《传输矩阵法》教学设计

1、传输矩阵法一、传输矩阵法概述1,传输矩阵在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。如图16)所示，在)中若已知A点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R,便可求出B点电压。传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。Eo图i传输矩阵模型及电路模拟模型如图1(b)所示，有这样的关系式存在:Eo=M(z)Ex。M即为传输矩阵,它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A、B两点的电势联系起来的实质是相似的o图2多层周期性交替排列介质传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质(如图2所示)，H(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用表示第j层的特征矩阵，则有

2、:N(D(3)M(z)=PMj=/=/cosJ,sin其中，M严J%）COSjy5为相位厚度，有5=N：d-cos&JJ2JJJA如公式（2）所示，的表示为一个2X2的矩阵形式,，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个讣算结果，其推导过程将在第二部分给出。2.传输矩阵法在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义：传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可

3、以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。二、传输矩阵的基础理论一一薄膜光学理论1 .麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个场量：D、E、B、H,两个源量：J、p以及反映它们之间关系的方程组成0而且山媒质方程护的参数£、“、。反映介质对电磁场的影响。方程组的实质是描述电磁场的传播，即：一个变化的磁场引起邻近区域的电场变化，而此电场的变化乂引起邻近磁场的变化，如此进行下去，便可抽象出电磁场的传播。如图3所示oHEHEHEHE图3电

4、磁场传播的模拟图将媒质方程带入麦克斯韦方程组，并对方程组求解可得以下两个重要结论：“HenN=二一=n-jk(4)kxEvIJ式中，N即为介质的光学导纳，单位为西门子。特别说明：光波段时,“约等于数值上等于折射率。自山空间导纳7o=0.00265。2 )vldr1 2d2t式为电场的波动方程，与经典波导方程相比可得V/，通常把光速C和电磁波在介质中速度之比定义为折射率，即得折射率公把n=J2 .边界条件及反射折射电磁波在介质交界处满足切向分量连续的边界条件。垂直入射时，电场和磁场均与人射面垂直，则它们的切向分量既是本身。根据边界条件可得：Ex=E+EI(8)H严+式(8)中，上标为+的代表人射

5、波，-表示反射波。乂由导纳定义式可得.(9)H-=N'kxE-RH,伙 x£ ;)(10)将式（9）、（10）代入（8）中，整理可得反射系数定义式：透射系数原理相同，在此不再推导。上面讨论的是垂直入射的情况，斜入射时情况类似，只是用修正导纳也代替（11）中的N。、M。其实，无论电磁波入射情况如何，电磁波只有两种情况：一种是电场E平行人射面即TM波（P分量），此时电场的切向分量£入二EcosO（&为入射角），而磁场的切向分量是其本身，因此山（4）式可得：H=H,您二N优xEQ=N伙xEcos<9）=（12）将（12）式与（4）式对比可得到P分量的修正导纳

6、，同理可得TE波（S分量）的修正导纳：NHnCOS&（13）可得一般情况下的反射、透射系数表达式：厂二0一口二200+巾（14）介质的传光特性可以由反射、透射系数所表征，而由以上讨论可知，这两个参数与导纳紧紧联系。因此，求解介质的传光特性就可以转换为求解导纳问题，这也是传输矩阵法所解决的核心问题之一。其实，传输矩阵法就是通过求得介质的导纳，从而得到介质的反射透射系数。3 .传输矩阵这一部分将应用薄膜光学理论详细推导介质的传输矩阵，以及如何求得介质导纳，根据笫一部分传输矩阵的介绍可以知道，它其实是每层特征矩阵的乘积，所以，这一部分的推导就从单层薄膜的特殊矩阵入手，进而推广到整个介质空间推

7、导出介质的传输矩阵。F面就详细介绍单层薄膜的特殊矩阵。电磁波通过疗度为的单层薄膜过程如图4所示。N。图4电磁波通过单层薄膜N。一图5单层薄膜等效为介质面的示意图薄膜是存在一定厚度的，电磁波从仇透过薄膜变为耳的过程，与简单的穿过介质面相比多了个d的中间变换，如果可以将仇和篇通过导纳直接联系起来，那么薄膜就可以等效为一个介质面（如图5所示），前面所介绍的反射透射公式便可用。因此，我们第一步完成从薄膜到介质面的等效推导。令薄膜导纳（介质面1和介质面2的组合导纳）为丫,则可得到薄膜的透射反射系数：(10)2/o山式（13）可知，求得丫便可求得r、to山导纳定义并对薄膜的第一介质面应用边界连续条件可得:

8、(16)H0=Y(kxEo)E严E；+E5=E+Ekx=kxE+kxEH0=H：(17)+HR=H1+HHo=m(kxE-kxEG图4中的E；.E表示刚刚穿过介质面一的瞬时状态。E；2.EX表示即将穿过介质面二的瞬时状态。这两个瞬时状态的唯一不同只是因为薄膜厚度引入的相位因子，即有：F+ -尸。一询E" = E 初2TT=N& cos ° 】A(18)将式（18）代入式（17）中可得式,（19），并将其转为矩阵形式（20）:kxE°=(kxq;)严+伙x£”比-谄H°=(k(19)X£)口"0_伙X耳；)/*

9、9;kxE0'eiS'-依一0kxE；2(20)H。=犷同理，薄膜的第二介质面有如下关系式.：E2=E：+E/2kxE2=kxE八+kxEH2=H；2+H；2H2二m(kxE；2_kxE)（21）式（20）、（23）分别表示介质面一、二两侧空间电磁场之间的联系，若将式,（23）代入式（20）中相乘，则所得到的结果就表示整个薄膜两侧空间电磁场之间的联系，即：kxE： =-(kxE2)HH.2 2/ kxE2_1 同）一占H左x£'1;2%2 kx E°(22)(23)(25)(26)1“2kxE ()1件HI W 7严严1 122 1 12 2巾kxE

10、2从式（24）中得到了第一层的特征矩阵:cosQ-bsinQirjxsin$cos»cosQ一sinqkxEi(24)sinQcos(25)(27)(21)HQ=Y(kxEo)H2=r/2(kxE2)考虑到导纳定义有如式,（26）的关系，则可对式（24）进一步化简:(28)COS”Sin&1(kxEJiqsinQcosQ2令C为为膜系的特征方程，则有关系式:cosQsin J,' sin qHiCOS 5“2(28)(33)对比式（24）等号左边的形式，山导纳定义可得整个单层薄膜的组合导纳:（29）从而山式（13）可求得单层薄膜的反射、透射系数。至此完成了第一步，即从

11、薄膜到介质面的等效推导。将将单层得到的结论推广到整个介质空间可得：Mj =COStAyir/j sin)sinJ. %cos) /(30)(31)1=M(z)“N+1(33)(34)(35)式.(30)为介质笫j层的特征矩阵，需要注意的是特征矩阵的行列式值为1。由式(32)即可得到整个介质的传输矩阵。至此，完成了多层介质传输矩阵的建模过程。值得一提的是，在讨论单层薄膜时，得到单层薄膜的反射率后，若对薄膜的光学厚度H(H二nd,n为薄膜折射率，d为薄膜实际厚度)求导，可得如图6的结果。从结果中我们可以看出，在厚度为时，反射率根据折射率的不同可达到最4大或最小值°0.5图6反射率与光学厚

12、度的关系三、传输矩阵法的应用举例传输矩阵法的典型应用是对多层周期性交替排列介质的分析，具有这样结构的器件实例有：光子晶体、光栅、量子阱结构、DBR结构器件等。具体应用过程请参见文献传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性。四、小结(1)传输矩阵法概念：将麦克斯韦方程组转换为传输矩阵的形式，应用传输矩阵分析的计算方法O(2)传输矩阵：形式为每层特征矩阵的乘积。(3)典型应用：多层周期性交替排列介质。(4)解决问题：传光特性(R、T)、场强度(E、H)。注意：(3)、(4)共同决定传输矩阵法对所研究问题的适用性。(5)重要结论：导纳、折射率定义/(三英，光波段下，导纳无意义，它就是折射率。(6)传输矩阵的推导(薄膜光学理论)是繁琐的，但实际应用中可忽略推导，直接应用结论式(30)(35)o(7)用传输矩阵法求解问题过程：1)应用已有结论式(30)-(35)建立介质模型并求解：2)建立实际问题的模型。3)模型整合。(8)额外