2019高考数学浙江精准提分练：压轴小题突破练

1、压轴小题突破练（2）1.在四面体ABCD中，二面角ABCD为60°,点P为直线BC上一动点，记直线RA与平面BCD所成的角为依则（）A.0的最大值为60°C.。的最大值为30°答案AB.0的最小值为60°D.。的最小值为30°过A作AH，平面BCD于点H,AGLBC于点G,连接PH,GH,则易知/AGH为二面角ABCD的平面角，即/AGH=60；/APH为PA与平面BCD所成的角，则tan/APH=AH.因为AH为定长，所以当PH取得最小值时，/APH取得最大PH值，易知当点P与点G重合时，PH取得最小值，所以gax=/AGH=60；故选A.2

2、.已知棱长为1的正方体ABCDAiBiCiDi中，E,F,M分别是AB,AD,AAi的中点,又P,Q分别在线段AiBi,A1D1上,且AiP=AiQ=x,0vxv1,设平面MEFA平面MPQ=l,则下列结论中不成立的是（）A. l/平面ABCDB. l±ACC.平面MEF与平面MPQ垂直D.当x变化时，l是定直线答案C解+析连接BD,AiD,AiB,ACi,口ClAER显然平面MEF/平面AiDB,设AiBAMP=H,AiDAQM=G,连接hg,则l/hg,又hg/平面abcd,所以l/平面abcd,acxbd.又hg/l/BD,故ACl,当P,Q分别与Bl,Di重合时，平面MEF,

3、平面MPQ,又0vxv1,故平面MEF与平面MPQ不垂直.无论x怎么变化，l是过M点与EF平行的定直线.3.已知正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为1,P是AiCi上任意一点，记平面FAB,平面PBC与下底面所成的二面角分别为%3,则tan(a+的最小值为()A.-2B.-3C.-4D.-33432答案C解+析如图，作PPiXAC,易知，PP底面ABCD,作PMAB,PNXBC,连接MPi,NPi,易证得/PMPi=%/PNPi=3设MPi=x,贝UNPi=i-x,tana=°tan3=i-,xi-xi十tan什tan3xi_xii,tan("tan0tan3=x，x-1

4、=_”豆3.xix24.0<x<1,.当x=GAM4，tan(a+3)有最小值一故选C.34,已知在正方体ABCDAiBiCiDi中，点E是AB的中点，点F是BCi的中点，若正方体ABCDAiBiCiDi的内切球与直线EF交于点G,H,且GH=3,若点Q是棱BBi上一个动点，则AQ+DiQ的最小值为()A.6B.3屈C.62+72D.6)i+V2答案C解+析设正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为a,内切球球心为O,a由题息可得内切球半径r=OE=OF=¥a,EF=EB2+BB2+BiF2=-6a,取EF中点P,则OP=OE2-EP2=事，_2OP4a2所以cos/POG

5、=-=-=Q,OGa22所以/GOH=2：,OG=2=2j,a=3*/2,把平面DDiBiB与平面AAiBiB展成一个平面,则A,Q,Di共线时AQ+DiQ最小，最小值为DiA=（2a+a）2+a2=（6+3亚）2+（矩）2=62+/2.5.已知三棱锥DABC的所有顶点都在球。的球面上，AB=BC=2,AC=2V2,若三棱锥D-ABC体积的最大值为2,则球。的表面积为(B.9兀A.8兀答案D解+析由AB=BC=2,AC=2事,可得ab2+bc2=ac2.所以4ABC为直角三角形，且AC为斜边.所以过4ABC的截面圆的圆心为斜边AC的中点E.当DE，平面ABC,且球心O在DE上时，三棱锥DABC

6、的体积取最大值.因为三棱锥DABC体积的最大值为2,1所以qSAabcDE=2,3即1X1X22XDE=2,解得DE=3.32设球的半径为R,则AE2+OE2=AO2,一11).一11即(m)2+(3R)2=R2,解得R=y.所以球O的表面积为4tR2=4/Jr/=16 .如图，ABAa=B,直线AB与平面a所成的角为75°,点A是直线AB上一定点，动直线AP与平面a交于点P,且满足/PAB=45°,则点P在平面a内的轨迹是()A.双曲线的一支B.抛物线的一部分C.圆D,椭圆答案D解+析用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母

7、线平行时，得到抛物线.此题中平面a上的动点P满足/PAB=45°,可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面a所成的角为75；可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.故可知动点P的轨迹是椭圆.7 .在棱长为6的正方体ABCDAiBiCiDi中，M是BC的中点，点P是面DCCiDi所在的平面内的动点，且满足/APD=/MPC,则三棱锥P-BCD体积的最大值是（）A.36B.12v3C.24D.183答案B解+析.AD，平面DiDCCi,.-.ADXDP,同理BCL平面DiDCCi,贝UBCXCP,/APD=/MPC,.PADAPMC,PDAD=PCMC' .AD=2

8、MC, PD=2PC,下面研究点P在面DCCiDi内的轨迹（立体几何平面化）,在平面直角坐标系内设D（0,0）,C（6,0）,Ci（6,6）,设P（x,y）,.PD=2PC, x27y2=2<（x6j+y2,化简得（x8）2+y2=i6（4WxW6）,该圆与CCi的交点的纵坐标最大，交点坐标（6,25），三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为i8,要使三棱锥P-BCD的体积最大，只需高最大，当P点坐标为（6,243）时，CP=2>/3,棱锥的高最大，此时三棱i锥PBCD的体积V=aXi8X2M3=i243,故选B.38.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=i,BD=2,BD,

9、CD.将四边形ABCD沿对，一，、一一.，一一角线BD折成四面体A'BCD,使/A'DC=-,则下列结论不正确的是（）A. A'BXCD_一，一兀B. /BAC=2C.二面角A'BCD的平面角的正切值为近兀D.异面直线A'C与BD所成角的大小为"3答案C解+析因为CD，BD且A'D±CD,所以CD,平面A'BD,因此CDA'B,故A正确；因为A'B,CD,A'DA'B,所以A'B,平面A'CD,因此A'BA'C,即/BA'C=-，故B正确；取BD的

10、中点E,连接AE,易知平面ABD,平面BCD,且平面ABDn平面BCD=BD,A'EBD,所以A'EL平面BCD过E作EF，BC交BC于点F,连接A'F,所以/A'FE为二面角A'BCD的平面角，所以tan/A'FE=小，故C错.取A'B,BC,A'D的中点分别为M,N,P,连接MN,MP,NP,则异面直线A'C与BD所成的角即为/NMP(或其补角)，易知MP=2bD=¥，MN=2a'C=g2,易求得NP=,故MNP为等边三角形，所以异面直线A'C与BD所成角的大小为§故D正确.9.如图

11、，在棱长为1的正方体ABCDAiBiCiDi的对角线ACi上取一点P,以A为球心,AP为半径作一个球，设AP=x,记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x),则函数f(x)的图象最有可能的是()13答案B解+析球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形:当x=i时；当x=2时；当x=J2时.1当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3X-4X2TtX1=3,且为函数f(x)的最大值；1 .1.当x=2时，以A为球心，2为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为中的一半；1当x=2时，以A为球心，。2为半径作一个球，该球面与正万体表面的交

12、线弧长为3x-3nX2ttX1=2，对照选项可得B正确.10.在正方形ABCD中，点E,F分别为边BC,AD的中点，将ABF沿BF所在的直线进行翻折，将CDE沿DE所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中()A.点A与点C在某一位置可能重合B.点A与点C的最大距离为*ABC.直线AB与直线CD可能垂直D,直线AF与直线CE可能垂直答案D1解+析右点A与点C在某一位置重合，则在4ABE中，BE=AE=2AB,即有BE+AE=AB,则BE,AE,AB三边不构成三角形，故A错.在正方形ABCD中，设AC与BF,ED分别交于点M,N,则AM+NM+NC=/aB,在翻折的过程中，总有AC<AM+MC&

13、lt;AM+MN+NC=mAB,故B错.因为BF/DE,/ABFw/CED,所以在翻折的过程中，AB与CE不平行，过点B作BP/CE,且BP=CE,则直线BP,BA是相交直线，由四边形BECP为平行四边形得CP/BE,且CP=BE,从而有CP/DF,且CP=DF,所以四边形CDFP为平行四边形，故FP/CD,故若ABXCD,则FPXAB,又CDXCE,故FPXPB,从而有1_1FPL平面ABP,所以FPXAP,则在AFPA中，AF>FP,但AF=2CD="FP,矛盾，故C错.由上知若直线AF与直线CE垂直，则AFXBP,又FPXPB,从而有BPL平面APF,所以BPXAP,故只

14、需AP=*AB即可，即D正确，故选D.11.如图，已知ABC是等腰直角三角形,/C=2,点M在ABC外，且MB=1,MC=2,则MA的最大值是A答案2山+1解+析如图，以C为原点，MC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则M(2,0).设A(x,y),则由ACBC且AC=BC可得B(-y,x),又MB=1,则(y+2)2+x2=1,即知点A的轨迹是以P(0,2)为圆心，1为半径为圆，则AMWMP+PA=2，2+1.12 .如图所示，正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为1,E,F分别是棱AA',CC'的中点，过直线EF的平面分别与棱BB',

15、DD'分别交于M,N两点，设BM=x,xC0,1,给出以下四个结论：平面MENFL平面BDD'B'直线AC/平面MENF始终成立；四边形MENF周长L=f(x),xC0,1是单调函数；四棱锥C'-MENF的体积V=h(x)为常数.以上结论正确的是.答案解+析因为EFBB',EFXBD,BB'ABD=B,所以EFL平面BDD'B',所以平面MENF，平面BDD'B'成立;因为AC/EF,所以直线AC/平面MENF始终成立;因为MF='Jg-x,2+1，f(x)=4Jx-22+1，所以f(x)在0,1上不是单调

16、函数；11111Vc，-MENF=Vf-MC，e+Vf-C，NE=T；二十二二=二，故h(x)为常数.3434613 .正四面体ABCD的棱长为6,其中AB/平面%E,F分别为线段AD,BC的中点，当正四面体以AB为轴旋转时，线段EF在平面a上的射影长的取值范围是.答案3,32解+析如图，取AC的中点G,连接GE,GF,EF,结合已知可得GF/AB,在正四面体中，ABXCD,又GE/CD,GEXGF,EF2=GE2+GF2,当四面体绕AB旋转时，1. GF/平面&GE与GF的垂直性保持不变，显然当CD与平面a垂直时，GE在平面a上的射影长最短为0,此时EF在平面a上射影EiFi的长取得

17、最小值3.当CD与平面a平行时，GE在平面上的射影长取得最大值3,EiFi取得最大值3血，所以射影EiFi长度的取彳1范围是3,3亚.14.如图，/ACB=90°,DA,平面ABC,AEXDB交DB于E,AF±DC交DC于F,且AD=AB=2,则三棱锥DAEF体积的最大值为.解+析.AD，平面ABC,DAXAB,AD±BC, .AEXDB,又AD=AB=2,，DE=也.又BCXAC,ACOAD=A, .BC,平面ACD, 平面BCD,平面ACD,AF±DC,平面BCDn平面ACD=CD,AF?平面ACD, .AFL平面BCD,.-.AF±BD,

18、又AEXBD,AFAAE=A, .BD,平面AEF,由AFXEF,得AF2+EF2=AE2=2>2AFEF,即AFEF<1,_1Saaef2，当且仅当AF=EF=1时=成立，三棱锥D-AEF体积的最大值为xJ2x=y.32615.如图，已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=V5,/ADC=90°,沿直线AC将ACD翻折成ACD',直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是.答案,6解+析设直线AC与BD'所成角为以平面ACD翻折的角度为设O是AC中点，由已知得AC=&,如图，以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线

19、为z轴，建立空间直角坐标系,由A,乎,0j,B婚,0,0jC0,作DH±AC于H,翻折过程中，D'H始终与AC垂直，CH=CD21CA、；61X,5_30因此可设D'306cosa,-3",噜sinJ,cos5一则M=.30.630花sinai,与CA平行的单位向量为n=(0,1,0),所以cos0=|cosbD,n>|=BDnI收I|n|,6_39+5cosa所以cosa=1时，cos。取最大值/16.已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2,D,E分别为AB,AC的中点，沿DE将ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥ADECB的外接球的表面积为答案10兀解+析因为4ADE为等腰直角三角形,所以4ADE的外接圆的圆心在DE上,即平面ADE截四锥A-DECB的外接球所得的截面圆的圆心在DE上,即在平面DECB内,所以等腰梯形DECB的外接圆的半径即为四棱锥A-DEC