y) C 0,简化为：Ax By C 2aA 2bB 0.解法二：在li 上取一点M(Xi,yJ，求出M关于P点的对称点M'(2a Xi,2b yj的坐标。再由 K|i K|2AB，可求出直线|2的

8、方程。解法三：由Kl1 Kl2，可设l1 : Ax By C 0关于点P(a,b)的对称直线为 Ax By C' 0 且Aa Bb C Aa Bb C'求设c '从而可求的及对称直线方程。Ja2 b2Ja2 b2(3)曲线关于点对称曲线G : f (x,y) 0关于P(a,b)的对称曲线的求法：设M (x,y)是所求曲线的任一点，那么M点关0上。故对称曲线方程为 f(2a x,2 b y)于P(a, b)的对称点为(2a x,2b y)在曲线f (x,y)直线的对称(1)点关于直线的对称1)点P(a,b)关于x轴的对称点为P'(a, b)2) 点P(a,b)关于

9、y轴的对称点为P'( a,b)3) 关于直线x m的对称点是P'(2m a,b)4) 关于直线yn的对称点是P'(a,2n b)5) 点P(a,b)关于直线y x的对称点为P'(b,a)yi(冲%几).BlMl6)点P(a,b)关于直线yx的对称点为P'( b, a)7)点P(a, b)关于某直线L : Ax By C0的对称点P'的坐标解法一：由PP'丄L知，Kpp，BAxByC0(x a)，由, BAyb (xa)A直线PP'的方程t y b可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点P'的坐标。解法二：设对称点为P&#

10、39;(x, y)，由中点坐标公式求得中点坐标为(-a x,b y)把中点坐标代入2 2L中得到A a B y C 0；再由Kpp旦得y B，联立、可得到P'点坐标。22A a x A解法三：设对称点为P'(x, y)，由点到直线的距离公式有 Aa Bb C Ax By C，再VArlT<af1t由Kpp，-得b-，由、可得到 P'点坐标。A a x A(2)直线li关于直线l的对称直线设直线l: Ax By C 0 ,关于x轴对称的直线是Ax B( y)关于y轴对称的直线是A( x) By关于y x对称的直线是Bx Ay C 0关于 y x 对称的直线A( y)

11、 B( x) C 01)当li与l不相交时，那么li /l / I2在li上取一点M(xg,yo)求出它关于l的对称点M '的坐标。再利用Kl1K|2可求出l2的方程。2)当li与l相交时，li、l、I2三线交于一点。解法一：先解li与l组成的方程组，求出交点A 的坐标。那么交点必在对称直线l2上。再在li上找一点B , 点B的对称点B'也在J上，由A、B'两点可求出直 线l2的方程。解法二：在li上任取一点P(Xi, yj，那么P点关 于直线l的对称点 Q在直线l2上，再由 PQ丄l ,KpQ*Kli。又PQ的中点在l上，由此解得 f(x,y),yi g(x, y)，

12、把点)代入直线h的方程中可求出l2的方程。解法三：设li关于l的对称直线为I?，那么l2必过li与l的交点，且l2到l的角等于l到li的角，从 而求出J的斜率，进而求出l2的方程。例：求直线li : 2x y 30关于直线l: x y i 0对称的直线L的方程解：设M x,y为所求直线l2 上任意一点，那么其关于l对称的点M ' Xi,yi在直线h上.yy11 1x x1MM' I,即 Kmm，Ki=-1冶1 yXX1yy12 210 (MM'的中在I上)y11 x又 * 2x1 y1 3 021 y 1x30故所求直线方程为 x2y4 0(3)曲线关于直线对称曲线G关

13、于直线丨的对称曲线C2的方程，在C?上任取一点M (x, y)，可求出它关于l的对称点坐标，再代入G中，就可求得C2的方程。例：求圆x21关于直线I : x y 10的对称圆的方程解法一：x,y为所求圆上任意一点,那么其关于I对称的点M ' %, %在x2y21 上.y %x x11 MM' I,即 Kmm，*i=-1x x12上1 0 (MM'的中在I上)X11yy11x2x 11-即为对称圆的方程解法二：求圆心所求圆方程为y0，021关于I对称点C 1,12x 11例：求椭圆2y_21关于直线I : x y 10对称椭圆的方程解：设x,y为所求椭圆上任意一点，那么其

14、关于I对称的点M ' x1,y1在x22y2y1综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是:求对称点一般采用，先设对称点P(x, y)，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出x, y的方程组,解方程组所得的解就是对称点的坐标，求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点M x, y，再利用求对称点的方程求出 M点的对称点M'点坐标，将M'点坐标代入曲线方程中,所得的关于x,y的关系式，就是所求对称曲线的方程。通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线包括直线列表如下:对d点称、点直对、_ (直线线 (对称中心P、P(a,b)l : A

15、x By C oC: f (x, y) 0原点0, 0(a, b)A( x) B( y) C 0f( x, y) 0M (xo, yo)(2xo a,2yo b)A(2xo x) B(2 yo y) C 0f (2xo x,2yo y) 0x轴(a, b)Ax B( y) C 0f(x, y) 0y轴(a,b)A( x) By C 0f( x,y) 0直线x y(b,a)Bx Ay C 0f (x, y) 0直线xy(b, a)B( x) A( y) C 0f( y, x) ox y m o(b m, a m)A( y m) B( x m) C 0f ( y m, x m) 0x y m o(

16、b m, a m)A(y m) B(x m) C 0f (y m, x m) 0三、函数图像自身的对称a b(1) 一般地，函数y f (x)的图象关于x对称 y f(x)满足f(a x) f (b x)2证明：1) 假设y f (x)满足f(a x) f (b x),设P(xo,yo)是y f(x)的图象上的任意一点，那么a by°f(x0),P(Xo，y。)关于直线x的对称点是Q(a b x。，y。)2由条件知 f (a b x0) f (b (b x0) f (x0) y0a b所以Q(a b xo, yo)在y f(x)的图象上，故函数y f (x)的图象关于x对称a b2)

17、 假设函数y f(x)的图象关于x对称设P(x0, y0)是yf(x)的图象上的任意一点，2a b那么P(Xo, yo)关于x对称点Q(a b Xo,y°)也在y f (x)的图象上。从而有2yof (xo) f (a b xo)。令 b x° x 那么有 f (a x) f (b x)特例： 当b=a时，函数yf (x)的图象关于x a对称 y f (x)满足f(a x) f (a x) 当a=0,b=2m时，函数yf(x)的图象关于x m对称 y f (x)满足f (x) f (2m x) 当a+b=0 时，函数y f (x)的图象关于x 0对称 y f (x)满足 f

18、( a x) f (a x)或 f (a x) f ( a x) 函数 y f (x)关于点(a,b)对称 f(a x) f (a x) 2b ,或 f(2a x) f( x) 2b 或 f (2a x) f(x) 2b简证：设点(x.(, y1)f(2a在yxj f(xi)f (x)上，而点在 y f (x)上，即 yf(xi)，2b，所以 f(2a x1) 2b f (x1)(2a x2b yi)与(%,%)关于(a,b)对称。得证。通过2bf (2a x)y1，所以点(2a x1,2b y1)也f (x) 2b 可知，关系图像特征f(x) f( x)关于y轴对称f(x)f( x)关于原点

19、对称f (a x) f (x a)关于y轴对称f (a x) f (a x)，或 f (x) f (2a x)关于直线x a对称f (x) f (a x)a关于直线x轴对称2f (a x) f (b x)a b关于直线x对称2f(x) f (x a)周期函数，周期为a四、两个函数图像的对称关系图像特征y f(x)与 y f( x)换种说法：y f (x)与y g(x)假设满足f (x) g( x)关于y轴对称y f(x)与 y f (x)关于x轴对称y f(x)与 yf( x)关于原点对称1y f (x)与 y f (x)关于直线y x对称y f (a x)与 y f (b x)关于直线x对称

20、2y f (a x)与 y f (a x) 或 y f (x)与 y f(2a x)关于直线x a对称y f(x)与 y 2a f (x)换种说法：y f (x)与yg(x)假设满足f(x) g(x) 2a关于直线y a对称yf (x )与 y 2b f (2a x)换种说法：y f (x)与y g(x)假设满足f (x) g(2a x) 2b关于点(a,b)对称五、周期性1、一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x T) f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。推广：假设f

21、(x a) f (x b)，那么f (x)是周期函数，b a是它的一个周期2.假设T是周期，那么kT(k 0, k Z)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周 期是指函数的最小正周期。说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数f (x) C ；3、对于非零常数 A，假设函数y f(x)满足f(x A)f(x)，那么函数yf(x)必有一个周期为2A。证明：f(x 2A) fx (x A)f(x A)f(x) f(x)函数y f(x)的一个周期为2A。4、对于非零常数 A，函数y f(x)满足f(x A)f(x)那么函数yf(x)的一个周期为2A。证明：f(x 2A) f (x

22、A A)1f(x A)f (x)。5、对于非零常数 A，函数yf (x)满足 f (x A)1f (x)，那么函数yf (x)的一个周期为2A。f(x a) f(x) f(x 2a)求证：函数y f (x)是周b)时，函数y f(x)是y f (x)是周期函数，且，该函数也是周期函数,证明：f(x2A) f (x AA)f(x A)f (x)。6、函数f(x)的定义域为N ,且对任意正整数x都有f(x)f(x a) f(xa)(a0)那么函数的一个周期为 6a证明：f(x)f(x a) f(xa)12两式相加得：f (x a) f (x 2a)f (x) f (x 3a) f (x 6a)六、

23、对称性和周期性之间的联系性质 1 ：函数 y f (x)满足 f (a x) f (a x) , f (b x) f (b x) (a b), 期函数。证明：T f (a x) f (a x)得 f (x)f (2 a x)f (b x) f (b x)得 f(x) f (2b x) f(2a x) f (2b x) f(x) f (2b 2a x)函数y f (x)是周期函数，且2b 2a是一个周期。性质 2 :函数 y f (x)满足 f (a x) f (a x) c和 f(b x) f (b x) c (a周期函数。函数y f (x)图象有两个对称中心a, -、 b,-丨时，函数2 2对称中心距离的两倍，是函数的一个周期证明：由 f (a x) f (a x) c f (x) f (2a x