第10章静电场(场强和电势)

1、1第第 10 章章静静 电电 场场2库仑定律：库仑定律：真空中两个静止的真空中两个静止的 点电荷点电荷之间的相互作用力表示为之间的相互作用力表示为1q2qrFre221290/NmC1085. 81094141 k o真空的介电常数真空的介电常数rerqqF221041 “点电荷点电荷”是个理想化模型是个理想化模型10.1 10.1 真空中的静电场真空中的静电场10.1.1 10.1.1 库仑定律库仑定律3库仑定律只讨论两个静止的点电荷之间的作用库仑定律只讨论两个静止的点电荷之间的作用力，若有力，若有 两个以上静止的点电荷，实验告诉我们：两个以上静止的点电荷，实验告诉我们：两个点电荷之间的作用

2、力并不因第三个两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的存在而改变。点电荷的存在而改变。-电力的叠加原理电力的叠加原理 niiFF1静止的点电荷周围存在着一种静止的点电荷周围存在着一种弥散的特殊的物质弥散的特殊的物质, ,称为称为静电场静电场。处于静电场中的电荷都受到该电场。处于静电场中的电荷都受到该电场的作用力的作用力: 电荷电荷电场电场电荷电荷 （近距作用）（近距作用）10.1.2 10.1.2 电场电场 电场强度电场强度4电场强度电场强度0qFEqo正试验电荷正试验电荷 （电量足够小、尺寸足够小）（电量足够小、尺寸足够小） 是空间坐标的函数，它是从是空间坐标的函数，它是从“力力”的角的角

3、度度 来描述电场的物理量。来描述电场的物理量。E设有若干个静止的点电荷设有若干个静止的点电荷 q1、q2、qNNEEE,2, 1则它们同时存在时的场强为则它们同时存在时的场强为 它们单独存在时的场强分别为它们单独存在时的场强分别为 NiiEE1电场叠加原理电场叠加原理1q2qiq4q3qiEP51 1 静止的点电荷的电场静止的点电荷的电场rrerqqerqqqFE2002000414 场强与试验电荷场强与试验电荷q0无关无关,确实反映电场本身的性质。确实反映电场本身的性质。静止的点电荷的电场静止的点电荷的电场: :(1)是球对称的是球对称的;(2)是与是与 r 平方反比平方反比 的非均匀场。的

4、非均匀场。Fq0qrerP当当 r 0 时，时， E ，怎么解释？怎么解释？62 2 静止点电荷的电场叠加静止点电荷的电场叠加设有若干个静止的点电荷设有若干个静止的点电荷 q1、q2、qN则它们同时存在时的场强为则它们同时存在时的场强为 iioiriNiireqEE214 点电荷的点电荷的场强公式场强公式场强叠加场强叠加原理原理任意点电荷系的场强任意点电荷系的场强原则上讲原则上讲可以求得可以求得7例例1 求电偶极子中垂线上任一点的场强求电偶极子中垂线上任一点的场强 rroeelrqEEE2224 电偶极子：电偶极子：一对靠得很近的等量异号点电荷。一对靠得很近的等量异号点电荷。E E Er re

5、 req q Pl 【解【解】r l 时时 rreerq204 3033444rprl qrrrqoo l qp 称为电偶极矩称为电偶极矩8对连续带电体的场强对连续带电体的场强 qorqreqEE24dd 体电荷体电荷 dq = dv ：体电荷密度：体电荷密度面电荷面电荷 dq = ds ：面电荷密度：面电荷密度线电荷线电荷 dq = dl ：线电荷密度：线电荷密度 ),(dzyxEExxqdqrEdPre9例例2 设有一均匀带正电直线，长为设有一均匀带正电直线，长为l，电荷线密度为，电荷线密度为 。有一点。有一点P与带电直线的距离为与带电直线的距离为a，求，求P点的场强。点的场强。（P点与直

6、线两端点的连线与带电直线间的夹角分别点与直线两端点的连线与带电直线间的夹角分别为为 1和和 2） 【解【解】dq在在P产生的场强大小为产生的场强大小为 20dd4xEr在计算场强时要分别计算在计算场强时要分别计算x、y方向上的电场分量方向上的电场分量 20dddcoscos4xxEEr20dddsinsin4yxEEr10为了便于积分，必须要统一变量为了便于积分，必须要统一变量 dd222222csc,cot,csc axaxaxar)sin(sin4cos4120021 aaExd)cos(cos4sin4120021 aaEydxyEEEij11讨论讨论: 1. 若场点在靠近直线的中部若场

7、点在靠近直线的中部, 物理上可以将直线看成物理上可以将直线看成 “无限长无限长”aE02 2.若若 场点在远离直线场点在远离直线 的地方，物理上可以认为该直线的地方，物理上可以认为该直线 是一个点电荷是一个点电荷204xqE 12例例3 求一个半径为求一个半径为 R 的均匀带电的均匀带电 q（设（设 q 0） 的细园环轴线上任一点的场强。的细园环轴线上任一点的场强。【解】【解】根据对称性的分析根据对称性的分析 cos4dd20rqEEx 2/32202044cosxRqxrq 方向沿方向沿 x 轴正向轴正向13例例4 求半径为求半径为 R,均匀带电圆面的轴线上任一点的均匀带电圆面的轴线上任一点

8、的 场强。设面电荷密度为场强。设面电荷密度为 （设（设 0）dq = 2 r dr 2322042/ddxrxrrE 各个细圆环各个细圆环在在P点的场强点的场强方向都相同方向都相同 RxrrrxEE0232202/dd 【解】【解】 2/32204xRqxE 14讨论讨论 1:对对 x R 时时, 利用泰勒公式利用泰勒公式 2/1221xR 22211xRx 22211xRx2020244xqxRE 相当于点电荷的电场相当于点电荷的电场151 1 电场线电场线形象地描述电场的性质形象地描述电场的性质（1）方向）方向电场线上每点的切线方向电场线上每点的切线方向 就是该点场强的方向。就是该点场强的

9、方向。（2）密度密度通过某点处垂直于通过某点处垂直于 的单位面积的单位面积 的电场线条数与该点场强的大小成正比的电场线条数与该点场强的大小成正比 （通常取比例系数为（通常取比例系数为1）。）。E SE线线切线切线E10.2 10.2 真空中的高斯定理及应用真空中的高斯定理及应用16几种典型电场的电力线分布几种典型电场的电力线分布 172.2.电通量电通量定义定义: 通过任一给定面积的电场线条数称通过任一给定面积的电场线条数称 为通过该面积的电通量，用为通过该面积的电通量，用 e 表示。表示。 通过面元通过面元 dS的电通量为的电通量为通过面元通过面元 dS的电通量为的电通量为 d e = E

10、dScos 注意：注意：1.e是对面而言，不是点函数。是对面而言，不是点函数。 2.e 是代数量，有正、负。是代数量，有正、负。d e = EdS18 通过任一面积通过任一面积S的电通量为的电通量为 SEdcosdee 通过任一封闭面通过任一封闭面S的电通量为的电通量为SESEddcose 对闭合曲面，约定以对闭合曲面，约定以向外为法向正方向。向外为法向正方向。在电力线穿出处在电力线穿出处, 900 电通量为负。电通量为负。19高斯定律是反映静电场性质的一个基本定律。高斯定律是反映静电场性质的一个基本定律。在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面（称为高在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面（称为高

11、斯面）的电通量，等于该曲面所包围电量的代数和斯面）的电通量，等于该曲面所包围电量的代数和除以除以 0，即即 0 内内qSEde（S）高斯面上各点高斯面上各点 不一样，不一样，公式中公式中 为为 处的处的 。EsdEE3 3 高斯定律高斯定律20验证高斯定理的正确性验证高斯定理的正确性 （1）通过点电荷）通过点电荷q为球心的球面的电通量等于为球心的球面的电通量等于q/ 0 SEde 02020d41d41 qSrqeSerqnr 21（2）通过包围点电荷）通过包围点电荷 q 的任意封闭曲面的任意封闭曲面 的电的电 通量都等于通量都等于q/ 0这是因为点电荷这是因为点电荷q 的的 电力线是连续地电

12、力线是连续地 延伸到无限远的缘故。延伸到无限远的缘故。（3）通过不包围点电荷）通过不包围点电荷 q 的任意封闭曲面的的任意封闭曲面的 电通量都电通量都 等于等于0。 这也是因为点电荷这也是因为点电荷q 的的 电力线是连续地电力线是连续地延伸到无限远的缘故。延伸到无限远的缘故。封闭面上各点处的场强为封闭面上各点处的场强为0 0？22（4）推广到多个点电荷的情形）推广到多个点电荷的情形002010 内内qqq SdESdE SEESEmSniSiSnimnjjiS 1njj111)(dde 0 内内qSEde我们验证了高斯定理我们验证了高斯定理23对电荷连续分布的带电体，可将它分成许多对电荷连续分

13、布的带电体，可将它分成许多电荷元电荷元, 高斯定律同样是正确的。高斯定律同样是正确的。 0 内内qSEde说明：说明：3. 高斯定理是平方反比定律的必然结果；高斯定理是平方反比定律的必然结果；1. 由由 的值决定，与的值决定，与 分布无关；分布无关；e内内 q内内q2. 高斯面为几何面，高斯面为几何面， q内内 和和 q外外 总能分清；总能分清；4. 库仑定律只适用于静电场，库仑定律只适用于静电场，高斯定理高斯定理不仅不仅 适用于静电场，还适用于变化的电场。适用于静电场，还适用于变化的电场。24 4. 4. 高斯定律的应用举例高斯定律的应用举例(1) (1) 定性分析一些问题定性分析一些问题例

14、：分析电力线的性质例：分析电力线的性质电力线总是从正电荷发出，终止于负电荷电力线总是从正电荷发出，终止于负电荷;无电荷处不中断。无电荷处不中断。若若P点无电荷，点无电荷， SSE0d则有：则有：N入入 = N出出， P点处电场线点处电场线连续。连续。 静电场称为有源场静电场称为有源场SP25带电系统带电系统多余的正电荷多余的正电荷发出发出的电力线将指向系统外的负的电力线将指向系统外的负电荷（或无限远）。电荷（或无限远）。带电系统带电系统多余的负电荷多余的负电荷处，处，必有从系统外的正电荷发来必有从系统外的正电荷发来的电力线（或从无限远来的的电力线（或从无限远来的电力线）。电力线）。例：分析导体

15、带电时例：分析导体带电时 电荷分布的性质（见后面）电荷分布的性质（见后面）26分析场强的对称性，选择适当的高斯面分析场强的对称性，选择适当的高斯面 高斯面应该通过场点高斯面应该通过场点 高斯面各部分或高斯面各部分或 、或、或 EE应用高斯定理求场强的关键：应用高斯定理求场强的关键：（2 2）求某些具有对称性分布的电荷的场强分布）求某些具有对称性分布的电荷的场强分布 在在 的的高斯面上，各处场强相等高斯面上，各处场强相等E27 313234RRq 电荷体密度电荷体密度例例5 均匀带电量为均匀带电量为q（设（设q0）的球层，内外半径）的球层，内外半径分别为分别为R1和和R2，求电场分布。，求电场分

16、布。 【解【解】 场有球对称性场有球对称性: 2Rr 对对 为为 过待求点、过待求点、 与带电球层同心的球面。与带电球层同心的球面。高斯面高斯面SSrSdOR2R128 SSEd SSrEd)()(42rEr 0 内内q高斯面高斯面 S上的上的 E 大小相同，方向处处与面元垂直。大小相同，方向处处与面元垂直。SrSdOR2R1rerqE204 rrerqerEE204)( 内内得得到到 29: 21RrR 对对 Rrq )(34313 内内SrOR2R1PrerRrE 203133)( 同理同理rrerqerEE204)( 内内得得到到 对对: 1Rr 00 E q内内rrerqerEE204

17、)( 内内也也有有 30SrOR2R1PE0rR2R12204Rq 当把电荷从体分布抽象为面分布时，在带电面当把电荷从体分布抽象为面分布时，在带电面 两侧的电场强度发生突变。两侧的电场强度发生突变。有普遍性有普遍性当当 q、R2不变时：不变时： R1增大，层变薄，增大，层变薄，R1 r 0）的均匀带电）的均匀带电 “无限长无限长”直线的场强分布。直线的场强分布。【解】【解】 电场有柱对称性电场有柱对称性 SESEdde rE02 取长为取长为 l 通过通过P点的同轴点的同轴封闭圆柱面为高斯面。封闭圆柱面为高斯面。02 llrE 33例例7 求面电荷密度为求面电荷密度为 （设（设 0）的均匀带电

18、）的均匀带电 “无限大无限大”平面的场强分布。平面的场强分布。【解】【解】电场具有平面电场具有平面对称性对称性 ，如图选取高斯面，如图选取高斯面0e2dd SSESESE 02 E34 如果带电系统是如果带电系统是 球、板、柱球、板、柱 电荷分布的组合电荷分布的组合, 可以直接利用以上典型结果，再叠加。可以直接利用以上典型结果，再叠加。 例：平行板电容器的电场分布例：平行板电容器的电场分布 - E= 0E= / 0 ，方向向右方向向右E= 035点电荷点电荷的静电场中，移动电荷的静电场中，移动电荷 qo，从从P1 P2电场力作功电场力作功：10.3 10.3 环路定理环路定理 电势电势 rEq

19、d0 2100200114d421rrqqrrqqrr lEqlFAppdd01221EFrdrr 2r1rld0qqP1P210.3.1 10.3.1 静电场的环路定理静电场的环路定理说明点电荷的静电场是保守力场说明点电荷的静电场是保守力场36任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。由场强叠加原理可以证明：由场强叠加原理可以证明： 0lEd说明说明1：上式中的：上式中的 是是 处的处的 。EldE说明说明2：高斯定律是静电场的第一个重要规律，高斯定律是静电场的第一个重要规律， 环路定理是静电场的第二个重要规律。环路定理是静电场的第二个重要规

20、律。左端的积分称为静电场的左端的积分称为静电场的环流环流常用下式表示常用下式表示静电场静电场 的保守性的保守性：静电场的安培环路定理静电场的安培环路定理37例例2. 电力线为一系列电力线为一系列 不均匀平行直线不均匀平行直线 的静电场的静电场 是不存在的。是不存在的。例例3. 平行板电容器必有平行板电容器必有 边缘效应。边缘效应。LE例例1. 电力线闭合的电场电力线闭合的电场，肯定不是静电场。，肯定不是静电场。E利用环路定理可以分析一些问题：利用环路定理可以分析一些问题：3810.3.2 10.3.2 电势与电势差电势与电势差由静电场保守性，引入电势能的概念。由静电场保守性，引入电势能的概念。

21、 电势能电势能W与电场力功与电场力功A的关系为的关系为babababaabWWWlEqlFA )()()()(0)()(ddd如果选定如果选定b点为电势能零点，则点为电势能零点，则a点电势能为点电势能为 零零势势点点)(0aalEqWd电势能是试探电荷与电场所共的，是试探电荷与电势能是试探电荷与电场所共的，是试探电荷与电场之间的相互作用能量。电场之间的相互作用能量。 39引入表征电场性质的物理量引入表征电场性质的物理量电势电势 零势点零势点)(0aaalEqWUd理论上理论上： 对有限电荷分布，选对有限电荷分布，选U=0。 对无限大电荷分布，对无限大电荷分布， 选有限远选有限远 的适当点为电势

22、零点。的适当点为电势零点。实际上实际上：常选大地或机壳的公共线为电势零点。：常选大地或机壳的公共线为电势零点。电势是从电场力作功的角度来描述电场的物理量。电势是从电场力作功的角度来描述电场的物理量。电场强度是从电场力的角度来描述电场的物理量。电场强度是从电场力的角度来描述电场的物理量。40静电场中静电场中a、b两两点电势的差值，称为点电势的差值，称为电势差电势差 但不影响两点间的电势差。但不影响两点间的电势差。电势差更为根本，因为它反映电场力做的功。电势差更为根本，因为它反映电场力做的功。电势零点的选择可任意。电势零点的电势零点的选择可任意。电势零点的选择改变了，各点的电势也都改变了。选择改变

23、了，各点的电势也都改变了。 )()(00baabbabaablEqAqWWUUUd41由电势定义与场强叠加原理可以导出由电势定义与场强叠加原理可以导出电势叠加原理电势叠加原理 lElElElEEElEUanaanaaaddddd )()()()(2)()(12)()(1)()()(零零势势点点零零势势点点零零势势点点零零势势点点零零势势点点 niinaUUUUU121在点电荷系的电场中，任一点的电势等于每一在点电荷系的电场中，任一点的电势等于每一个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和和（零势点应相同）。（零势点应相同）。 42例例8 求点电荷求点电荷 q 的电势分布。的电势分布。利用电势定义，取无限远为电势零点利用电势定义，取无限远为电势零点【解】【解】rqU04 点电荷的电势公式点电荷的电势公式 )()(aaarElEUddarrqrrqa0204