刘第四章 摩擦平衡问题

1、第四章第四章 摩擦平衡问题摩擦平衡问题 摩擦是机械运动中普遍存在的一种自然现象，例如人的行走、车辆行驶、摩擦是机械运动中普遍存在的一种自然现象，例如人的行走、车辆行驶、机械各零件联结处及建筑物各杆间接触处等，都存在着摩擦。但在以前各章机械各零件联结处及建筑物各杆间接触处等，都存在着摩擦。但在以前各章中把物体接触表面假设为绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，这是对实际中把物体接触表面假设为绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，这是对实际情况的一种理想化。如果物体接触面比较光滑，或者有良好的润滑，以致摩情况的一种理想化。如果物体接触面比较光滑，或者有良好的润滑，以致摩擦作用很小，对问题的研究不起重要作用

2、，此时这种理想化是合理的。但是擦作用很小，对问题的研究不起重要作用，此时这种理想化是合理的。但是当摩擦的作用对问题的研究有重要影响时，就不能忽略摩擦了。对摩擦的研当摩擦的作用对问题的研究有重要影响时，就不能忽略摩擦了。对摩擦的研究涉及到很多学科，是个十分复杂的问题。究涉及到很多学科，是个十分复杂的问题。本章只利用经典摩擦理论来研究物体在有摩擦时的平衡问题。分两个部本章只利用经典摩擦理论来研究物体在有摩擦时的平衡问题。分两个部分进行：分进行： 一部分：滑动摩擦。一部分：滑动摩擦。 另一部分：滚动阻碍。另一部分：滚动阻碍。4-14-1摩擦的基本概念摩擦的基本概念一一. .定义定义 摩擦：摩擦：相互

3、接触的物体或介质在相互接触的物体或介质在相对运动相对运动（包括滑动和滚动）（包括滑动和滚动）或或有相对运动趋势有相对运动趋势的情况下，接触表面（或层）会产生阻碍运动的情况下，接触表面（或层）会产生阻碍运动或阻碍运动趋势的机械作用，这种现象称为或阻碍运动趋势的机械作用，这种现象称为摩擦摩擦。摩擦力摩擦力：相应阻碍运动的力称为摩擦力。：相应阻碍运动的力称为摩擦力。三三. .滑动摩擦力滑动摩擦力 库伦定律库伦定律 滑动摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或滑动摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以相对滑动的方向相反，它的大小根

4、据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即分为三种情况，即静滑动摩擦力静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力和和动滑动动滑动摩擦力。摩擦力。 滑动摩擦力：滑动摩擦力：当两个相互接触的物体具有相对滑动或相对滑当两个相互接触的物体具有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力。动趋势时，彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力。静滑动摩擦力：静滑动摩擦力：仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力；仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力；动滑动摩擦动滑动摩擦力力：存在相对滑动时产生的摩擦力。：存在相对滑动时产生的摩擦力。FNPF 在粗糙的水平面上放置一重为在粗糙的水平面上

5、放置一重为P P的物体，该物体在重力的物体，该物体在重力P P和法向反力和法向反力F FN N的的作用下处于静止状态。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力作用下处于静止状态。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力F F，当拉，当拉力力F F由零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支承面对物体除法由零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支承面对物体除法向约束反力向约束反力F FN N外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力静滑动摩擦力，简称，简称静摩擦力静摩擦力，常以，常以F FS S表示，方向向左，如图。

6、表示，方向向左，如图。1 1、 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力FS 静摩擦力的大小静摩擦力的大小随水平力随水平力F F的增大而增大的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。力共同的性质。 静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力F F的增大而无限度地增大。的增大而无限度地增大。当力当力F F的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力状态。这时，只要力F F再增大一点，物块即开始滑动。再增大一点，

7、物块即开始滑动。 当当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以摩擦力，简称最大静摩擦力，以F Fmaxmax表示表示。 此后，如果此后，如果F F再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静摩擦力的特点衡而滑动。这就是静摩擦力的特点. .FNPFSF0:0 xSSFFFFF1 1、 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力max0sFF综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，综上所述可

8、知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即但介于零与最大值之间，即 由实验证明：由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的法向最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的法向反力的大小成正比反力的大小成正比，即：，即：maxsNFf F这就是这就是库伦摩擦定律库伦摩擦定律。式中。式中f fs s称为静滑动摩擦系数。称为静滑动摩擦系数。静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况表面情况( (如粗糙度、温度和湿度等如粗糙度、温度和湿度等) )有关，而与接触面积的大有关，而与接触面积的大小无关。小无关。大小大小：ddF

9、fFNsdff（对多数材料，通常情况下）（对多数材料，通常情况下）2、动滑动摩擦力的特点、动滑动摩擦力的特点方向方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；f fd d是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况有关。是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况有关。 实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。对于不同材料的物体，动摩擦系数随相对滑动的速度变化规律对于不同材料的物体，动摩擦系数随相对滑动的速度变化规律也不同。多数情况下，动摩擦系数随相对滑动速度的增大而稍也不同。多数情况下，动摩擦

10、系数随相对滑动速度的增大而稍减小，但当相对滑动速度不大时，减小，但当相对滑动速度不大时，动摩擦系数可近似地认为是动摩擦系数可近似地认为是个常数。个常数。 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同相同2 2 严格区分物体处于临界、非临界状态严格区分物体处于临界、非临界状态；3 3 因因 ，问题的解有时在一个范围内，问题的解有时在一个范围内maxFF s01 1 画受力图时，必须考虑摩擦力；画受力图时，必须考虑摩擦力；考虑滑动摩擦时物体的平衡问题考虑滑动摩擦时物体的平衡问题4-24-2几个新特点几个新特点已知：已知：.,sfP水平推力水平推力

11、 的大小的大小求：求：使物块静止，使物块静止，F例例4-14-1FP画物块受力图画物块受力图推力为推力为 使物块有上滑趋势时，使物块有上滑趋势时，1F解：解：PffFsincoscossinss1NsmaxFfFm1axcossin0PFF0 xF1Nsincos0PFF0yF设物块有下滑趋势时，推力为设物块有下滑趋势时，推力为 1F画物块受力图画物块受力图0 xFa1m xcossin0PFF 0yF1Nsincos0PFFNsmaxFfFPffF sincoscossinss1PffFPff sincoscossinsincoscossinssssPAB 梯子梯子AB长为长为2a，重为，重

12、为P，其一端置于水平，其一端置于水平面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯子面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯子与地和墙的静摩擦系数均为与地和墙的静摩擦系数均为 ，问梯子与水，问梯子与水平线的夹角平线的夹角 多大时，梯子能处于平衡？多大时，梯子能处于平衡？fPABANBNAFBFxymin解解1：（解析法）以梯子为研：（解析法）以梯子为研 究对象，当梯究对象，当梯子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，此时如图，此时 角取最小值角取最小值 。建立如图坐。建立如图坐标。标。min0:0BANFX（1）0:0ABNYPF（2）:0)(FmAminminminc

13、os2 cos2 sin0BBPaFaNa（3）例例4-24-2由库伦定律：由库伦定律：AAfNF （4）BBfNF （5）将式（将式（4）、（）、（5）代入（）代入（1）、（）、（2）得：）得：ABfNN BAfNPN即可解出：即可解出：21fPNA21ffPNBPABANBNAFBFxymin故故 应满足的条件是：应满足的条件是：m222此条件即为梯子的自锁条件。此条件即为梯子的自锁条件。将将 代入（代入（2）求出）求出 ，将，将 和和 代入（代入（3），得：），得：ANBFBFBN0sin2coscosminmin2minff将将 代入上式，解出：代入上式，解出：mtgf)2(22122

14、minmmmmtgctgtgtgtg 静力学小结静力学小结 本章的学习重点是围绕列平衡方程求约束反力本章的学习重点是围绕列平衡方程求约束反力其解题步骤为：其解题步骤为：1 1、根据所求，对题目进行分析，找到问题求解的突破口；、根据所求，对题目进行分析，找到问题求解的突破口；2 2、根据分析选取研究对象，画受力图；、根据分析选取研究对象，画受力图；3 3、根据受力图，列平衡方程求解。、根据受力图，列平衡方程求解。 关于矩的方程：关于矩的方程： 产生矩的有产生矩的有力对点的矩力对点的矩和和力偶力偶，矩方程中的正负号由他，矩方程中的正负号由他们的转向决定；们的转向决定； 有了力对轴之矩的概念后，我们

15、说平面力系中对某点的有了力对轴之矩的概念后，我们说平面力系中对某点的矩实质上是力对某轴的矩，故在矩的方程中，正负号也可按矩实质上是力对某轴的矩，故在矩的方程中，正负号也可按对轴矩的正负号来定。对轴矩的正负号来定。例例: :PORM图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？ FO0OM0MPR（亦可理解为对通过（亦可理解为对通过O O点的轴的合力矩为零）点的轴的合力矩为零）例12例 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。ABCDF2l/3l/

16、2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解: (1) 取BC分析()0:0BCyMMFl F2 kNCyMFl 求得结果为负说明与假设方向相反。例12(2) 取CD分析FCDFCxFCyFDxFDy2()0:03DCxlMFlF F24 kN3CxFF 求得结果为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0例12Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA(3) 取AB、BC分析10:02xCxAxFFFql11( 4)3 21kN22AxCxFFql 0:0yAyCyFFF( 2)2 kNAyCyFF ()0:11023AACyCxMMMqllFlFl F6 kN mAM 求得结果为负

17、说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2 Mq0例12Mq04KN2KNFAyMAFAxBCA(3) 取AB、BC分析10:402xAxFFql11443 21kN22AxFql 0:20yAyFF2 kNAyF()0:1124023AAMMMqllllF6 kN mAM 求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2 Mq0为 避 免 方 程为 避 免 方 程中 带 负 号 ，中 带 负 号 ，ABC受力图受力图也可这样画也可这样画课堂练习课堂练习求：求： 使系统保持平衡的力使系统保持平衡的力 的值的值. .F已知：已知：力力 ，角，角 ，不计自

18、重的，不计自重的 块间的块间的其它接触处光滑；其它接触处光滑；PBA,静摩擦静摩擦因因数为数为 ，sf例例4-74-7解：解：取整体分析，画受力图取整体分析，画受力图楔块楔块 向右运动向右运动A设力设力 小于小于 时，时，1FF取楔块取楔块 分析分析 ，画受力图，画受力图A0yF0NPFAPFAN)tan()tan(N1PFFA1RF1FNAFPNAFNBFF1FNAF1RF)tan()tan(N2 PFFA)tan()tan(PFP设力设力 大于大于 时，时，2FF楔块楔块 向左运动向左运动A取楔块取楔块 分析，画受力图分析，画受力图A1FNAF2RF2RF1FNAF求：求：挺杆不被卡住之挺杆不被卡住之 值值. .as,b df已知：已知：不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；例例4-34-3BBAAFfFFfFNsNs解：解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置取挺杆，设挺杆处于刚好