2020年山西晋城高考数学一模试卷理科

1、2020年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2.3.4.（5分）已知集合A.(0,e)（5分）已知复数A1i22（5分）已知tanA.7-1101,Bx|1x2,贝U1,2)C.(1,e)则复数z的共轲复数z(3.31iC.-222x|lnxB.(2)sin2()i2B.127B.10C.7.2102,y满足约束条件x2x2y2,0,则AIBD.D.D.zx3y的最小值为(0,2)710C.D.5.（5分）甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则ft6.7.C.(5甲得分的平均数比

2、乙的大甲得分的中位数比乙的大B.乙的成绩更稳定D.甲的成绩更稳定分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)alnxa,若f(e)4,f(0)f(1)()C.D.1（5分）函数f（x）业皿在）（0,xsinx的图象大致为（）A"/工厂】A.4B.2点C.2422._2_.9. （5分）已知P是抛物线C:y2px（p0）上的一点，原点，若|PF|2,PFO,则抛物线C的方程为（32c2c-2A.y6xB.y2xC.yx10. （5分）如图，在长方体ABCDABC1D1中，AB8,成角的余弦值为1,则该长方体外接球的表面积为（）5&A.98B.196C.784一22一

3、_._._11. （5分）双曲线mxny1（mn0）的渐近线于圆（x3石点P（2,3出），则该双曲线的虚轴长为（）2A.3B.4C.612. （5分）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为D,275F是抛物线C的焦点，O为坐标）2,:D.y4xAD6,异面直线BD与ACi所1372D.35）2y29相切，且该双曲线过D.8a,b,c,ABC的面积为S,8.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）若sin（AC）22s2,则tanC1的最小值为（）bc2tan（BC）A.在B,2C,1D,2"二、填空题（每题5分，茜分20分，将答案填在答题纸上）13. （5分）

4、已知向量a（1,m）,t）（,）,若ab,则m.2214. （5分）（2xI）7的二项展开式中，x项的系数是.（用数字作答）x15. （5分）若函数f（x）sinxacosx图象的一条对称轴方程为x，则a.322,16. （5分）右lnx1x1y120,x22y242ln20,则（为x2）（y1y）的最小值为,此时x2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.217. （12分）已知等差数列的前n项和为&,且S2nknk.（1）求an的通项公式；1（2）右bn,求数列bn的前n项

5、和Tn.anan118. （12分）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示:购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r,并判断y与x是否线性相关;（2）请将上述22列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关;(3)若以这3

6、0名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X,求X的数学期望与方差.n(Xix)(yiy)2参考公式：r_i1,k2n(adbc),其中,n2n2(ab)(cd)(ac)(bd)二(Xix)：i(yiy)nabcd.763525,若r0.9,则可判断y与x线性相关.附表：_2P（K天）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82819. （12分）如图，在直四棱柱ABCDARGD中，底面ABCD为梯形，AB/CD,BAD60,

7、CD1,AD2,AB4,点G在线段AB上，AG3GB,AA1.（1）证明：D£/平面BBCC.(2)求二面角ADQA的余弦值.2220. (12分)已知椭圆C:、与1(ab0)的半焦距为c,圆O:x2y2c2与椭圆C有ab且仅有两个公共点，直线y2与椭圆C只有一个公共点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F,且与椭圆C分别交于P,Q两点，试问：x轴上第4页(共20页)是否存在定点R,使得器揭为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，请说明理由.221. (12分)已知函数f(x)的定乂域为R且满足f(x)f(x)x,当x0时，f(x)x.(1)判断f

8、(x)在(，0上的单调性并加以证明；(2)若方程f(x)x有实数根x。，则称x。为函数f(x)的一个不动点，设正数x。为函数1g(x)xea(1e)x1的一个不动点，且f(x。)一f(1x。)x。，求a的取值氾围.222. (1。分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x&in(为参数)，以坐标y.6cos原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos(-)2.3(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；(2)直线l与x轴的交点为P,经过点P的直线m与曲线C交于A,B两点，若|PA|PB|4>/3,求直线m的倾斜角.23. 已知函数f(x)|3x1|

9、3x3|.(1)求不等式f(x)-1。的解集；(2)正数a,b满足ab2,证明：Jf(x)7aLJb.2020年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（5分）已知集合Ax|lnx1),Bx|1x2)，则A|BA.(0,e)B.(1,2)C.(1,e)D.(0,2)【解答】解：Ax|0xe),Bx|1x2),A|B(0,2).2.（5分）已知复数2,则复数z的共轲复数z13.i22【解答】解：由z2(.3i)I(3i)(.3I)3.（5分）已知tan3,则cos2sin2A7

10、_210c7B.10C.10D.10【解答】解：Qtan3,2cossin22cos2sincos12tan4.(5分)设x,2sin2cos2tan10y满足约束条件x2xy2yy2,02,0,20x3y的最小值为D.A.在1i22C.D.【解答】解：由约束条件作出可行域如图,z有最小值为A.甲得分的平均数比乙的大11由图可知，当直线y-Xz过A（0,2）时,335. （5分）甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则B.乙的成绩更稳定C.甲得分的中位数比乙的大D.甲的成绩更稳定【解答】解：由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，得:在A中，甲的平均分X1-(10131214

11、16)13,一1x2-(1314121214)13,5甲得分的平均数与乙的平均数相等，故A错误;在B中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图,分析离散程度，得到乙的成绩更稳定，故B正确；在C中，甲得分的中位数和乙得分的中位数都是13,故C错误;在D中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，分析离散程度，得到甲的成绩更稳定，故D错误.故选：B.6. (5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)alnxa,若f(e)4,则f(0)f(1)()A. 1B. 0C. 2D.【解答】解：根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)0,若f(e)4,则f(e)f(

12、e)4,又由当x0时，f(x)alnxa,则f(e)alnea2a4,解可得2,则f(1)2ln122,故f(0)f(1)2;ln|xhcosx入r7.(5分)函数f(x)!叱在xsinx，0)(0,的图象大致为(C.A.D.B.【解答】解：Qf(x)In|xIgsosxxsinxf(x)，函数f(x)为奇函数,又Qf(1)0,f(-)0，f(3)0,f()0,选项D符合题意.8.(5分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为()A.4B,2百C.2拒D,275【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：第8页(共20页)如图所示:2廖.故选：C.9.（5分）已知P是抛物线2C:

13、y2px(p0）上的一点,F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|2,PFO则抛物线3C的方程为（C.y22.D.y4x【解答】解：如图所示：由抛物线的方程可得焦点F(1,0),xp由|PF|2可得|PF|cos3由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以Xp所以抛物线的方程为：y26x,故选：A.6,异面直线BD与ACi所10.（5分）如图，在长方体ABCDABiCiDi中，AB8,AD1成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）5A.98B.196C.7841372D.3【解答】解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系,DA为x轴,D为坐标原点,由题意知A(6,0,0),B

14、(6,8,0),D(0,0,0)，设D(0,0,a),则C1(0,8,a),UULTDB(6,8,ULUT0),AC1(6,8,a),LUITUULUcosDB,AC1UULTUUUUDBgAC1UUT口11366414|DB|gAG|I0g/1QQ5.1001由题思可得：-5,解得：a25.100a296,由题意长方体的对角线等于外接球的直径,设外接球的半径为R,则(2R)2_2282622a2196,所以该长方体的外接球的表面积22ny1(mn0)的渐近线于圆2(X5)9相切，且该双曲线过一35点P(2,3-),则该双曲线的虚轴长为2B.4C.6D.8【解答】解:双曲线mx2ny21(mn

15、0)的一条渐近线.|m|x圆E:(x5)2y29的圆心(5,0)，半径r3.Q渐近线与圆2E:(x5)22.y9相切,扁%3'即161m|9|n|,立该双曲线过点P(2,245n4m4解可得2双曲线匕91n一92x116，12.(5分)1，16在锐角若sin(AC)该双曲线的虚轴长为:ABC中，角A,B,8.C的对边分别为a,ABC的面积为S,2S722bc,则tanC2tan(BC)的最小值为（D.【解答】解:,2S2S由sin(AC)-2，得sinB-2b2c2b2c2acsinBb2C.1所以b2c2利用正弦定理sinA2sinCcosBsinC,222ac,由bac2accos

16、B,得a2ccosBsinC,即sin(BC)sinC,Q锐角ABC中，tan(BC)tanC,tanC1tanC2tan(BC)12：tanCg1衣，当且仅当2tanC2tanCtanC”2时取等，2二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上），一r13. （5分）已知向量a【解答】解：根据题意,r22rr(1,m),b(,),右ab,贝Um22向量a(1,m),b(,),2214. (5分)(2x1）7的二项展开式中，x项的系数是560_.（用数字作答）xsinBcosCcosBsinC2sinCcosBsinBcosCcosBsinC-)r(1)rc27rcc7gx72rx(2

17、x)7的二项展开式中,x项的系数是24C；560.故答案为：560.15.(5分)若函数f(x)sinxacosx图象的一条对称轴方程为解：f(x)a(sinxcosx),令cos11a2sin【解答】解：(2x1)7的二项展开式的通项为Tr1C7(2x)7r(x由72r1,得r3.即tan贝Uf(x)1asin(x),Qf(x)的一条对称轴方程为则atantan(k6)tan(6)_J3，故答案为:16.(5分)若1nxix1Vi2,、2,2y2421n20,则(为x2)(yy2)的最小值此时x2【解答】解：由1nxixy10得V11nxi即点A(x,y1)在曲线y1nx2上,点B(x2,y

18、2)在直线x2y421n20上,B两点距离的平方,(%x2)2(y1y2)2的几何意义表示为A,1y1nxx2的导致y-1,x直线x2y421n20的斜率k&11/曰1由y1一得一x2x1/日一,得x2y1n2221n2,即切点坐标为(2,1n2),即此时切点到直线的距离d1221n24521n2|2一22.忑,即(x1x2)(y1y2)的取小值为d245切点与直线x2y42ln20垂直的直线方程设2xln2yln24,2xy2yln240得x2ln2012上，即地512一,5故答案为:125三、解答题:70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生

19、都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答17. （12分）已知等差数列an的前n项和为Sn,且S2n2kn（1）求an的通项公式;1(2)右bn,求数列bn的刖n项和Tn.anan1【解答】解：（1）由题意，设等差数列an的公差为d,则2)n2,2nkn解得a1dk数列an的通项公式为an4(n1)4n2.（2）由（1）知,1bn一anan1(4n12)(4n2)1g一82n1).2n1bn故Tn8。18。1X13)131/862n15)g82n112n12n1)4(2n1)18. (12分)“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展.

20、下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:年份20142015201620172018销量(万台)810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示:购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30(1)求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r,并判断y与x是否线性相关；(2)请将上述22列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；(3)若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取

21、50人，记选到女性车主的人数为X,求X的数学期望与方差.n(Xix)(yiy)2参考公式：r,.,k2n(adbc),其中n2n2(ab)(cd)(ac)(bd)i1(Xix"?y)nabcd.v63525,若r0.9,则可判断y与x线性相关.附表：P(K2-kc)0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.8281【解答】解：(1)x-(20142015201620172018)20165_1y-(810132524)16,55(xix)(yy)(2)(8)(1)(6)192847,i15522(xix)411410,(yiy)6

22、43698164254,5(Xix)(yiy)ii(xX)2(yiy)2i1,i1470.940.9,10,254y与x线性相关.(2)依题意，完善表格如下:购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主18624女性车主246总计2010303.752.706，-2-230(18426)15K-2010246442105有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.(3)依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为22则XB(50,-),E(X)50-20,5522D(X)50(1-)12.5519.(12分)如图，在直四棱柱ABCDABGD中，底面ABCD为梯形，AB/CD,BA

23、D60,CD1,AD2,AB4,点G在线段AB上，AG3GB,AA(1)证明：D£/平面BB1C1C.(2)求二面角ADQA的余弦值.【解答】解：（1）证明：连接GB,因为底面ABCD为梯形，AB/CD,AB44CD,AG3GB,则GB/CD/D1cl，且GBD1G1,所以四边形GBC1D1为平行四边形，则DG/GB,又C1B在平面BB1cle内，D1G不在平面BB1c1c内，所以D1G/平面BB1C1C.作DHAB于H,以D为坐标原点，分别以DH,DC,DD1所在直线为x轴，y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则口(0,0,1),A(61,1),A(向1,0),G(g,2,0)

24、,ULULTD1ALULUf1,0),D1G_uuir(3,2,1),AG(0,3,0),rLuuir一，可取m(1,73,373);0rwmgD1A3xy0设平面AQG的法向量为m(x,y,z),则省山一mgDiG,3x2yzr工一一re,ngAG3b0r一二、设平面AD£的法向量为n(a,b,c),则rQjir，可取n(1,0,J3),ngD1G3a2bc0rr531cosm,n,5.31331又二面角AD1GA的平面角为锐角，故所求余弦值为2X20.(12分)已知椭圆C:一a2b0)的半焦距为c,圆O:x2C2与椭圆C有且仅有两个公共点，直线y2与椭圆C只有一个公共点.(1)求

25、椭圆C的标准方程;(2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F,且与椭圆C分别交于P,Q两点，试问：x轴上uuuujur是否存在定点R,使得RPgRQ为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)圆O:x2(1k2)x1x2(2k2y2c2与椭圆C有且仅有两个公共点，则bc；直线y2与椭圆C只有一个公共点，b2,又a2b2c28；22所以椭圆的方程为：1;84%)，Q(%，y2)，当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为：yk(x2),kxy2k22田XyI840,消去y得(2k22221)x8kx8(k1)0,2得XXx1x222k1XX228(k22k假设X轴上存在

26、定点21ULUULUTR(t,0),使得RPcRQ为定值，则LUULur2RPcRQ(x1t,%)小2t,y2)x/2t(x1x2)y佻t2x1x2t(x1x2)k(x2)k(x22)t一、2.2t)(Xx2)t24k2(1,2.8(kk)g-2k1)12t222k(24t)8t22t,2k1uuuunr要使RPgRQ为定值，于是24t1uuuuutr贝URPgRQ82584当直线l与x轴垂直时，把x2代入y贬，于是P(2,应),Q(2,42)uuuuumr5_故RPgRQ(2-,2)g27为定值,4221.(12分)已知函数f(x)的定乂域为R且满足f(x)f(x)x,当x-0时，f(x)x

27、.(1)判断f(x)在(，0上的单调性并加以证明；(2)若方程f(x)x有实数根x0,则称x0为函数f(x)的一个不动点，设正数x0为函数1g(x)xea(1e)x1的一个不动点，且f(x0)-f(1%)x0,求a的取值氾围.21o【斛答】斛：(1)令h(x)f(x)”则h(x)f(x)X,因为当x-0时，f(x)x,即h(x)0,故h(x)在0,)上单调递减，又f(x)f(x)x2,所以h(x)h(x)0,故h(x)为奇函数，根据奇函数的对称性可知，h(x)在(，0)上单调递减，12因为y2x在(，0上单倜递减，12故f(x)h(x)-x2在(，0上单调递减，2,1由f(%)2f(1%)%,可得h(%)h(1(2)由(1)可知，h(x)在R上单调递减，x。),1所以为,1%，即,一2因为正数