2021年整理全等三角形压轴题及分类解析

1、全等三角形压轴题及分类解析编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（全等三角形压轴题及分类解析）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为全等三角形压轴题及分类解析的全部内容。8年级三角形综合题归类一、双等边三角形模型1 .(1)如图7,点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OABf

2、fi等边三角形OCD连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/AEB的大小；(2)如图8,AOAB固定不动，保持AOCD勺形状和大小不变，将AOCD绕着点O旋转(AOABffiAOC¥能重叠)，求/AEB的大小。图72 .已知：点C为线段AB上一点，ACMCBN都是等边三角形，且ANBM相交于O.求证：AN=BM求/AOB的度数潭中考同类变式：如图a,ABC和4CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF和BE(1)线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2)将图a中的4CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b,(1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；(3

3、)若将图a中的4ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗？作出判断不必'说明理由.'BE,AMN是等边三角形.(1)当把ADE绕A点旋转到图10的位置时，CDBE是否仍然成立不成立，请说明理由；(2)当ADE绕A点旋转到图11的位置时，AMN是否还是等边三角明，若/、是，请说明理由.HEMBaBA图9图10图11?若成立,请证明；若形？若是，请给出证R3.如图9,若ABC和ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点，易证:同类变式：已知，如图所示，在ABC和ADE中，ABAC,ADAE,BACDAE,且点B,A,D在一条直

4、线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证：BECD；AM(2)在图的基础上，将AADE绕点A按顺时针方向旋转180,其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立ACAEBM图图4。如图，四边形ABCU口四边形AEFG匀为正方形，连接BG与DE相交于点H.(1)证明：ABGAADE;(2)试猜想BHD勺度数，并说明理由；(3)将图中正方形ABC暖点A逆时针旋转(0°<BAE<180),设ABE勺面积为Si,zADG勺面积为S2,判断S与S2的大小关系，并给予证明.CB5.已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG

5、/BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DEDB,连接AE,CD.(1)求证：AGEDAC;(2)过点E作EF/DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断4AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1:利用垂直证明角相等1.如图，ABC,/AC氏90°,AOBC,AE是BC边上的中线，过C作CF,AE垂足为F,过B作BDLBC交CF的延长线于D.求证：(1)AE=CD(2)若AO12cm,求BD的长.2.（西安中考）如图（1）,已知ABC中,/BAC=90,AB=AC,AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BDXA

6、ETD,CELAE于E图（1）图（2）图（3）（1）试说明：BD=DE+CE若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BDCE）,其余条件不变，问BD与DECE的关系如何？写结论，并说明理由。（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE,其余条件不变，问BD与DECE的关系如何？写出结论，可不说明理由.3。直线CD经过BCA的顶点C,CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CM过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1,若BCA90',90",WJEF|BEAF|（填“:”或“”号）；(2)如图3,若直线CM过BCA的

7、外部,BCA,请探究ER与BEAF三条线段的数,则与BCA应满足的关系如图2,若0-BCA180、，若使中的结论仍然成立量关系，并给予证明.DCA图1考点2:利用角相等证明垂直1.已知BE,CF是4ABC的高，且BP=ACCQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系2。如图，在等腰RtAABCt,/ACS90°,D为BC的中点,DELAB垂足为E,过点B作BF/AC(3)连接AF试判断4ACF的形状.交DE的延长线于点F,连接CF(1)求证：CD=BF;(2)求证：AD±CF;拓展巩固：如图9所示，ABC是等腰直角三角形，/AC氏90°,AD是BC边上的中线，过

8、C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/AD(C=/BDEE图9(提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？)3.如图1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE,GC.(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论;(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2,连接AE和GC。你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4。如图1,ABC的边BC在直线l上，ACBC,且ACBC,EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP全等三角形压轴题及

9、分类解析(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2) 将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.(2)三、等腰三角形(中考重难点之一)考点1：等腰三角形性质的应用1 .如图，ABC中，ABAC,交于F.求证：BEAF,BACAECF90 ,D是BC中

10、点，EDFD,ED与AB交于E,FD与AC2.两个全等的含30,60角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E,AC三点在一条直线上，连结BD,取BD的中点M,连结ME,MC.试判断EMC的形状，并说明理由.压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知RtABC中，ACBC,C90,D为AB边的中点，EDF90,EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1）,易证SdefScef-Sabc.当EDF绕D点旋转2到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SdEF，SceF，S

11、ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3.已知：如图，ABC,/AB(=45,CDLAB于D,BE平分/ABC且BELAC于E,与CD相1一,父于点F,H是BC边的中点，连结DMBE相父于点G（1）BF=AC（2）CE=-BFCE与2BC的大小关系如何考点2:等腰直角三角形（45度的联想）1 .如图1,四边形ABCC®正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A,B重合），另一条直角边与/CBM的平分线BF相交于点F。如图14-1,当点E在AB边的中点位置时: 通

12、过测量DE,EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是; 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是请证明你的上述两猜想如图14-2,当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,全等三角形压轴题及分类解析使得NE=BF进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明2。在RtABC中,AC=BC,/AC氏90D是AC的中点，DGLAC交AB于点G。(1)如图1,E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF连结EF与CF,过点F作FHLFC,交直线AB于点H.求证：DG=DC判断FH与FC的数量关系并加以证明.(2)若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG

13、上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生图1图2同类变式：（期末考试原题哦）已知：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A,且60o角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与/ACM勺平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时错误!猜想AE与EF满足的数量关系是错误!连结点E与AB边得中点N，猜想BE和CF满足的数量关系是,3请证明你的上述猜想;AE和EF（2）如图（2）当点E在BC边得任意位置时,有怎样的数量关系，并说明你的理由？图（1）1.如图:E在线

14、段CD上,BC=y,且x,y满足x2EA、EB分另I平分/DA郎/CBA,/AEB=90，设AD=x,y26x（1）求AD和BC的长；（2）你认为（3）你能求出AB的长度吗？若能8y250AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；，请写出推理过程；若不能，请说明理由。四、角平分线问题2。如图，OP是/MON勺平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABg,/ACEM直角,ZB=60,ADCE分别是/BAC/BCA勺平分线，ADCE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(2)如图，在ABC中，如果/A

15、C/是直角,而(1)中的其它条件不变，请问，你在(第23题图)03。(北京市中考模拟题)如图,在四边形ABCD中，AC平分BAD,过C作CEAB于E,并且1AE(ABAD),贝UABCADC等于多少2的长.4.如图，ABC中，AD平分/BACDGLBC且平分BCDHABDF,AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=b,求AE五、中点问题1 o在ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于BG于点G.DEGF,并交AB于点E.连结EG。(1)求证：BGCF;(2)请猜想BECF与EF的大小关系，并加以证明2 .如右下图，在ABC中，若B2C,ADBC,E为BC边的中

16、点.求证：AB2DE.3,已知ABC中，ABAC,BD为AB的延长线，且BDAB,CE为ABC的AB边上的中线.求证CD2CE（提示：倍长中线试试）附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90。连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与DE的数量关系是；将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.请你判断线段BE与CD的关系，并说明

17、理由.1.判断与说理（1）如图11I1ADE中，AE=ADS/AED=ADE,/EAD=90,EGDB分另平分/AED/ADE交ADAE于点C、B,连接BC.请你判断ARAC是否相等，并说明理由；（2） 4ADE的位置保持不变，将4ABC绕点A逆时针旋转至图112的位置，AD,BE相交于O,2.某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图12-1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC.AB上的点，BM与CN相交于点0,若/BON=60°,则BM=CN0如图12-2,在正方形ABCD,MN分别是CDAD上的点，BM与CN相交于点0,若/BON=900,WJBM=CN.学习小组

18、成员根据上述两个命题运用类比.的思想又出了如下的命题：如图123,在正五边形ABCD叶,MN分别是CDDE上的点，BM与CN相交于点0,若/BON=108°,BM=CN.（友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等）（1）请你从、三个命题中选择一个.说明我（2）请你继续完成下面的探索：图125如图12-4,在正n边形（n>6）中，M、N分别是CDDE上的点，BM与CN相交于点O,问当/BON?于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）如图125,在正五边形ABCD叶,MN分别是DEAE上的点，BM与CN相交于点O,当/BON=1080时，请问结论BM=CN否还成立？若成立，

19、请给予证明；若不成立，请说明理由。解：（1）我选理由如下：。（仅填写、中的一个）3。如图9所示，4ABC是等腰直角三角形，/AC氏90°,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F.请你猜想/ADCft/BDE系，并证明你的猜想。E4。如下几个图形是五角星和它的变形.（1）图中是一个五角星形状，求/A+/B+ZC+/D+ZE=;（2）图中的点A向下移到BE上时（如图）五个角的和（即/CAD+B+/C+/D+/E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图中的点C向上移动到BD上时（如图），五个角的和（即/CAD吆B+ZACE吆D+/E）有无变化？说明你的结论的

20、正确性.（4）如图，在ABC中，CDBE分别是ARAC边上的中线，延长CD至UF,使FD=CD延长BE到G,使EG=BE那么AF与AG是否相等？F、AG三点是否在一条直线上？说说你的理由。5、操作实验:图（3）如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称.所以4AB堂AACD所以/B=/C.归纳结论：如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的角也相胃根据上述内容，回答下列问题思考验证：如图(4),在4ABC中，AB=AC试说明/B=ZC的理由.(1)BE与AD是否相等？为什么?(2)小明认为AC是线段DE的垂直平分线图(5)探究应用：如图(5),CBLAB,

21、垂足为A,DALAB,垂足为B.E为AB的中点，AB=BC,CEBD（3） /DBC与/DCB相等吗？试说明理由.6.如图131，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF,BE2.(1)求EC：CF的值；(2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图13-2),试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；(3)在图132的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.7.团体购买某“素质拓展训练营”的门票，票价如表（a为正整数）团体购票人上每人门票价a元(a3)元(a6)元某中学高一（

22、1）、高一（2）班同学准备参加“素质拓展训练营”活动，其中高一（1）班人数不超过50,高一（2）的人数超过50但不超过80。当a=48时，若两班分别购票，两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元。问这两个班级各有多少人？某校学生会现有资金4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完,且参加人数超过了100人，问共有多少人参加了这一活动？并求出此时a的值。8。如下图，在ABC中,AD平分/BAQAB+BD=ACRU/B：ZC为.9 .如左下图，AB/CDAD/BQOE=OF则

23、图中全等三角形的组数是Ao3B.4C05D.610 .两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD取BD的中点M连结MEMC试火断4EMC的形状，并说明理由.11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能画出一个角的平分线，下面是小明的画法，你认为他的画法对吗？请你按照小明的画法，画出图形，说明理由。利用刻度尺在/AOB的两边上分别取OC=OD连结CD,利用刻度尺画出CD的中点E画射线OEM线OE即为/AOB的角平分线.（2）请你探索只利用你的三角尺（可以量长度、画直角）画出一个角的平分线的画法。（要求：画出图形；简要

24、说明画法；说明理由。）12。（1）如图（1），正方形ABCDt,E为边CD上一点，连结AE,过点A作AFLAE交CB的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；（2）如图（2）,在（1）的条件下，连结AC,过点A作AMLAC交CB的延长线于M,观察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；（3）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中ZA=ZC=90°,AB=AD.王师傅想切一刀后把它拼成正方形.请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼的示意图；王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由.,

25、若方程组集合中的方程13。下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图方程组n.组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、（1）将方程组1的解填入图中；全等三角形压轴题及分类解析（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中;（3）若方程组xny1的解是x10,求mn的值，并判断该方程组是否符合（2）中的xmy16y9规律？14 .某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒.（长方形的宽与正方形的边长相等）（1）现有正方形纸板50张，长方形纸板l00张，若要做竖式纸盒x个，横式纸盒y个.纸板等式轼盒（个）横

26、式柢散（个）y正方形抵掘张）长方序纸板1张）3尸根据题意，完成以下表格:若纸板全部用完，求x、y的值；（2）若有正方形纸板80张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好全部用完.已知162<n<172,求n的值.边形，正五边形,多边形）15 .（1）如图1,图2,图3,在4ABC中，分别以AB,AC为边，向4ABC外作正三角形，正四BE,CD相交于点O.（说明：每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正如图1,求证:ABEAADC;BJ1C8_S3探究：如图1,BOC;如图2,BOC;如图3,BOC.（2）如图4,已知：AB,AD是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；AC

27、,AE是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边.BE,CD的延长相交于点O.猜想：如图4,BOC（用含n的式子表示）；根据图4证明你的猜想.16 .按照指定要求画图（1）如下图1所示，黑粗线把一个由18个小正方形组成的图形分割成两个全等图形，请在图2中，仿图1沿着虚线用四种不同的画法，把每图形分割成两个全等图形.（2）请将下面由16个小正方形组成的图形，用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线把它分割成两个全等图形17 .用两个全等的等边三角形ABC和4ACD拼成四边形ABCD把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与ARAC

28、重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别与四边形的两边BGCD相交于点E、F时（如图a）,通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并说明理由；（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BGCD的延长线相交于点E、F时（如图b）,你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。（本题12分）18 .如图，在下列网格中，/ABCffi，DEF全等，且DE与AB是对应线段，则符合条件的F点的个数为（）。从1个B。2个C03个Dc4个28（本题满分X分）如图，已知梯形中r厘米，J?C=8厘*，ZB=ZCf点£为AE的中氨.点P在线段BC上由"点向C点运动,

29、同时，点2在城段CD上由C点向£点运动.若点F与。都以2屋米/秒的相同速度运动里过I.3秒后，aB#甚与©Cp尸是否全等？谢说明理由.若点P的速度为3JS米，秒,当点。的运动速度为多少眸，能悖使与AC0P全等？19、已知：如图所示，在ABC和4ADE中，ABAC,ADAE,/BACqDAEjc,且点B,A,D在一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.（1）求证：BECD;（2）在图的基础上，将4ADE绕点A按顺时针方向旋转180”,其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；在旋转的过程中，若直线BE与CD相交于点P,试探究/

30、APB与/MAN勺关系，并说明理由（结果用含a的代数式表示）图图第27题图27.（本题满分10分）在/用？中*d»=dC*ZABC-=ZACB.点。是直线3c上一点不与从C童合）,以d。为一边花金口的右侧作使/E-4/"直工/瓦4c连接CE.设上限tC=*Z»C£=B.（I】如图.当点Q在线段BC上时，如果26dC=9（r,则20CE=曲如果ZmC=1M*,WjZJJC£=SLt如果上班C=50”,则/占C£=At你认为。.日之间有怎样的费量关系？请说明理由；（?）当点D在直域3C上移动时，则。.B之间有怎样的数量关系？请在先用图上画

31、出图形并直接写出你的结论.21。如右图所示，方格纸中有A、B、C、DE五个格点（图中的每一个方格均表示边长为1个单位的正方形），以其中的任意3个点为顶点，画出所丁匚丁；1-C1.，1I«1I>有的三角形，数一下，共构成个三角形，其中有对全等三角形,它们分别请选取一对非直角全等三角形，说明全等的理由.22 .已知/AOB=90,在/AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OAOB（或它们的反向延长线）相交于点D、E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1）,易证：CD=CE当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情

32、况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.23 .如图，DACffiEBC均是等边三角形，AEBD分别与CD交于点MN,有如下结论：乙AC睦DCBCM=CN;EMBN.其中，正确结论的个数是()CEA3个B.2个C.1个D.0个24 .锐角为45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形.我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板.把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BCFP均在直线l上，边EF与边AC重合.(1)将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q连结AP,BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(2)将EFP沿直线l向左平移到图3的