数学物理方法柯西公式PPT学习教案

1、数学物理方法柯西公式数学物理方法柯西公式1.不定积分柯西定理指出:若函数 在单通区域B上解析,则B上任一路径 的积分 的值只跟起点和终点有关,与路径无关.)(zflldzzf)(那么,当积分下限固定为 ,积分上限改变时,这个积分式的积分值会随积分上限的改变而改变,这样就定义了一个单值函数,记作:0zzzdfzF0)()(可证明 .并且, 在B上也是解析的.)(zF)()(zfzF证明:要证明)()(zfzF只要证明:)()()(lim)(0zfzzFzzFZFz0zzzzB以 为圆心在区域B上做一个小圆,在小圆内取 点.如图: zzz第1页/共9页 zzzzzdfdfz00)()(1zzFzz

2、F)()(考虑在 时的极限0z函数 区域B上是解析的)(zf=积分与路径无关dfzzzz)(1对 变形:)(zf)(zf=)(zfzz1等式右边乘zz1得zzzdzWhy?代入得:dzfzzzz)(1回顾导数的定义回顾极限的定义教材P9极限 叫做函数 在z点的导数.zzfzzfz)()(lim0)(zf根据极限的定义证明:)()()(lim0zfzzFzzFz即:)()()(zfzzFzzFdzffzzzz)()(1dzzzz1因为 在B上连续)(zf对于复数,积的模等于模的积连续的定义:设函数 在点 的某一邻域内有定义,如果对于任意给定的正数 ,总存在着正数 ,使得对于适合如下不等式 的一切

3、x,对应的函数值 都满足不等式: ,那么就称函数 在点 连续.)(xfy 0 x0 xx)(xf)()(0 xfxf)(xf0 xzz足够小即:)()()(lim0zfzzFzzFz原命题得证!)()(zff设函数 在点 的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数 ,总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 _都 满足不等式 ,那么常数A就叫做函数 当 时的极限)(xf00 xxx)(xf Axf)()(xf0 xx 0 x第2页/共9页 解析性说明:)(zF我们可以求出函数 在整个解析区域B上的导数, 因此 一定在整个解析区域上都是可导的,那么该函数一定在这个区域上解析.

4、)(zF)(zF复数形式的牛顿-莱布尼茨公式)()()(1221zFzFdfzz积分的值等于原函数的改变量表明证明:选择如图示的积分路径,则有:102021)()()(zzzzzzdfdfdf0z1z2zB)(2zF)(1zF原命题得证!第3页/共9页一个重要的积分:dzzIln)( 为整数n讨论:回路 不包围点 ,则被积函数在 所包围的区域上是解析的,按照柯西定理,积分值为零.ll回路 包围 的情况:llCR如图做以 为圆心,R为半径的圆对于圆周C上的所有点z都有:izReizRe要计算dzznl)(只要计算dzznc)(Why? 和C共同构成复通区域lideRdeRdzzdzzIiinni

5、CinnCnnlRe)Re()()(20deiRInin)1(201C的方向为逆时针方向1n0) 1(120)1(1nineniiRI1n202 idiI第4页/共9页结论)(0)(. 121不包围，包围lllzdzi0)(21dzzinl1n第5页/共9页2.柯西公式若 在闭单通区域 上解析, 为 上的境界线, 为 内的任一点.则有柯西公式: )(zfBlBBdzzzfifl)(21)(它反映了闭单通区域 上解析的函数 在 内任一点的函数值与 沿境界线 的闭路积分之间的关系. )(zfBB)(zfl推论1:若为复通区域,柯西公式中的 应理解为所有内外境界线,积分路径为内外境界线的正方向.l推

6、论2:若 ,则 在 上处处可导,所以 可以对 求导任意多次,即解析函数求导多次仍是解析函数,起n阶导数为:0 zzf)(B)(zfzdzfinzfln1)()(2!)(推论3:模数定理:P38推论4:刘维尔定理:P38第6页/共9页柯西公式的证明:dzzzfifl)(21)(注: 包围l对 变形)(fdzzfizdziffll)(2121)()(代入得要证明柯西公式只要证-0dzzfil)(21即0)()(21dzzfzfil在 处被积函数无意义z以 为圆心,以任意小正数 为半径做圆 ,于是, 及 所围的区域上CClzfzf)()(单值解析,按柯西定理有:dzzfzfdzzfzfCl)()()()(沿逆时针方向积分dzzfzfdzzfzfCl)()()()(等式两边同时取模Czdzfzf)()(于是:2)()(max)()(fzfdzzfzfC0)()(lim0Cdzzfzf由于 的连续性,故有:当 时,