第一章线性方程组的化简

1、第一节第一节 线性方程组的消元法线性方程组的消元法第二节第二节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第一章第一章 线性方程组的消元法线性方程组的消元法 和矩阵的初等变换和矩阵的初等变换第一节第一节 线性方程组的消元法线性方程组的消元法一、线性方程组的基本概念一、线性方程组的基本概念1.1.线性方程组的定义线性方程组的定义二、消元法解线性方程组二、消元法解线性方程组2.2.线性方程组的线性组合线性方程组的线性组合1 1、线性方程组的初等变换、线性方程组的初等变换2 2、利用初等变换解一般线性方程组、利用初等变换解一般线性方程组一、线性方程组的基本概念一、线性方程组的基本概念1. 1. 线性方程组的定义线

2、性方程组的定义引例引例有三家生产同一种产品的工厂有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3，其年产量分别为，其年产量分别为40t ，20t 和和 10t ，该产品每，该产品每年有两个用户年有两个用户 B1、B2 ，其用量分别为，其用量分别为 45t 和和 25t，所示所示，如表，如表的距离为的距离为到各用户到各用户由各产地由各产地11 ijjiCBA引例引例 有三家生产同一种产品的工厂有三家生产同一种产品的工厂 A1 1 、A2 、 A3，其年产量分别为其年产量分别为40t ，20t 和和 10t ，该产品每年有，该产品每年有两个用户两个用户 B1、B2 ，其用量分别为，其用量分别为

3、45t 和和 25t ，所示所示，如表，如表的距离为的距离为到各用户到各用户由各产地由各产地11 ijjiCBA 不妨假设每吨货物每公里的运费为不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 1 元元 ，问各，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？厂的产品如何调配才能使总运费最少？ mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为数的个数为 n ，方程个数为，方程个数为 m ，则线性方程组可以写成如，则线性方程组可以写成如下形式下形式 ：.),2,

4、1(),2, 1,2, 1(个个方方程程的的常常数数项项称称为为第第，称称为为系系数数；其其中中imibnjmiaiij 若常数项均为若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，则称方程组为齐次线性方程组，否则否则 ，称为非齐次线性方程组，称为非齐次线性方程组 .n个数个数x1=c1， x2=c2 ，xn=cn组成的有序数组称为组成的有序数组称为方方程组的一个解程组的一个解，记为：，记为：12,nccxc所有解组成的集合称为所有解组成的集合称为解集合解集合两个方程组有相同的解集合，则称为两个方程组有相同的解集合，则称为同解方程组同解方程组2.2.线性方程组的线性组合线性方程组的线性组合线性方程

5、的加法：线性方程的加法：将两个线性方程将两个线性方程11 112211,nna xa xa xb(1)21 122222nna xa xa xb(2)的左右两边相加得到如下的新线性方程：的左右两边相加得到如下的新线性方程：111211222221212nnaaxaaxaaxbb称为原来称为原来两个线性方程的和两个线性方程的和。线性方程乘常数线性方程乘常数将线性方程将线性方程1122,nna xa xa xb1122.nnaxaxaxb方程的数乘。方程的数乘。两边同乘以已知常数两边同乘以已知常数 ，得到一个新的线性方程：得到一个新的线性方程：线性方程的线性组合线性方程的线性组合再将所得的两个方程

6、相加，得到新方程：再将所得的两个方程相加，得到新方程： 将线性方程将线性方程(1)和和(2)分别乘两个已知常数分别乘两个已知常数 12,(3)11122111122222aaxaax 11221 122nnnaaxbb称为原来两个方程称为原来两个方程(1)和和(2)的一个的一个线性组合线性组合，12, 称为这个线性方程的称为这个线性方程的组合系数组合系数。 将将(1)(1)和和(2)(2)看作一个线性方程组，其任意组解一看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合定是线性组合(3)(3)的解。的解。若方程组若方程组(I)和和(II)互为线性组合，则称这互为线性组合，则称这两个方程组等两个方程组

7、等价价等价的线性方程组一定等价的线性方程组一定同解同解。将方程组将方程组(I)变成同解方程组变成同解方程组(II)的过程称为的过程称为同解变同解变换换。给定的两个线性方程组给定的两个线性方程组(I)(I)和和(II)(II)，如果，如果(II)(II)中每个方中每个方程都是程都是(I)(I)中方程的线性组合，就称中方程的线性组合，就称(II)(II)是是(I)(I)的线性的线性组合。组合。)1(二、消元法解线性方程组二、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组 4223224321321321xxxxxxxxx132分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程1 1、

8、线性方程组的初等变换、线性方程组的初等变换例例1解解)1(1123 86343232321xxxxxxx 63843232321xxxxxxx 4223224321321321xxxxxxxxx132 984332321xxxxxxxxxxx 9153221xxxx 914321xxx于是解得于是解得小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程

9、加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍 86343232321xxxxxxx 63843232321xxxxxxxxxxxx 984332321xxxxxx 4223224321321321xxxxxxxxx132 86343232321xxxxxxx定义定义1 上述三种变换均称为线性方程组的初等变上述三种变换均称为线性方程组的初等变换换 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换

10、ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换解变换定理定理1线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组方程组 2 2、利用初等变换解一般线性方程组、利用初等变换解一般线性方程组( (化为阶梯型方程组化为阶梯型方程组) ) mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2

11、2112222212111212111考查方程组考查方程组分析系数分析系数）（ 1，则则方方程程组组可可以以变变成成：个个方方程程加加到到第第倍倍的的），分分别别把把第第一一个个方方程程化化简简：利利用用初初等等变变换换（）（iaai11132 mnmnmnnnnbxaxabxaxabxaxaxa222222211212111化简：这样方程组就归结为 mnmnmnnbxaxabxaxa2222222化化为为阶阶梯梯型型方方程程组组：）（311112111,111122222,1122,11100000rrrrnnrrrrnnrrrr rrrnnrrc xc xc xcxc xdc xc xcx

12、cxdc xcxc xdd ；这这时时原原方方程程组组无无解解而而”“有有）（.0,0I11 rrdd，分分两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组组中中根根本本没没有有当当）（000II1 rd这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.inr nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc2222211212111这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.iinr rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc11221122222111111212111，：将将它它改改写写成成其其中中., 2 , 1,0ricii nrnrrrnrr

13、rnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc11211222222111111212111，表表示示出出来来，通通过过，这这样样我我们们可可以以把把nrrxxxxxx1121 称称为为，而而程程组组的的一一般般解解这这样样一一组组表表达达式式称称为为方方nrxx1 .一一组组自自由由未未知知量量 nrnrrrnrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc11211222222111111212111，例例2求解线性方程组求解线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx.

14、2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx定理定理2在齐次线性方程组在齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa.,那么它必有非零解那么它必有非零解，如果，如果中中nm 第二节第二节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、矩阵及其初等变换一、矩阵及其初等变换1.1.矩阵的定义矩阵的定义2.2.几种特殊矩阵几种特殊矩阵5.5.矩阵的初等变换矩阵的初等变换7.7.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵8.8.行最简形矩阵行最简形矩阵二、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型二、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型3.3.矩阵相等的概念矩阵相

15、等的概念4.4.矩阵的转置矩阵的转置6.6.矩阵的等价矩阵的等价 为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求解。为阶梯型方程组后

16、求解。 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项一、矩阵及其初等变换一、矩阵及其初等变换 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为矩阵矩阵的定义的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij, 2 , 1;

17、, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 矩阵矩阵. .简称简称 阵阵. .nm nm 记作记作矩阵矩阵的定义的定义1.1.矩阵的定义矩阵的定义定义定义1 1： mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,矩阵中的所以元素非负，称为矩阵中的所以元素非负，称为非负矩阵非负矩阵.矩阵矩阵的定义的定义例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222

18、613是一个是一个 非负矩阵非负矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 矩阵矩阵的定义的定义例如例如 2222222613是一个是一个3 阶方阵阶方阵.2.2.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵. .也可记作也可记作矩阵矩阵的定义的定义,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量

19、).). 称为称为( (或或）. n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵, ,OO （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵， 零零矩阵记作矩阵记作 或或 . .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作 .,21ndiagA (5)方阵方阵 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. .OO全为全为1两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且对应并且对应元素相等元素相等,即即 ijijbBaA与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmi

20、baijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.3.3.矩阵相等的概念矩阵相等的概念两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同型矩阵同型矩阵.矩阵矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作AA 或或 AA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB4.4.矩阵的转置矩阵的转置线性方程组线性方程组11112211211222221122nnnnmmm nnmaxaxaxbaxaxaxba

21、xaxaxb 称为方程组的称为方程组的系数矩阵；系数矩阵；称为方程组的称为方程组的增广矩阵。增广矩阵。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 11121121222212nnnnnnnaaabaaabBaaab A)1(求解线性方程组求解线性方程组 4223224321321321xxxxxxxxx132在前面：用消元法解下列方程组的过程在前面：用消元法解下列方程组的过程例例1因为在前述变换过程中，仅仅只对方程组的系数因为在前述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算和常数进行运算，未知量并未参与运算 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的

22、变换完全可以转换为对矩阵A A( (方方程组（程组（1 1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换5.5.矩阵的初等变换矩阵的初等变换 86343232321xxxxxxx 63843232321xxxxxxx 4223224321321321xxxxxxxxx 422321124111A 8110613041111A 6130811041112A 984332321xxxxxxxxxxx 9153221xxxx 18200811041113A 9100811041114A 9100101040016A 9100101050115A 914321xxx定义定义2 2：

23、下面三种变换称为矩阵的初等下面三种变换称为矩阵的初等行行变换变换: : ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换( (所用记号是把所用记号是把“r r”换成换成“c c”)”)初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初初等变换等

24、变换. .记作记作经初等变换变成矩阵经初等变换变成矩阵如果矩阵如果矩阵B,AB.A则则BA 等价关系的性质：等价关系的性质：1 AA（） 反反身身性性；C. AC,BB, A 3则则若若）传递性）传递性（一般，将具有上述三条性质的关系称为等价一般，将具有上述三条性质的关系称为等价A.B B, A 2则则若若）对称性）对称性（等等价价，记记作作与与就就称称矩矩阵阵，矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵BABABA定义定义3 3：6.6.矩阵的等价矩阵的等价例例3 3 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321x

25、xxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换， 322122351311321B131223rrrr 10450104501132123rr 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR显然，显然，故方程组无解故方程组无解例例4 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换 2132111311101111B 2121001420001111.00000212100211011 , 2 BRAR由于由于故方程组有解，且有故方程组有解

26、，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx 2121001420001111dxcx 42令：令： dxdxcxdcx432121221其中其中c,d为任意常数为任意常数 ddcdcxxxxx212214321例例5求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解 ：用矩阵的初等行变换解方程组：用矩阵的初等行变换解方程组 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r3310006

27、20000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 23252rrr 243rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 5 00000310003011040101B 000003100001110412114 B21rr 32rr 对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx.为为任任意意常常数数其其中中c行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：若有零行（元素全为零的行），则零行位于底部；若有零行（元素全为零的行），则零行位于底部；7.7.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵各非零行的各非零行的首非零元首非零元位于上一行首非零元之右边位于上一行首非零元之右边. .12310014000200000121000500002121011100120005例如：例如： 40000310002320010010000010000000000注注: : 竖阶梯只下一级。竖阶梯只下一级。0121020500000121000500018.8.行最简形矩阵行最简形矩阵012