2021年全国1卷理科数学详解详析

1、、选择题：本题共项是符合题目要求的2021年全国1卷理科数学试题及详解12小题,每小题5分,广东广州兹能共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一1.已知集合M4x2,Nxx2B.C.D.x2【答案】Co【解析】由x0可得x3x3,故N3。故而可得mAn2x2,故选Co2.设复数z1,z在复平面内对应的点为x,y2A.x1y21C.x2D.【答案ICo【解析】由z在复平面内对应的点为x,y可得yi,故而z121,化简可得x2y11。故选Co3.已知alog20.2,0.2b2,c0.201则A.abcC.caD.【答案】Bo【解析】取中间值。alog20.2log2100,b20.2200.3

2、0c0.20.2故而可得ab,故选Bo4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为,512、510.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外,2取大人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是511。若某人满足上述两个黄2金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）A.165cmB.175cmC.185cmcm【答案】Bo【解析】不妨设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A,B,C,D,故可得AB-51AC|CD，假设身高为x,可解得|CD51s35ac73.52x,AC2x,AB由题意可得ABCD735x

3、251x226,化简可得106x1784-。故选Box1715.函数fxSx2在，上的图像大致为（）【答案】Do【解析】取特值。:fxsinxx2cosxxfx,故函数为奇函数;2142-2-6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻”和阴爻“”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（5A.一16【答案】Ao11B.一3221C.3211D.一166一3205【解析】一共可能有264种可能，其中满足恰有3个阳爻的有C620种，故概率为一，故选Ao7.已知非零向量a,b满足a2>bi，且a6c.23【解析

4、】即夹角为Bo，2b,abbabbcos0,将a2b带入可得cos一。故选3Bo8.右图是求B.C.D.9.的程序框图，图中空白框中应填入（）肌右围是求一的程序框图，图中空白梃中应填入1.12A12-A112A122AAo运行程序框图。A.A-2+AC*A"1+2X1,是；第二步:1,k3,否，输出，故A正确。故选2士2记Sn为等差数列an的前n项和。已知S40,Aoan2n5an3n10C.Sn2n2Ao由等差数列性质可得S44ai6da5ai4dai10.已知椭圆C的焦点为F11.0，F21.0若AF22F2B,ABBF1B.I*8nD.第三步:Sni2n2nan2n,过点F2的

5、直线与C交于A,B两点,2xC.1【答案】Bo【解析】不妨设F2Bm,故F1BABAF2F2B3F2B3m,由椭圆一一一一_1_3一一一，F1BF2B2a4m,故F2Ba,BF1-a,AF2a,AF12aAF2a,在22cosAF2F1BF1F2中，分别可得:cosBF2F1222a4ca12a2ca12292-a4ca4412-a2c22,由二角互补可得二aa定义可得AF1F2和-,解得a1。故选Bo11.关于函数fxsinxsinx有下述四个结论:fx是偶函数fx在区间一，单调递增2有4个零点fx的最大值为222a23,故b22,方程为上32A.B.C.D.【答案】Co【解析】分段函数讨论

6、。由fxsinxsinxsinxsinxfx,故正确；x，时，fxsinxsinx2sinx,函数递减，故错误；2,0时,x0,时，fxsinxsinx2sinx,函数有两个零点，f0f0,故x0,故函数有且只有三个零点，故错误;函数为偶函数，故只需讨论正数的情况。x2k2kkN时，fxsinxsinx2sinx,最大值为2；x2k,22kkN,fxsinxsinx0。故函数最大值为2.故选Co12.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点，CEF90,则球O的体积为（）A.8而B.4褥C.2娓D.展【答案】D。【解析】

7、如图所示，三棱锥PABC为正三棱锥，不妨设PAPBPC2a,底面外接圆半径为r。由题意可得EFa,CFJ3,在PAC中,由余弦定理可得cosPAC9a一4-a-,故222a2aCEF90,故根据勾股定理可得22_12_EAC中，ECa42a2a2,又2a2222ECEFCF即2a223aX,即PCJ2。在直角22POC中，OCr一显,3OPJ|PC|2r2。由正三棱锥外接球半径公式可得:2.2rhOP2h210Pl3R3-6、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.曲线y3x2xex在点0,0处的切线方程为【答案】y3x。【解析】求导可得y'3x23x1ex,故切线斜率为y&#

8、39;x03,故切线方程为y3x。12-,一14.记Sn为等比数列an的刖n项和。右a1一，a4,则S5。3-121【答案】O【解析】由a42a6可得ai2q6a1q5,解得aq1,即q3。故S5121315.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是。,9【答案】O50【解析】欲使甲队4:1获胜，则第五场甲胜，前四场甲胜三场负一场。可能情况为：1负或2负或3负或4负，即两主场负一场或两客场

9、负一场，故概率为PC；0.620.40.52C；0.630.52o502216.已知双曲线C:xy41ab0的左右焦点分别为F1，F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别ab交于A,B两点。若F1AAB,F1BF2B0,则C的离心率为。【答案】2。bbb,H【斛析】不妨设点Bm,-mm0，故BF1cm,m,BF2cm,m，由F1BF2B0aaa22b22一.-hacbb可信mcm0,解得ma。故Ba,b,又F1AAB,故A，-,甫入直线y-xa22abbac可信一,解得c2a,故离心率为2。2a2(一)必考题：共60分。2.2,17.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设sinBsin

10、CsinAsinBsinC。(1)求A;若J2ab2c,求sinC。【答案】(1)A3【解析】sinC(1)29由正弦th理可将sinBsinCsinA22sinBsinC化简为bca整理可得:bc.222bbca,由余弦定理可得cosA一22ca2bc(2)由(1)得a2b2c2bc,又缶b2c,即J2a2cb,平方可得2a24c24bcb2,将a2b2c2bc代入2a22.22一24c4bcb可得2b2c22bc4c4bcb2,整理可得b22bc一2一2c,即b731c。代入a2b2bc中可得2a2.31c2c2.31c232Bc2,即a2-、31222c，化简可得1c,即sinA

11、3;-31sinC.3一.八1,解得sinC广22318.如图,直四棱柱ABCDABC1D1底面是菱形，AA4,AB2,BAD60别是BC,BB1,AD的中点。(1)证明：MN/平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值。【答案】(1)略。(2)sinAMA1(1)如图，连接B1c,ME。；E,M分别是BC,BB1的中点,EM是BB,C的中位线,EM/B1C,EM在四柱ABCDA1B1C1D1中，AD/BC,N分别是AD的中点,八ii八DN/BiC,DN5AD-BiC,DN/ME四边形MNDE是平行四边形，MN/VDEMN/平面CQE(2)过A作AOCD于点O,以O为坐标原点，OA为X轴，

12、OC为y轴建立空间直角坐标系。丫BAD60,AB2,AA4,底面为菱形。故AV3,0,0,B73,2,0,Bi73,2,4,不妨设半平面AM0,1,0，又M,N分别是BBi,AMA和MAN的法向量分别为总Xi,yi,Zi0,2,2AD的中点，故:M3,2,2,N3i八52。Xi,yi,乙0,0,4Zi0X,yi,4,出X2,y2,Z2,可得:1,i,0,0；X2,y2,Z20,2,X2,y2,Z23,222i2y2，令y20i,故n2故cosAMANcosn,n2写3的坛，故sinAMAiN八2八3,i9.已知抛物线C:y23x的焦点为F,斜率为一的直线l与C的父点分别为A,B,与x轴的父点为

13、P。2(i)若AFBF4,求直线l的方程；(2)若AP3PB,求AB一_3【答案】(i)y-x2(2)AB4,而3【解析】(1)设直线l的方程为:与抛物线方程联立可得:y23x3yxm292-x43m0,设Axi,yi,BX2,y2,故X2由抛物线定义可得:故直线方程为：yAFBFxiX2(2)设直线l的方程为:与抛物线方程联立可得:y23x22yxym32y2m0,xi,yiX2,y2,Pxo,0yiVi由AP3PB可得0yi3y2可得Viy23y2i3皿,带入上式可得y2V22m故直线方程为y解得：A3,3,3,iAB4i0o320.已知函数fsinxInf'x为的导数。证明:(i

14、)f'x在区间i-2存在唯一极大值点;(2)fx有且仅有2个零点。【答案】略证明:(1)令gxf'x求二次导可得：g''x令g'x0sinx一.-1故g'x0x1cosx,求导可得：g'x12cosx30,故gx112,结合图像可知sinxx1ysinx0xx0,函数在sinxxsinx2x1x在1,一递减21，-2在0,一内必有一解，设为x0。x120,x0上递增，在x0,-上递减。故函数在xx0处取到唯一极大值。(2)由题意可得:f00,f'00,故x0为函数一零点。当x1,0时,1cosxx10,此时函数fx递减，又f0,故

15、函数在1,0上无零点;当x0,时,0,%上递增,在x0,-T2上递减，且f'00,一1cosx00,故fxx10。故f'x在0,上先正后负，故函数fx在0,上先增后减。又f1in10,f220in10,故函数在x,内必有一零点。2当x时，sinx1,inx1in11,故fxsinxinx10,函数无零点。综上：函数x有且只有2个零点。21.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮治疗结果得出后，再进行下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠

16、比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为、，一轮试验中甲药的得分记为X。(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pii0,1,8表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po0,p81,papiibpcpii1,2,7,其中apX1,bpX0,cpX1。假设0.5、0.8。(i)证明：p

17、i1pii0,1,7为等比数列；(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性。【答案】(1)【解析】解：(1)由题意可列分布列：X101P1121(2)(i)由题意可得apX110.4,bpX0120.5,0.12故pi5pi1wpi1,2,7r22，即”5pi111.pi1pii10101,2,7化简可得:pipi1,2,7即pipi14i1,2,7，故数列pi1pipi1pi101,2,70,1,7为公比为4的等比数列。(ii)由等比数列求和公式可得:8pp014p8p0Rp0p2p8p7此时X的分布列为:X101P21152103p1p11即p41441此时说明，甲累计得题计分

18、。P1P0144r44分，乙累计得0分，概率极小，符合甲乙两种药物都有效用的说法。10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第22.选彳4-4:坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1t1t：4t1t2（t为参数）。以坐标原点半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos,3sin110。O为极点，x轴正（1）求C和l的直角坐标方程;（2）求C上的点到l距离的最小值。【答案】（1）C:x21,l:2x,3y110;(2)dmin解：（1）当t0时,可得21t4t我42y16y0时,故C的直角方程为:由2cos石sin11112t4_曰一带入前式可得y0可得：2x73y110,故l的直角方程为:2x>/3y110。2cos2>/3sin11(2)设C上任意一点为Pcos,2sin,故点P到l的距离d、.74,时,3dminJ74sin1163化简可得d,故当即76223.选彳45:不等式选讲（10分）已知a,b,c