[理学]概率论与数理统计 第七章 参数估计 第四节 区间估计ppt课件

1、 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，运用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .1、 置信区间定义满足设 是 一个待估参数，给定 , 0 X1,X2,Xn确定的两个统计量假设由样本12(,)n XXX12(,)n XXX()和 分别称为置信下限和置信上限. 那么称区间 是 的置信程度置信度 )为 的置信区间. 1( , ) 1P 这里有两个要求:可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量). 一旦有了样本，就把 估计在区间 内 . 12

2、(,)n XXX12(,)n XXX()( , ) 可靠度与精度是一对矛盾，普通是在保证可靠度的条件下尽能够提高精度.1. 要求 以很大的能够被包含在区间 内，就是说，概率 要尽能够大 .即要求估计尽量可靠. ( , ) P 2. 估计的精度要尽能够的高. 如要求区间长度 尽能够短，或能表达该要求的其它准那么. 关于定义的阐明.) ,( , , , 是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个个常常数数虽虽然然未未知知被被估估计计的的参参数数 : 1),(),(2121的的本本质质是是因因此此定定义义中中下下表表达达式式 nnXXXXXXP). ,(1 ,1 ) ,( 的

3、的概概率率落落入入随随机机区区间间以以而而不不能能说说参参数数的的真真值值的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间 : 1),(),(2121还可以描述为还可以描述为另外定义中的表达式另外定义中的表达式 nnXXXXXXP假设反复抽样多次假设反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n) ), ,( 间间每个样本值确定一个区每个样本值确定一个区按伯努利大数定理按伯努利大数定理, 在这样多的区间中在这样多的区间中, .%100 ,)%1(100 不不包包含含的的约约占占真真值值的的约约占占包包含含 , 的的真真值值的的真真值值或或不不包包含含每每个个这这样样

4、的的区区间间或或包包含含 例如例如 , 1000 0.01, 次次反反复复抽抽样样若若 .10 1000 个个真真值值的的约约为为个个区区间间中中不不包包含含则则得得到到的的 在求置信区间时，要查表求分位点.2、置信区间的求法()1P aXb (),2P Xb()12P Xa 假设 X 为延续型随机变量 , 那么有12,ax 2.bx 所求置信区间为122(,)xx ()1P aXb (),3P Xb2()13P Xa所求置信区间为1 23,ax 3.bx 1 233(,)xx 由此可见，置由此可见，置信程度为信程度为 的置信区间是的置信区间是不独一的。不独一的。1 同样对于 N(0, 1)求

5、参数 的置信度为 的置信区间. 例 设X1,Xn是取自 的样本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取明确问题,是求什么参数的置信区间?置信程度是多少？寻觅未知参数的一个良好估计.选 的点估计为 ,X解 寻觅一个待估参数和统计量的函数 ，要求其分布为知.有了分布，就可以求出U取值于恣意区间的概率.,1 对给定的置信程度查正态分布表得2,z对于给定的置信程度, 根据U的分布，确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为置信程度.2|1XPzn 使为什么这样取？ ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP即即 分分位位点点的的定定义义知知由由标标准准正正态态分分布布的的上上 ., 1 2/2

6、/ znXznX的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得这样的置信区间常写成.2/ znX其置信区间的长度为. 22/ zn 从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的普通步骤如下:1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信程度 是多少? 12. 寻觅参数 的一个良好的点估计 3. 寻觅一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T, ),且其分布为知.T(X1,X2,Xn) 4. 对于给定的置信程度 ，根据U(T, )的分布，确定常数a, b，使得 1 1 P(a U(T, )b) = 5. 对“aS(T, )b作等价变形,得到如下方式 1P 即 1 于是 就是 的1

7、00( )的置信区间. ( , ) 可见，确定区间估计很关键的是要寻觅一个待估参数 和估计量T 的函数U(T, ), 且U(T, )的分布为知, 不依赖于任何未知参数 . 而这与总体分布有关，所以，总体分布的方式是否知，是怎样的类型，至关重要. 需求指出的是，给定样本，给定置信程度 ，置信区间也不是独一的.对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. 1.在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时求得的置信区间的长度为最短. 2.即使在概率密度不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.2 统计量 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来的 .由辛钦大数定理

8、 ,假设总体 的数学期望 有限,E XX那么有11niiXXn()PE X 11nkkiiAXn()(1,2,)PkkE Xk 12(,)kg A AA12(,)Pkg 其中 为延续函数 .g 这阐明 , 当样本容量很大时 , 在统计上 , 可以用 用样本矩去估计总体矩 . 这一现实导出矩估计法.定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又用样本原点矩的延续函数估计相应的总体原点矩的延续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 实际根据: 大数定律矩估计法的详细做法如下：那么它的前k阶矩 , 普通都是这 k 个参数 设总体的分布函数中含有k个未知参数 , 12,k 12,k 那么用诸 的估计

9、量 Ai 分别替代上式中的诸 , iij即可得诸 的矩估计量 ：i=1,2, ,k从这 k 个方程中解出j=1,2,kj=1,2,k12( ,)iik 12(,)jjk 12(,)jjkA AA矩估计量的察看值称为矩估计值 .的函数,记为： 矩法的优点是简单易行,并不需求事先知道总体是什么分布 . 缺陷是，当总体类型知时，没有充分利用分布提供的信息 . 普通场所下,矩估计量不具有独一性 . 其主要缘由在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩替代带有一定的随意性 . 它是在总体类型知条件下运用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 . GaussFisher 然

10、而,这个方法常归功于英国统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研讨了这种方法的一些性质 .极大似然估计法的思想 极大似然估计法，是建立在最大似然原理的根底上的求点估计量的方法。最大似然原理的直观想法是：在实验中概率最大的事件最有能够出现。因此，一个实验如有假设干个能够的结果A,B,C, , 假设在一次实验中，结果A出现，那么普通以为A出现的概率最大。 极大似然估计定义： 当给定样本X1,X2,Xn时，定义似然函数为： 设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本，样本 的结合密度(延续型或结合分布律 (离散型)为 12( ,; )nf x xx )( Lf (x1, x2 , xn; ) 这里 x1, x2 , xn 是样本的察看值 . 似然函数：)(max)( LL)( Lf (x1, x2 , xn; ) 极大似然估计法就是用使 到达最大值的 去估计 . 即 )( L称 为 的极大似然估计值 .而相应的统计量称为 的极大似然估计量 .1(,)n XX 看作参数 的函数，它可作为 将以多大