2020年九年级数学中考复习专题新定义导学案含答案解析

1、2020年中考总复习专题新定义一.选择题（共2小题）1 .已知点A在函数yi=-（x>0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k>0）上.若A,B两点关于原点对称，则称点A,B为函数yi,y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对2 .对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x11vx2,则c的取值范围是D.c<1B. cv-2C. c<-二4二.填空题（共5小题）3,

2、定义一种新运算：新定义运算a*b=ax（a-b）3,则3*4的结果是.|kx0+b-y0|4.已知点P（x0,y0）到直线y=kx+b的距离可表本为d=1,例如：点（0,Vi+k21）至直线y=2x+6的距离d=遍.据此进一步可得两条平行线y=x和y=x-4之间的距离为5.新定义：a,b为一次函数y=ax+b（aw0,a,b为实数）的“关联数”.若“关联数”1,m-2的一次函数是正比例函数，则关于x的方程1rd=1的解为x-1m6.对于实数p,q,我们用符号minp,q表示p,q两数中较小白数，如min1,2=1,min-2,3=3,若min(x+1)2,x27.已知有理数aw1,我们把-为a

3、的差倒数，如：2的差倒数是1-a=-1,-1的差倒11数是;八=一如果a1=-2,a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数依此类推，那么a1+a2+a100的值是三.解答题（共8小题）8 .对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由;第1页（共21页）(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数.若四位数m为"极数"，记D(m)=-HL,求满足D(m)是完全平方数的所有m.丽9 .若二次函数y=

4、ax2+bx+c(aw0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(kw0)的图象上，则称y=ax2+bx+c(aw0)为y=kx+t(kw0)的伴随函数，如：y=x2+1是y=x+1的伴随函数.(1)若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数，求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数y=mx-3(mw0)的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.10 .我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究：如图1,在等邻角四边形ABCD中，/DAB=/ABC,AD,BC的中垂线恰好交

5、于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展：如图2,在RtABC与RtAABD中，/C=/D=90°,BC=BD=3,AB=5,将RtAABD绕着点A顺时针旋转角a(0°<Za</BAC)得到RtAAB?D'(如图3),当凸四边形AD'BC为等邻角四边形时，求出它的面积.91图2国3营11 .阅读下面的材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意xi,x2,(1)若Xivx2,都有f(x1)Vf(x2),则称f(x)是增函数；(2)若X1x2,都有f(x1)>f(x2),则称f

6、(x)是减函数.例题：证明函数f(x)=(x>0)是减函数.证明：设0VX1<x2,f（X1）f（X2）=6X1110<X1<x2,X2-X1>0,X1X2>0.J-一->0.即f（X1）-f（X2）>0.，f(X1)>f(x2),，函数f(x)=(x>0)是减函数.根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f(x)=+2x(xv0),(1)计算：f(-3)=,f(-4)=;(2)猜想：函数f(x)=M+2x(x<0)是函数(填“增”或“减”)；(3)请仿照例题证明你的猜想.12 .对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定

7、义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N间的“距离“，记作d(M,N).特别的，当图形M,N有公共点时，记作d(M,N)一次函数y=kx+2的图象为L,L与y轴交点为D,4ABC中，A(0,1),B(-1,0),C(1,0).(1)求d(点D,ABC)=;当k=1时，求d(L,ABC)=;(2)若d(L,ABC)=0.直接写出k的取值范围；(3)函数y=x+b的图象记为W,若d(W,ABC)w1,求出b的取值范围.13 .在平面直角坐标系中，将一个点(横坐标与纵坐标不相等，且均不为0)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的

8、“互换点”，如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”.(1)任意一对“互换点”(填“都能”或“都不能”)在一个反比例函数的图象上；(2)M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为(2,-5),求直线MN的表达式；(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比仞函数y=-二的图象上，直线AB经过点P(二，-L),求此抛物线的表达式.x2214 .在平面直角坐标系xOy中，点A(0,6),点B在x轴的正半轴上.若点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”.下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.(1)若点B(4,0

9、),点C的横坐标为2,则点B,C的“X矩形”的面积为.(2)点M,N的“X矩形”是正方形，当此正方形面积为4,且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；当此正方形的对角线长度为3,且半径为r的。O与它没有交点，直接写出r的取值范围.iiifiiitiiiiiitiij15 .定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在ABC中，AB=AC,AD是ABC的角平分线，E,F分别是BD,AD上的点.求证：四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5X4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形A

10、BEF,使AB是邻余线，E,F在格点上.(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.专题新定义参考答案与试题解析一.选择题(共2小题)1 .已知点A在函数yi=-(x>0)的图象上，点B在直线y2=kx+1+k(k为常数，且k>0)上.若A,B两点关于原点对称，则称点A,B为函数yi,y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为()A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对【解答】解：设A(a,-A),a由题意知，点A关于原点的对

11、称点B(-a,)在直线y2=kx+1+k上，通则工=-ak+1+k,a整理，得：ka2-(k+1)a+1=0，即(a-1)(ka-1)=0,a_1=0或ka-1=0,则a=1或ka-1=0,若k=0,则a=1,此时方程只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若kW0,则2=1或2=，此时方程有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”k有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A.2 .对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x11vx2,则c的取值范围是(

12、)A.cv-3B.cv-2C.cv=D.c<14【解答】解：由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c=乂的两个不相等实数根，且xk1<x2,整理，得：x2+x+c=0,由x2+x+c=0有两个不相等的实数根，且xK1<x2,知4>0,令y=x2+x+c,画出该二次函数的草图如下：ntri-4<>o则十匚<0解得c<-2,故选：B.二.填空题（共5小题）则3*4的结果是-333 .定义一种新运算：新定义运算a*b=ax（a-b）【解答】解：a*b=ax(ab)3,3*4=3X(3-4)3=3X(-1)=3X

13、(1)=-3,故答案为：-3.|kx0+b-y0|(0,x和4 .已知点P（x0,y0）到直线y=kx+b的距离可表本为d=1,例如：点Vl+k2_12X0+6-11工，一八1）到直线y=2x+6的距离d=J-J=-L=V5.据此进一步可得两条平行线yy=x-4之间的距离为一2匹【解答】解：当x=0时，y=x=0,即点（0,0）在直线y=x上,因为点（0,0）到直线y=x-4的距离为：d=L0lz2l-=L=2/2,因为直线y=xy=x-4平行，所以这两条平行线之间的距离为2弧.故答案为272.5 .新定义：a,b为一次函数y=ax+b（aw0,a,b为实数）的“关联数”.若“关联数”1,m-

14、2的一次函数是正比例函数，则关于x的方程3十上=1的解为x=3.xTm【解答】解：根据题意可得：y=x+m-2,“关联数”1,m-2的一次函数是正比例函数，m2=0,解得：m=2,则关于x的方程K-1K-12解得：x=3,检验：把x=3代入最简公分母2（x-1）=4W0,故x=3是原分式方程的解，故答案为：x=3.6 .对于实数p,q,我们用符号minp,q表示p,q两数中较小白数，如min1,2=1,min-2,3=3,若min（x+1）2,x2=1,则x=1或-2.【解答】解：当（x+1）2<x2,即xv-时，方程为（x+1）2=1,开方得：x+1=1或x+1=-1,解得：x=0（舍

15、去）或x=-2;当（x+1）2>x2,即x>时，方程为x2=1,开方得：x=1或x=-1（舍去），综上，x=1或-2,故答案为：1或-27.已知有理数aw1,我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是11-2=-1,-1的差倒11数是:=如果a1=-2,a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数1）z【解答】解：ai=-2,c112C-a2=7-=,a3=1=,a4=r=2,1-1-2)32)32.这个数列以-2,二，工，依次循环，且-2+二十3=-二，32326100+3=33-1,ai+a2+-+ai00=33X()2="=-7.5,62故答案为-7.5.三

16、.解答题(共8小题)8 .对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数.若四位数m为"极数"，记D(m)=工，求满足D(m)是完全平方数的所有m.|33【解答】解：(1)根据“极数”的意义得，1287,2376,8712,任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x,十位数字为y,(x是0到9的整数，y是0至IJ8的整数)，百位

17、数字为(9-x),千位数字为(9-y), 四位数n为：1000(9y)+100(9-x)+10y+x=9900-990y-99x=99(100-10y-x),.x是0至|J9的整数，y是0至8的整数， .100-10y-x是整数， .99(100-10y-x)是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；(2)设四位数m为“极数"的个位数字为x,十位数字为y,(x是0到9的整数，y是0到8的整数) .m=99(100-10y-x), .m是四位数，m=99(100T0y-x)是四位数，即1000W99(100-10y-x)<10000, D(m)=JL=3(100-10y-

18、x),.30也W3(100T0y-x)<30333.D(m)完全平方数，.3(100-10y-x)既是3的倍数也是完全平方数， 3(100-10y-x)只有36,81,144,225这四种可能，D(m)是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425.9 .若二次函数y=ax2+bx+c(aw0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(kw0)的图象上，则称y=ax2+bx+c(aw0)为y=kx+t(kw0)的伴随函数，如：y=x2+1是y=x+1的伴随函数.(1)若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数，求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数y=mx-3(

19、mw0)的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.【解答】解：:y=x2-4,，其顶点坐标为(0,-4),:y=x2-4是y=-x+p的伴随函数，(0,-4)在一次函数y=-x+p的图象上，-4=0+p.-p=-4,一"次函数为：y=-x-4,，一次函数与坐标轴的交点分别为(0,-4),(-4,0),，直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|-4|=4,直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：4=8-(2)设函数y=x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2,则x+x2=-2,x1x2=n,1/一91斗(工+工2)2一4盯工

20、屋也一如1':函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,.<'i'，解得，n=-3,.函数y=x2+2x+n为：y=x2+2x-3=(x+1)2-4,，其顶点坐标为(-1,-4),=y=x2+2x+n是y=mx-3(mw0)的伴随函数，4=m3,m=1.10.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究：如图1,在等邻角四边形ABCD中，/DAB=/ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展：如图2

21、,在RtABC与RtAABD中，/C=/D=90°,BC=BD=3,AB=5,将RtAABD绕着点A顺时针旋转角a(0°<Za</BAC)得到RtAAB?D'(如图3),当凸四边形AD'BC为等邻角四边形时，求出它的面积.图1图2图33,【解答】解：(1)矩形或正方形； 2)AC=BD,理由为：连接PD,PC,如图1所示:DCPE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，RA=PD,PC=PB, ./PAD=ZPDA,/PBC=ZPCB, .ZDPB=2ZPAD,/APC=2/PBC,即/PAD=/PBC, ./APC=ZDPB,APCADPB

22、(SAS),AC=BD;(3)分两种情况考虑：(i)当/AD'B=/D'BC时，延长AD',CB交于点E,如图3(i)所示， ./ED'B=ZEBD', .EB=ED',设EB=ED'=x,由勾股定理得：42+(3+x)2=(4+x)解得：x=4.5,过点D'作D'FXCETF, D'F/AC,.ED'FAEAC,.3=工,即区ACAE44+4.5解得：D'F=32,.SzACE=-kACXEC=X4X(3+4.5)=15;Sabed=BEXD'F=X4.5X_L=222217贝US四边形A

23、CBD，=SaACE_SaBED=15-=10；1717(ii)当/D'BC=ZACB=90°时，过点D'作D'E±AC于点E,如图3(ii)所示,四边形ECBD'是矩形,ED'=BC=3,在RtAED'中，根据勾股定理得：AE=2_32=V7,SAAED/=AEXED'=二乂/X3=1L,S矩形ECBD=CEXCB=(4听)X3=12-3,",贝US四边形ACBD，=SaAED+S矩形ECBD'=-+12-3/7=12-.11.阅读下面的材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意

24、x1,x2,(1)若Xivx2,都有f(x1)Vf(x2),则称f(x)是增函数;(2)若X1VX2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.证明：设0VX1VX2,f(X1)f(X2)=门1)172-10<X1<x2,X2-x1>0,X1x2>0.6(x2-xP>0.即f(X1)-f(X2)>0.32，f(xi)>f(x2).，函数f(x)=(x>0)是减函数.根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f(x)=+2x+2x(xv0),2Xf1T)=+(-2)=-1,f(-2)+(-

25、4)=-M)2(-2)2(1)计算：f(-3)=,f(-4)=-L，;gis一)；(2)猜想：函数f(x)=_L+2x(x<0)是增函数(填“增”或“减”2(3)请仿照例题证明你的猜想.【解答】解：(1).f(x)=L+2x(xv0),2I，f(-3)=+2X(-3)=-上二，f(-4)=+2X(-4)=-lL(-3)2§(-4产16故答案为：-旦_V2J916(2)-4<-3,f(-4)Vf(-3)，函数f(x)=-+2x(x<0)是增函数，X故答案为：增；(3)设xix2V0,-xi<x2<0,1- xi-x2<0,x1+x2V0,f(x1)-

26、f(x2)V0-f(x1)<f(x2)，函数f(x)=-y+2x(x<0)是增函数.12.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,一次函数y=kx+2的图象为L,L与y轴交点为D,4ABC中，A(0,1),B(-1,0),N间的“距离“，记作d(M,N).特别的，当图形M,N有公共点时，记作d(M,N)C(1,0).(1)求d(点D,ABC)=1;当k=1时，求d(L,ABC)=亚；一2一(2)若d(L,ABC)=0.直接写出k的取值范围；(3)函数y=x+b的图象记

27、为W,若d(W,ABC)w1,求出b的取值范围.【解答】解：(1)一次函数y=kx+2的图象与y轴交点D(0,2),d(点D,ABC)表示点D到4ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD=2-1=1,.d(点D,ABC)=1当k=1时，直线y=x+2,此时直线L与AB所在的直线平行，且ABC和DOE均是等腰直角三角形，d(L,ABC)表示直线L到ABC的最小距离，就是图中的AF,在等腰直角三角形ADF中，AD=1,AF=1xWL=U222d(L,ABC)=g故答案为：1,返；2(2)若d(L,ABC)=0.说明直线L:y=kx+2与4ABC有公共点，因此有两种情况，即：k>0或k

28、v0,仅有一个公共点时如图所示，即直线L过B点，或过C点，此时可求出k=2或k=-2,根据直线L与ABC有公共点，k>2或k<-2,答：若d(L,AABC)=0时.k的取值范围为：k>2或kw-2.(3)函数y=x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y=x+b的图象与AB平行，当d(W,AABC)=1时，如图所示：在AGM中，AG=GM=1,则AM=6，OM=1+/2,M(0,1+百)；即：b=1+/2；同理：OQ=OP=1+V,Q(0,-1-a/-2),即：b=-1,若d(W,AABC)W1,即b的值在M、N之间-1-EbWl+1,b的取值范

29、围为-1-V叵wbwi+J，.答：若d(W,ABC)工13.在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（-3,5）与（5,-3）是一对“互换点”.（1）任意一对“互换点”都能（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2,-5）,求直线MN的表达式；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对"互换点"A、B,其中点A在反比仞函数y=-巨的图象上，直线AB经过点P（士，=），求此抛物线的表达式.822【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在

30、一个反比例函数的图象上.理由如下：设A(a,b)在反比例函数y=N的图象上，则k=ab.根据“互换点”的意义，可知A(a,b)的“互换点”是(b,a).ba=ab=k,(b,a)也在反比例函数y=K的图象上.故答案为：者B能；(2)M>N是一对“互换点”，点M的坐标为(2,-5),N(-5,2).设直线MN的表达式为：y=kx+b,.俨I1-5k+t)-2解得：作二T,Lb=-3直线MN的表达式为y=-x-3;(3),一点A在反比仞函数y=-的图象上,.A,B是一对“互换点”B(一设直线AB的解析式为y=mx+n,直线AB经过点P(工,2m三-1n=12一TTn+n-K占=2或T得*4+

31、2b-hs=-lLl-b+c=2，此抛物线的表达式为y=x2-2x-1.第17页(共21页)14.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,6),点B在x轴的正半轴上.若点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”.下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.(1)若点B(4,0),点C的横坐标为2,则点B,C的“X矩形”的面积为6(2)点M,N的“X矩形”是正方形，当此正方形面积为4,且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；当此正方形的对角线长度为3,且半径为r的。O与它没有交点，直接写出r的取值范围0Vr<5h+h.i.d-<>>djlIiJllIllillll>dill">lld>HIMIB0iliiiansin111l!11111nOrmiiJiirmil【解答】解：(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b(kw0),emindIIIHHdaAiIgumlllLJ)llllld“值imiidiimiiiQaiii而IKIMIUIpIIIMIIIAhIIIIMflllMlllifhllll'MlIl'PlIlliH将A(0,6)、B(