第三章时间响应分析

1、基本要求基本要求 (1)了解系统时间响应的组成； (2)了解时间响应分析中常用的典型输入信号及其特点； (3)掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。掌握线性系统中，输入存在微积分关系，其输出也存在微积分关系的基本结论； (4)掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系； (5)掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的

2、输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 本章重点本章重点 (1)一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶 跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。 (2)二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位 阶跃响应曲线的基本形状及其与系统阻尼比之间的对应关系， 二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (3)系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差 的求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的 影响。本章难点本章难点 (1)二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其 与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能

3、指标的定义及其与 系统特征参数之间的关系； (2)系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 3.1 3.1 时间响应的概念时间响应的概念 3.1.1 3.1.1 时间响应及其组成时间响应及其组成 1、时间响应:系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过 程，即系统的时间响应。它由两部分组成：（1）瞬态响应:系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始 状态到稳定状态的响应过程。（2）稳态响应：时间t趋于无穷大时，系统的输出稳定状态。 时间响应就是系统微分方程的全解。包含通解和特解两个部分。通解完全由初始条件引起的，工程上称为自由响应，特解只由输入决定，工程上称为强迫响应。 2、

4、时间响应函数:时间响应（函数）等于传递函数与输入的拉氏变 换之积再取拉氏逆变换。)()()(osXsGsXi两边取拉氏逆变换)()()(1osXsGLtxi 3.1.2 3.1.2 典型输入信号典型输入信号 常用的输入信号常用的输入信号: :单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数单位抛物线函数( (单位加速度函数单位加速度函数) )、正弦函数和某些随机函数。、正弦函数和某些随机函数。t(t)01.1.单位脉冲函数单位脉冲函数(函数函数) ),0 00 )(ttt1)(dtt（1）定义：（2）L变换：1)(tL0 00 1)(tttu2

5、.2.单位阶跃函数单位阶跃函数定义：（2）L变换：stuL1)(t(t)1u0 00 )(ttttxi3.3.单位斜坡函数单位斜坡函数（1）定义：L变换：21)(stxLitr(t)4.4.单位加速度函数单位加速度函数t(t)xi0（1）定义：L变换：0 00 2t)(2tttxi31)(stxLi5.5.正弦函数正弦函数（1）定义：L变换：0 00 sin)(tttXtxii22sinsXtXLiit0tsin11)()()(oTssXsXsGiTs +1Xi(s)Xo(s)1+Xi( ) sXo( ) sTs1传递函数：T：一阶系统的时间常数sTssXsGsXi111)()()(o) 0(

6、1) 1(1)()(1o1oteTssLsXLtxTt输出信号拉氏变换为：时间响应为：024681000.20.40.60.811.2Ttx Tte1T单位阶跃响应曲线：特点：(1)瞬态响应为 ，稳态值为1；(2)单调上升的指数曲线；(3)T表示系统输出以最大初速达到 稳态值所需的时间 xo(T)=0.632 (4)当T ，过渡过程持续时间变 短，表明系统惯性越小，系统的 快速性能越好。Tte输出信号拉氏变换为：时间响应为：单位脉冲响应曲线：特点： 当T ，过渡过程持续时间变 短，表明系统惯性越小，系统的 快速性能越好。11)()()(oTssXsGsXi)0(111)()(1o1oteTTs

7、LsXLtxTtT1024681000.10.20.30.40.50.6T1368. 0输出信号拉氏变换为：时间响应为：单位斜坡响应曲线：2o111)()()(sTssXsGsXi)0() 1(1)()(21o1otTeTtTssLsXLtxTt012345678910012345678910T TtoTeTttx)(ttxi)( T=2s )()(ttu )(1)(otweTtxTt单位脉冲单位脉冲= =dtd单位阶跃单位阶跃= =dtd单位斜坡单位斜坡 )(1)(tuttr )(1)(txetxouTtor输入： 输出：单位脉冲单位脉冲响应响应= =dtd单位阶跃单位阶跃响应响应= =dt

8、d单位斜单位斜坡响应。坡响应。 对于任意线性系统而言，若输入A是输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样地，若输入A是输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分。 3.3.1 3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型环节是振荡环节。1.传递函数： sXi sX0 + -)22nn( ss sXi sX02222nnnss n 为无阻尼固有频率 ， 为阻尼比。2.特征方程特征根 ：0222nnss122, 1nnss js1s2n12+n12n10s jns1,21s js1s210s js1s2

9、-+njnj 3.3.2 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 nnnnnssssssX1)(1)()(222o222o21)()()(nnnissssGsXsXtnttnnnnetee tsXLtx)(111)()(o1o1、当=1时（临界阻尼）单调上升,没有超调。051015n=1 1.02、当1时（过阻尼）)(1)(212ossssssXn)(11211212212tstsnesesssss )(1121,2sbsabtatnaebebaab)(121)(11222112211221sesesesesssststsntsts曲线上升缓慢，没有超调。 )(21bsass

10、Ln)()(o1osXLtx05101511.2n=1 3、当01时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性.从过渡过程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以 =1时的过渡过程时间最短。工程上通常使 =0.40.8之间，其超调不大，过渡过程较短。05101500.20.40.60.811.21.41.61.80.30.50.70.91.01.20.1=n=1 1)()(TsksXsY 3.3.3 3.3.3 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应 2222)(nnnosssX(1)当01时:)1(exp)1(exp12)(222tttwnnn051015-0.8-0.6-0.4-0.

11、200.20.40.60.810.30.50.70.9=0.1 欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于 。 n 1 1、上升时间、上升时间t tr r：响应曲线从初态开始，第一次达到输出稳态值 所需的时间。1)(ortx22111nrtgt当n一定，tr；当一定， ntr5101500.20.40.60.811.21.41.6tr2 2、峰值时间、峰值时间t tp p：响应曲线达到第一个峰值所需的时间。0)(odttdxdnpt21当n一定,tp；当一定，n tp5101500.20.40.60.

12、811.21.41.6Mptp3、最大超调量、最大超调量Mp：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量。%100)()()(oooxxtxMpp%10021eMpMp只与有关5101500.20.40.60.811.21.41.6Mptp)()()()(ooosttxxtx取02. 0 有nst4 取05. 0 有nst34、调整时间、调整时间ts响应曲线稳态值附近取稳态值的5%或2%作为误差带，响应曲线达到并不再超出误差带范围，所需要的最小时间。5101500.20.40.60.811.21.41.6ts3)工程上：一般取=0.707为最佳阻尼比。 ts、Mp均不大，由Mp确定，再由ts确定n。1)

13、 nrt，pt，st改善快速性 5 5、兼顾各项性能指标、兼顾各项性能指标减弱振荡性，改善准确性，但影响快速性2)pM，ts 5101500.20.40.60.811.21.41.6Mptrtpts欠阻尼的单位阶跃响应例 图a是一个机械振动系统。当有8.9N的力（阶跃输入）作用于系统 时，系统中质量M所作运动的响应曲线如图b所示，试求出质量m， 粘性阻尼系数C和弹簧刚度系数k。a)CmkF=8.9Nxb)123450.03mt/sMp=0.0029X(t)解：解：1 1、系统的微分方程为：、系统的微分方程为：)( 1 .)(tFtkxxBxm kBsmssFsXsXsXsGi2oo1)()()

14、()()(系统的传递函数为：系统的传递函数为：0.03m)(oxskBsmssX9 . 81)(2 2 2、由响应曲线得：、由响应曲线得：单位阶跃力单位阶跃力F=8.9N,F=8.9N,，F(S)=8.9/SF(S)=8.9/S，则则由拉氏变换终值定理得：由拉氏变换终值定理得：)(lim)(lim0sXstxosot03. 08.99 . 81lim)()(lim)(lim)(lim200o0kskBsmsssXsGssXstxsissotk=297N/m k=297N/m 3、由响应曲线得：、由响应曲线得：%6 . 9%10003. 0029. 0) 1 (pM%10021eMp6 . 0s

15、tp221ndpt196. 1sn 2 2mCmknnkgkmn3 .7796. 129722Ns/m1822mCn1)()(TsksXsY(3-12) 3.5 3.5 稳态误差分析与计算稳态误差分析与计算 1. 1. 稳态误差定义稳态误差定义误差是希望输出与实际输出之差，是系统的准确性指标。)()()(0txtxteor稳态误差为误差的终值。)()()(0sXsXsEor)(limteetss+ -Xi( ) sXo( ) sG(s)(s)H( ) sE( ) s( ) sXor(s)H1+- 2. 稳态误差的计算稳态误差的计算)()()(1)(1)()()(1)()()(1)()()(0sXsHsGsHsXsHsGsGsXsHsXsXsEiiior)()()(1)(1lim)(lim)(lim00sXsHsGsHsssEteeisstss+ -Xi( ) sXo( ) sG(s)(s)H( ) sE( ) s( ) sXor(s)H1+-3. 3. 三种稳态误差的形式三种稳态误差的形式系统的型次:开环传递函数中包含积分环节的数目成为系统的型次。 v=0时为0型系统;v=1时为型系统;v=2时为型系统； 依此类推。 (1)(1)单位阶跃输入（稳态位置误差）单位阶跃输入（稳态位置误差）)()(11lim1)()(11lim00sHsGssHsGsesssp)