解析几何中的定点和定值问题

1、解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。2例1、已知A、B是抛物线y=2px(p0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为“和3,当a、3变化且+3=时，证明直线AB恒过定点，并求出该

2、定点的坐标。4223例2.已知椭圆C:=十与=1：0)的离心率为,以原点为圆心，ab2椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+J2=0相切.求椭圆C的方程;设P(4,0),M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点.【针对性练习1】在直角坐标系xOy中，点M到点Fi(-73,0),F2(J3,0)的距离之和是4,点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A,不过点A的直线l:y=kx+b与轨迹C交于不同的两点P和Q.求轨迹C的方程；当aP.aQ=0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点.22【针对性练习

3、2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆Z+匕=1的左、右顶点为A、B,右焦点95为F。设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M仪1，必)、N(x2,y2),其中m0,必0,y20,b0）上任一点A（x0,y0）任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于bXcE、F两点，则直线EF的斜率为定值-20-（常数）aV。22XV一结论2.过双曲线F/=1(a0,b0)上任一点A(Xo,Vo)任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆ab一，八b2x于E、F两点，则直线EF的斜率为定值-2-0-(常数)。aVo结论3.过抛物线V2=2px(p0)上任一点A(Xo,Vo)任意作两条斜率互为相反数的

4、直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值-(常数)。Vo例6、已知椭圆的中心在原点，焦点F在V轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6.(I)求椭圆的标准方程和离心率e;(n)若F为焦点F关于直线V=|的对称点，动点M满足IMFe,问是否存在一个定点A,使M到点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.例7、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2,0)为定点.(I)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；(n)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与V轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C,使|

5、AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.例8、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为J2-1,离心率为2e=y.(I)求椭圆E的方程；(n)过点(1,0y乍直线，,交E于P、Q两点，试问：在X轴上是否存在一个定点M,MpMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.三、定直线问题22例9、设椭圆C:X7+4=1(aAbA0)过点M(衣,1),且焦点为F1(-V2,0)(I)求椭圆C的方程;ab(n)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取点Q,满足AP-QB二AQ二PB，证明：点Q总在某定直线上例

6、10、已知椭圆C的离心率e=g，长轴的左右端点分别为A-2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆C的方程；(n)设直线x=mV+1与椭圆C交于P、Q两点，直线AF与A2Q交于点So试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。四、其它定值问题I)求双曲线Cl与双曲线C交于不同Q1Q2,求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则A2B2的方程为-+y=1,原点O到直线A2B2的距离为ababr,a2b22.222ab则与麦形AB1A2B2内切的圆万程为x+y2ab例13、已知

7、P(x0,y0)是双曲线xy=a2(a#0)上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点(异于P点)，求证：直线P1P2的方向不变。2a探索定值：取P(x0,)，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线xO与曲线的另一个交点2P(-x01-),其斜率x02xOkPP22x02aPP2的方程为y-y02x0(x-x0)a2，一a把y=代入解得xP2(43ax0x0P1P22x02a(定值)22xV例11、已知双曲线C:-2A=1(a0,b0)的离心率为ab的方程；(n)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(%,Vo)(XoVo#0)处的切线,的两点A,B,证明

8、ZAOB的大小为定值22XV例12、己知椭圆f+=1(ab0),过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、a2b2证明：设PP1的斜率为k,则PP2的斜率为pp1的方程为yy0=k(x-x0)PP2的方程为1.yy0=一一(xx0),与抛物k2xy=a联立解得R(_21V0akkV0_a)、P2(ky。,)，从而kky02a2V。2二(定值)aEX过抛物线y2=2px（P0）上一定点（X0,y0）作两条直线分别交抛物线于A,B两点，满足直线PAPB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在X轴上，离心率为弓,三角形AB

9、M勺三个顶点都在椭圆上，其中M点为（1,1）,且直线MAMB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB的斜率是定值。分析：（1）x2+2y2=3（2）-22、已知定点C（-1,0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.（I）若线段AB1中点的横坐标是，求直线AB的方程；2（n）在x轴上是否存在点M,使MA.MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.74分析：M（一一0）393、已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y2=2mx（m0）于A、B两点，若A、B两点满足/AQPhBQP若其中Q点坐标为（-4,0）,原点。为PQ中点。（1）证明：A、P

10、、B三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l的方程。分析：设点AB的坐标（2）l:x=3.224、已知椭圆?+yT=1（ab0）的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两个端点为A、B,且四边形F1AF2Bab是边长为2的正方形。（1）求椭圆的方程。（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDLCD,连结CM交椭圆于点P,证明：OMQP为值。（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于C的定点Q使彳#以MP为直径的圆过直线DPMQ的交点，若存在，求出点Q的坐标。22分析：（1）+-=142yy由OMP三点共线，得

11、Ym=y,所以OMQP=44xp2（3）设Q点（a,0）,由QMQP=0,得a=0.225、设P为双曲线二4=1(a,b0)上任意一点，F1,F2是双曲线的左右焦点，若PEFF2的最小值ab2.3是-1,双曲线的离心率是个3。(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线于3AB两点，过作右准线的垂线，垂足为C,求证：直线AC恒过定点。分析:27.X2.7(1)y=1(2)先猜再证：(一，0)34XiVi二7.一4工换掉x1代入韦达定理得证。方法二:1一4设AB:一,八、,2一、2.x=my+2代入方程得：(m3)y+4my+l-4my2=-2m-31yiy2=-2m-3A

12、C：y=y1y2(x-3)y2=-y1y-x32212-x1my+2定理得。3(必一丫2)-2m，丫2-、2又2myy2=-(yi+y2)然后代入韦达2mx16、在平面直角坐标系xOy中,Rt4ABC的斜边BC恰在x轴上，点B(2,0),C(2,0),且AD为BC边上的高。(I)求AD中点G的轨迹方程；(II)若过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹交于两不同点P、Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使PEQE恒为定值入？若存在，求出点E的坐标及实数入的值；若不存在，2x9分析：(1)一+y=1(y#0)417(2)m=-8请说明理由。33、一,.八一,，,定值为33不容易先猜出，只能

13、是化简求出。647、已知直线l过椭圆E：x2+2y2=2的右焦点F,且与E相交于巳Q两点。一1(1) 设OR=：(OP+OQ),求点R的轨迹万程。1111(2) 若直线l的倾斜角为60,求+的值。(当|的倾斜角不定时，可证+是|PF|QF|PF|QF|定值。)分析：x2+2y2-x=0(2)可先猜再证：2近解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。四、定点问题解题的关健在于寻

14、找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。例1、已知A、B是抛物线y2=2px(p0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为解析：设A(2Vi2p2ptan-：tanyi“+3=工时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。4y1),B(2y22p2P.，代入tan(c(+F)=1y2得2P(yiy2)=y1y2-4p2(1)又设直线AB的方程为y=kx+b,则y=kx+b、y2=2px=ky2-2py2pb=02pb-V1V2-y1y2二2p，代入(1)式得b=2p+2

15、pk直线AB的方程为y2p=k(x+2p)，直线AB过定点(-2p,2p)说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB,再从AB直线系中看出定点。223例2.12010东城一模】已知椭圆C：x2+y2=1(aAbA0)的离心率为,以原点为圆心，椭圆的ab2短半轴长为半径的圆与直线x-y十以=0相切.求椭圆C的方程；设P(4,0),M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点.K222解析：由题意知e=L,所以e2=；=a-b=-,即a2=4b2,又因为

16、b=1,所以a2孑a24112a2=4,b2=1,故椭圆C的方程为C：x+y2=1.4由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k(x_4)y=k(x-4)联立4x22消去y得：(4k21)x232k2x+4(16k2-1)=0,7y二122222由A=(32k)-4(4k+1)(64k_4)0得12k-10,又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是W3k0或0k0设P&,y1),Q(x2,y2),则x1*x28.2k14k2x1x2=214k22且yi.y2=(kxi+b)(kx2+b)=(kX1X2)+kb(x+x2)+b,显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A(-2,0),所

17、以AP=(不+2,yibAQ=作+2,y2).由Ap,AQ=0,得(xi+2)(x2+2)+yy2=0.将、代入上式，整理得12k216kb+5b2=0.所以(2kb)(6k5b)=0,即b=2k或b=k.经检验，5都符合条件，当b=2k时，直线l的方程为y=kx+2k.显然，此时直线l经过定点(二，0)点.即直线l经过点A,与题意不符.当b=6k时，直线l的方程为y=kx+6k=kx+-l.556显然，此时直线l经过定点,0|点，且不过点A.综上，k与b的关系是：b=9k,且直线l经过定点,55一6,522【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆3_+2_=1的左、右顶点为A

18、、B,右焦点95为F。设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M仪，必)、N(x2,yz),其中m0,必0,y20,y20,整理得:一22_3+4k2-m20d设M(x,y卜N(x2,y2),则2一8km4m-12x1x2=2，x1x2=234k234k2由已知，AM_LAN,且椭圆的右顶点为A（2,0）,(X-2仆2-2J+y1y2=0.10分22即(1+k)x1x2+(km-2Kxi+x2)+m+4=0,也即1k24m122km-234k-8km2,八2+m+4=0,34k整理得7m2+16mk+4k2=0.2k斛得m=-2k或m=-一,均满足711分当m=-2k时，直线l的方程

19、为y=kx-2k,过定点（2,0）,不符合题意舍去;2时，直线l的万程为y=k.x-,7、-2过定点(-,0),72故直线l过定点，且定点的坐标为（2,0）.13分椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l,交椭圆于A、B两点。(I)求椭圆的标准方程；(n)设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且(mA+mB)_LaB,求m的取值范围；(m)设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N,使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。22解法一：(I)xV设椭圆万程为+21_=1(ab0),由题意知b=1aba2-b2(n)由22二5=a2=5故椭圆方程为+y

20、2=15(I)得F(2,0)，所以0EmM2,设l的方程为y=k(x2)(k00)代入t+y2=1,得(5k2+1)x220k2x+20k25=0设A(x1,y1),B(x2,y2),5则x120k2_220k-5x2=2,x1x2=25k215k21,.%y2=k(xiX2-4),由k(x1-x?)-maMBKx-m,y1)-m,y?)=(xx2-2m,y1y2),AB=区-x1，y2-y(MAMB)_AB,.(MAMB)AB=0,.(%x2-2m)(x2-)(y2-yy1y2)=020k24k2242m八八8,二2-2m-2=0,.(85m)k-m=0由k=0,a0m-,5k15k18-5

21、m58，当0mcg时，有(MA+MB)_LAB成立。5BC的方(出)在x轴上存在定点N(-,0),使得C、B、N三点共线。依题意知C(x1,-y1),直线程为y+V=Xy1(x-x1),令丫=0,则乂=x2-x1丁l的方程为y=k(x2),A、B在直线l上，y2yixi二y1X2y2%y2yi2kxix2-2k(xx2)k(x1x2)-4k55一一一二在x轴上存在定点N(一,0)，使得CBN三点共线。22一x2)m二彳5k228k28155(5k21)k:0,k2008-5k(x1-1)x2k(x2-1)为y1=k(x1-2),y2=k(x2-2).X=k(x1x2)-4k_2_22k-2k/

22、5k215k212,20k2.k24k5k21解法二：(n)由(I)得F(2,0)，所以0MmM2。设l的方程为y=k(x2)(k=0),2代入+v2=1,得(5k2+1)x2-20k2+20k2-5=0设A(x1，yjBpyz),则520k220k2-5-八4k一xx2=2,x1x2=2y1y2=k(x1x2-4)=-一2一,y1一y2二k(x5k15k15k1二.(x2-m)2y2,(MAMB)AB,.|MA|=|MB|,(x一m)2y1(xx2-2m)(x枳)(y2)(y1-丫2)=0,(1k2)(x1x2)-2m-4k2=0,(8-5m)k2-m=0aa.aa.a.二当0mb0),A(

23、x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为b222为+近2,2ab22也上a2b2=1,两式相减及二1.2y2-sby1=1得到丫Xo,所以直线ON的方向向量为x2-x1aON二(1,ON/a,1=I,即a2=3b2,从而得e=3a3(2)探索定值因为M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则OM=OA,此时九=1,N=0,.2.2日22222证明a=3b,一椭圆方程为x+3y=3b,又直线方程为y=xcy=x-c3y2=3b2_2_2_.2=4x-6cx3c-3bXi3X2=c,2_2_2-3c-3b32X1X2=一c48又设M(x,y),则由OM=九OA+NOBx二九Xi+NX2,、一一一1

24、2,代入椭圆方程整理得y=九y1+Ny22(x23yl2)J2(x；3y2)2.-(X1X23y2y2)=3b2一222222又x1+3yl=3b,x2+3y2=3b,23292c2-x1x23yly2=4x1x2-3c(x1x2)3c=cc3c=02 2,2.J2-13例5、已知，椭圆C过点A(1-),两个焦点为(一1,0),(1,0)。(1) 求椭圆C的方程；(2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解析：(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为19-2232+2=1,解得b=3,b=(舍去)1b4b42X所以椭圆方

25、程为一=1。3(2)设直线AE方程为：y=k(x-1)+,222xy代入一+乙=1得43(34k2)x24k(3-2k)x4(-k)2-12=02一、一3设E(xe，Ye),F(xf，Yf),因为点A(1,)在椭圆上，所以2324(2-k)2-12Xf=二23十4k2,yE=kxEI-k又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以一K代K,可得Xf4(3k)2-122334k3yE-kxE一k2Vf-yF-k(xxF)32k1所以直线EF的斜率KEF=上一=一(-FE)=xF-xExF-xE2即直线EF的斜率为定值,一1其值为-O2将第二问的结论进行如下推广:2 2xV结论1.过椭圆+=

26、l(a0,b0)上任一点A(xo，Vo)任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于abb2xE、F两点，则直线EF的斜率为定值(常数)。aVo证明：直线AE的方程为y-Vo=k(x-xo),则直线AF的方程为y-yo=-k(x-xo),2x联立y-yo=k(x-xo)和a(a2k2+b2)x+2a2ko2V+彳=i,消去v可得b2222ok)+2a-yoko,bo)上任一点A(xo,Vo)任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆bb%EF的斜率为定值-手(常数)。aVoE、F两结论3.过抛物线y2=2px(po)上任一点A(xo,Vo)任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于点，则直线EF的斜率为定值-

27、卫(常数)。Vo例6、12oio巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点F在V轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6.(I)求椭圆的标准方程和离心率e;(n)若F为焦点F关于直线y=3的对称点，动点M满足器e,问是否存在一个定点A,使M到点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：(I)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已知得a=4,解得a=4,c=2.ac=6,2V2所以椭圆的标准方程为y+x=1.离心率e=2=1.161242(n)F(0,2),F(0,1)，设M(x,y),由得x2(y-2)2Jx2(y

28、-1)2一2化简得3x2+3y2-14y+15=0,即x2+(y7)2=(2)233故存在一个定点A(0,1)，使M到A点的距离为定值，其定值为|.例7、【2010湖南师大附中第二次月考】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2,0)为定点.(I)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；(n)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.解析：(I)设抛物线方程为y2=2px(p#0),则抛物线的焦点坐标为(-,0).由已知，2=2,即222p=4,故抛物线C的万程是y=8

29、x.(n)设圆心M(a,b)(a20),点A(0,y1)，B(0,y2).因为圆M过点p(2,0),则可设圆M的方程为22222_(x-a)+(y-b)=(a-2)+b.令x=0,得y-药+4-40.则y1+y2=2b,y1y2=4a4.所以|AB|=J(vy2)2=Jv+yz)24y1力=(4b216a+16.，设抛物线C的方程为22y=mx(m*0),因为圆心M在抛物线C上，则b=ma.所以|AB|二J4ma16a+16=、4a(m4)十16.由此可得，当m=4时，|AB|=4为定值.故存在一条抛物线y2=4x,使|AB|为定值4.例8、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦

30、点的距离的最小值为五-1,离心率为e.(I)求椭圆E的方程；|a-c=2-1，由已知得：c亘。,a22X2十y=1。3分2,又设P(x”y1),Q(x2，V2),则:(x1-m)(x2-m)，y1y2(n)过点(1,0X乍直线1交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M,mP,mQ为定值?若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.22解析：(I)设椭圆E的方程为x2+y2=a2b2.a=五:b2=a2c2=1二椭圆E的方程为c=1(n)法一：假设存在符合条件的点M(m,0)MP=(xi-m,yi),MQ=仅2-m,y2),MPMQ2=x1x2m(x1+x2)+m+y1y2。5

31、分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k(x_1),则2x2.y=1222由2得x+2k(x-1)-2=022k2-2小,XiX2=-27分2k21y=k(x-1)_222_2_4k2(2k1)x-4kx(2k-2)=0Xix2=2k22k212k21,22y%=k(xi-1)(x21)=kX1X2-(xiX2)1=-222(2m2-4m1)k2(m2-2)二22k122.22k-24k2k所以MPMQ=-2-m2一m一2k12k12k1对于任意的k值，MPMQ为定值，所以2m24m+1=2(m22),得m=E,45一一7所以M(2,0),MPMQ=；11分416当直线l的斜率不存在时

32、，直线l:x=1,x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=-125一7由m=得MPMQ综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为(5,0).13分4tai法二：假设存在点M(m,0)，又设P(x1,y1),Q(x2,y2),则：MP=(x1m,yi),MQ=(x2m,y2)一2八MPMQ=(Xim)(X2m)+y1y2=X1X2m(x1+X2)+m+y1y2.5分当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1,2x2,一y=12-2t-1由b0)过点M(72,1),且焦点为F1(虚,0)ab(I)求椭圆C的方程；(n)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取

33、点Q,满足aP炯=闷铲B,证明：点Q总在某定直线上解析：(1)由题意:2-c=221,-22,一、x2y2,2*-2=1,解得a=4,b=2,所求椭圆方程为+=1a2b242222c=a-b(2)设点Q(x,y),A(x,y)B(x2,y?),由题设,均不为零。PAPBAQQB又P,A,Q,B四点共线，可设PA=九AQ,PB=，uBQ(九#0,1),于X14-x-，y二1-141x(2)由于A(x,y1),B(x2,y2)在椭圆C上，将(1),(2)分别代入C的方程x2+2y2=4,整理得(x2+2y24)九24(2x+y2)九+14=0(3)222一-_(x2y-4),4(2xy-2),14

34、=0(4)(4)-(3)得8(2x+y2)入=0九二0,：2x+y2=0,即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上例10、已知椭圆C的离心率e=5,长轴的左右端点分别为Ai（-2,0）,A2（2,0）。（I）求椭圆C的方程；（n）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，直线AF与A?Q交于点S。试问：当m变化时,请说明理由。1分4分点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是,22解法一：（I）设椭圆c的方程为+1=1940）。,a=22一2,e=2,c=q3,b2=a2c2=1。,2椭圆C的方程为x2+y2=1。，,，5分42（II）取m=0,得P,9(m

35、y+1)+4y=4,即(m+4卜+2my3=0,Q、1,叵:直线AF的方程是y=x+,I2JI2J633直线A2Q的方程是y=3-x寸3,交点为S（4,J3）,7分，若P；,_43|q；,立；由对称性可知交点为8（4,石）I2JI2J若点S在同一条直线上，则直线只能为4x=4。，,，8分以下证明对于任意的m,直线AF与直线A2Q的交点S均在直线x=4上。事实上，由2x2.一y二14lx=my1记P(x1,y1)Q(x2,y2),则y1+y2=设A1P与f交于点S0（4,y）,由y0-2mm2-4Vi42x12-3,y1y2=2,m-，得丫。=粤x12设Aq与f交于点so-）,由4106y12y

36、26ymy2-1*2my34my1y2-6y1y2y0y0x12x2-2x12x2-211x12x2-2T2m-12m2,-2,=m+4m+4=0,12分x12x2-2y0=y01即S0与s/重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线r:x=4上。13分73解法一：(n)取m=0,得P1,3,Q1,3，直线A1P的方程是y=x+，直线A2Q的方程是I2JI2J63ynx一石,交点为S1(4,43),7分取m=1,得P，8,3,55(0,-1),直线AF的方程是111y=x+,直线A2Q的方程y=-x1,交点为S24,1.若交点S在同一条直线上，则直线只能为x=4。以下证明对于任意的m,直线AF与

37、直线A2Q的交点S均在直线:x=4上。事实上，由上V2-1d4y得：lx=myT22即m4y2my3=0,记P(1x)1,)y2,-2my1y=Vy与o210,12,m4AF的方程是y=fx+2)A2Q的方程是y=x12x2-2(x2)消去y,得y1(x+2)=x12以下用分析法证明x=4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明-6=01,即证X12X2-23ymy2-1)=以my+3即证2my1y2=3(y+y?),2my1y-3(y+y)=16m-16m=Q,，式恒成立。这说明，当m变化时1点S恒在定直线x=4上。m4m42x2.，一，、，一y=120.cc斛法二：(n)由44得(my+1)+4y=4,即(m+4卜+2my3=0。x=my12m记P(x1,y1)Q(x2,y2),则y1y2=2,y1y2=m4AF的方程是y=x(x+2)A2Q的方程是广-3-2m4V2x2-2x2,由J二得y=X2y-2X-2,六X2fX-2,即x_2y2x2/x2-22y2my13ymy2-1_2,my1y23y2y1y2Xi2y1x2-2%my13ymy213y2Vi2m二2二一-2m3m24-y1=4.12分y1这说明,五