电网络第六章

1、第六章第六章 灵敏度分析灵敏度分析容差范围（容差）容差范围（容差） 实际电路元件的参数一般不可能完全等于标称值，而是接近标实际电路元件的参数一般不可能完全等于标称值，而是接近标称值附近某一较小范围内的任意值，这个容许误差的范围称为称值附近某一较小范围内的任意值，这个容许误差的范围称为“容差范围容差范围”，或称，或称“容差容差”。 电路工作环境温度和湿度的变化、元件的老化等因素也会导致电路工作环境温度和湿度的变化、元件的老化等因素也会导致元件参数的改变。此外，杂散电容、漏电导等寄生参数有时也元件参数的改变。此外，杂散电容、漏电导等寄生参数有时也会明显地影响电路的性能。会明显地影响电路的性能。影响

2、电路性能的因素：影响电路性能的因素：问题Ii+R1R3+UoR2UiR1=2，R2=16，R3=6， Ii=2 AVIRRRRRIRRRRRRRRRURRRUiii12616262)(321313213213233230设一个集总、线性、时不变网络设一个集总、线性、时不变网络N的某一网络函数为的某一网络函数为T(s)。x为为与该网络某元件有关的参数，它可以是元件值，或是影响元件与该网络某元件有关的参数，它可以是元件值，或是影响元件值的一些物理量（如温度、压力）。为研究值的一些物理量（如温度、压力）。为研究x的微小变化对网的微小变化对网络性能的影响，将网络函数表示为络性能的影响，将网络函数表示为

3、T(s，x)。 设参数设参数x在标称值在标称值x0附近有微小改变，将附近有微小改变，将T(s，x)在在x0附近用泰勒附近用泰勒级数展开级数展开 ，并取一阶线性近似，可得，并取一阶线性近似，可得xxxsTxsTxsTTxx 0),(),(),(06-1 网络的灵敏度网络的灵敏度网络函数网络函数T(s，x)相对于参数相对于参数x的的未归一化灵敏度未归一化灵敏度定义定义为：为：xTSTx 网络函数网络函数T(s，x)相对于参数相对于参数x的的归一化灵敏度归一化灵敏度（简称灵敏度简称灵敏度）定义为定义为 xTxxTTTxxTSTxlnln 网络函数的偏差及相对偏差与灵敏度的关系为：网络函数的偏差及相对

4、偏差与灵敏度的关系为： xSxxTTTx xxSTTTx 偏差偏差相对偏差相对偏差如果网络中有多个元件参数如果网络中有多个元件参数x1、x2、xn同时产生微小变化，则同时产生微小变化，则这些参数同时改变所引起网络函数这些参数同时改变所引起网络函数T的偏差和相对偏差分别为：的偏差和相对偏差分别为： nknkkkTxkknnTxxSxxTxxTxxTxxTTk112211kknkTxxxSTTk 12292. 0576132)()(232132311RRRRRRRTSTR0208. 057612)(23213122RRRRRRTSTR0625. 057636)()(232121133RRRRRRR

5、TSTRIi+R1R3+UoR2UiR1=2，R2=16，R3=6， Ii=2 AiIRRRRRU321310321310RRRRRIUTi定义xTSTxIi+R1R3+UoR2UiR1=2，R2=16，R3=6， Ii=2 AiIRRRRRU3213105 . 0321310RRRRRIUTi9167. 05 . 022292. 0111TRRTSTR6667. 05 . 0160208. 0222TRRTSTR750. 05 . 060625. 0333TRRTSTR2292. 01TRS0208. 02TRS0625. 03TRS定义TxxTSTx灵敏度只能预报当网络参数有微小变化时对网

6、络性能的影响，而灵敏度只能预报当网络参数有微小变化时对网络性能的影响，而不能正确给出网络参数有较大改变时网络性能的改变。这是因为不能正确给出网络参数有较大改变时网络性能的改变。这是因为灵敏度的表示式是函数灵敏度的表示式是函数T(s,，x)在参数在参数x=x0处一阶逼近的结果。处一阶逼近的结果。 有时人们需要计算作为网络输出的变量对该网络某些参数的偏有时人们需要计算作为网络输出的变量对该网络某些参数的偏导数以及灵敏度。将网络函数表示为导数以及灵敏度。将网络函数表示为)()()(sEsRsT R(s)、E(s)分别为网络输出变量、输入变量的象函数。分别为网络输出变量、输入变量的象函数。T(s)对参

7、数对参数x的偏导数的偏导数xsRsEsEsRxxsT )()(1)()()(网络输出变量网络输出变量R(s)对参数对参数x的偏导数等于相应的网络函数对参数的偏导数等于相应的网络函数对参数x的偏导数乘以网络输入变量。的偏导数乘以网络输入变量。 T(s)对对x的灵敏度的灵敏度)()()()()()()()()(sRxsTxSsRxxsRsRsxEsEsRxTxxsTS 该式表明，网络函数对参数该式表明，网络函数对参数x的灵敏度则与网络输出变量对参数的灵敏度则与网络输出变量对参数x的灵敏度相等。的灵敏度相等。 频域频域中的网络函数中的网络函数T(j )，它是一个复数，可表示为它是一个复数，可表示为)

8、(jejTjT频域频域网络函数对参数网络函数对参数x的灵敏度的灵敏度 xjTxxjTSjTx)(lnln)(ln)()()(ln)(lnjjTjTxjxxjTxSjTx)()(ln)( TxjTxSxTxS lnRe)( xjTxSxxS)(Im增益灵敏度增益灵敏度相位灵敏度相位灵敏度复增益灵敏度复增益灵敏度6-2 灵敏度恒等式灵敏度恒等式就归一化灵敏度而言，灵敏度恒等式：就归一化灵敏度而言，灵敏度恒等式：1如果如果T不是不是x的函数，则的函数，则 0 TxS2设设C是任意常数，则是任意常数，则 1 CxxSTxTxSS /13.TxTxSS /14.5设设T是是y的函数，的函数， y是是x的

9、函数，则的函数，则yxTyTxSSS xTTxxTSTxlnln2121TxTxTTxSSS 6.2121/TxTxTTxSSS 7.TxTxnSSn 8.TxTxSnSn1 9.)()(xfxxCfxSS 10.2121212211)(TxTxTTxSTTTSTTTS 11.xTTxxTSTxlnln 例：已知网络函数)(1)1 (2112RRCjRCjRTmm，试求TRS2解：令DNRRCjRCjRTmm)(1)1 (2112据第七个恒等式2121/TxTxTTxSSSTRS2DRNRSS222112212)1()1(RCjRCjRRRCjRmmSS)1 ()1 ()1 (12121221

10、121)1 (2111RCjRmRCjRmmSRCjRCjRCjSRCjRCjRCjm)1 (0121121RCjRCjRCjm2111)1 (1RCjRCjRCjmm比直接求导简单6-3 增量网络法增量网络法增量网络法是一种根据给定电网络直接求网络变量对网络元件增量网络法是一种根据给定电网络直接求网络变量对网络元件参数的参数的非归一化灵敏度非归一化灵敏度的方法。的方法。 当网络的拓朴结构和激励固定时，任意支路电流、电压均为当网络的拓朴结构和激励固定时，任意支路电流、电压均为网络元件参数的函数。网络元件参数的函数。 分析支路导抗的微小改变所引起电流、电压的增量，进而确分析支路导抗的微小改变所引

11、起电流、电压的增量，进而确定网络变量对网络元件参数的非归一化灵敏度。定网络变量对网络元件参数的非归一化灵敏度。 对于一个含线性时不变电阻、电感、电容元件、线性受控源对于一个含线性时不变电阻、电感、电容元件、线性受控源和独立源的网络和独立源的网络N，指定参考节点并任选一树。写出网络指定参考节点并任选一树。写出网络N的的关联矩阵关联矩阵A和和基本回路矩阵基本回路矩阵Bf0AI b0UBbf 如果网络如果网络N中某些支路导抗发生微小改变，则各支路电流、电中某些支路导抗发生微小改变，则各支路电流、电压也会有微小改变，我们将此网络称为压也会有微小改变，我们将此网络称为“微扰网络微扰网络”（perturb

12、ed network），用符号），用符号Np表示。对于微扰网络有表示。对于微扰网络有 0IIA)(bb0UUB)(bbf0IAb0UBbf由此看出，增量电流由此看出，增量电流Ib 、增量电压、增量电压Ub和原网络电流和原网络电流Ib、电电压压Ub满足相同的拓扑约束关系。因此，可以构造一个与原网络满足相同的拓扑约束关系。因此，可以构造一个与原网络N拓扑结构相同的拓扑结构相同的“增量网络增量网络”Ni(incremental network)， Ni的支路特性应按的支路特性应按Np中各支路增量电流与增量电压间的关系确定。中各支路增量电流与增量电压间的关系确定。增量网络增量网络: 1 与原网络N拓朴

13、结构相同 2 各支路电流、电压就是增量电流、电压向量 3 各支路与原网络支路有对应关系 设设原网络原网络N的第的第j支路阻抗为支路阻抗为Zj，则该支路电压电流关系方程为则该支路电压电流关系方程为 jjjIZU 微扰网络微扰网络Np中的第中的第j支路特性为支路特性为 jjjjjjjjjjjjjjIZZIIZIZIIZZUU )(两式相减，并忽略高阶无穷小项得两式相减，并忽略高阶无穷小项得jjjjjZIIZU 上式表明，在增量网络上式表明，在增量网络Ni中，第中，第j支路应由原网络支路应由原网络N的第的第j支路阻支路阻抗抗Zj与电压为与电压为Ij Zj的电压源串联构成，各种元件在增量网络中的的电压

14、源串联构成，各种元件在增量网络中的构成如表构成如表6-1所示。所示。 由原网络由原网络N绘出增量网络绘出增量网络Ni。用任何方法求解增量网络，得到网。用任何方法求解增量网络，得到网络变量增量与有关元件参数增量间的关系式，进而导出非归一化络变量增量与有关元件参数增量间的关系式，进而导出非归一化灵敏度。灵敏度。 注意，注意，Z、Y和受控源在增量网络中的对应支路分别较原网络增和受控源在增量网络中的对应支路分别较原网络增加了串联电压源或并联电流源，而这些电源的表示式均含原网加了串联电压源或并联电流源，而这些电源的表示式均含原网络某些支路电流或电压，因此，求解增量网络之前必须先对原络某些支路电流或电压，

15、因此，求解增量网络之前必须先对原网络求解。网络求解。 由于由于Ni与与N二者的非强制网络完全相同，增量网络二者的非强制网络完全相同，增量网络Ni的节点导纳的节点导纳矩阵和原网络矩阵和原网络N的节点导纳矩阵是相同的。基于这一点，无论的节点导纳矩阵是相同的。基于这一点，无论我们采用何种网络方程法，如果列出网络我们采用何种网络方程法，如果列出网络N的方程为：的方程为： YPX YXP则网络则网络Ni的方程必为：的方程必为： 在求解网络在求解网络N时所得到系数矩阵时所得到系数矩阵P的逆阵可直接用以求解网络的逆阵可直接用以求解网络Ni，从而使计算量大为减少。从而使计算量大为减少。 下面以节点分析为例讨论

16、上述算法，支路划分仍采用复合支路。下面以节点分析为例讨论上述算法，支路划分仍采用复合支路。网络网络N的节点方程为：的节点方程为： )(sbsnTbUYIAUAAY当支路导纳矩阵有微小改变当支路导纳矩阵有微小改变 Yb时，节点电压向量亦发生微小时，节点电压向量亦发生微小改变改变 Un，写出节点方程的一阶近似式：写出节点方程的一阶近似式： sbnTbnTbUYAUAYAUAAY)(nTsbnnUAUYAUYbUUYAUYbnn式中式中sbUUU根据上式，可求根据上式，可求Un对任意参数对任意参数x的偏导数的偏导数 UYAYUbnnxx1增量网络法的应用是可以基于任一种网络方程法的。增量网络法的应用

17、是可以基于任一种网络方程法的。 用增量网络法求非归一化灵敏度的步骤：用增量网络法求非归一化灵敏度的步骤： 1根据题意所要求的非归一化灵敏度确定哪些元件参数是可根据题意所要求的非归一化灵敏度确定哪些元件参数是可微变参数，构造相应的增量网络微变参数，构造相应的增量网络Ni。 2解原网络解原网络N，求出增量网络，求出增量网络Ni中所需原网络中所需原网络N的网络变量。的网络变量。 3解增量网络解增量网络Ni，导出有关网络变量增量与各可微变参数增，导出有关网络变量增量与各可微变参数增量间的关系式。量间的关系式。 4应用第应用第3步所得关系式求网络变量对元件参数的偏导数。将步所得关系式求网络变量对元件参数

18、的偏导数。将以上结果除以激励电压（或电流），便可得到有关网络函数对以上结果除以激励电压（或电流），便可得到有关网络函数对该元件参数的偏导数。该元件参数的偏导数。例各元件参数标称值为：Y1=2S，Y2=4S,Y3=1S,gm= 2S 。用增量网络法求输出电压U2对Y1、Y2、Y3、gm偏 导 数 。 设 转 移 函 数Zin=U1/Iin对gm的灵敏度。 Y1 I2 Y2 U2 + gm U1 Y3 4A U1 + Y1 Y2 U2 + gm U1 Y3 U1 + Y1 U1 Y2 U2 Y3 (U1- U2) gm U1 Y1 I2 Y2 U2 + gm U1 Y3 4A U1 + 第一步:画

19、出增量网络 第二步:求原网络U1、 U2 12321323121)(4)(UgUYYUYUYUYYm Y1 I2 Y2 U2 + gm U1 Y3 4A U1 + 05432121UUUUVUVU414521第三步:求增量网络1222131232132131123121)()()()(UgUYUUYUgUYYUYUUYUYUYUYYmm Y1 Y2 U2 + gm U1 Y3 U1 + Y1 U1 Y2 U2 Y3 (U1- U2) gm U1 mmgYYYUgYYYU641583643645645836416425321232116456450121232YUYUgYYm令第三步:求增量网络

20、mmgYYYUgYYYU641583643645645836416425321232112565)645(41411mminZggUgZSinm输入阻抗Zin=U1/Iin= U1/46-5 符号网络函数法符号网络函数法网络的支路特性不是用数值，而是用某些变量表示，网络函数网络的支路特性不是用数值，而是用某些变量表示，网络函数就是符号网络函数。就是符号网络函数。将符号网络函数分为以下三类：将符号网络函数分为以下三类： 第一类第一类 全符号网络函数全符号网络函数：全部元件参数（：全部元件参数（R、L、C等）均用等）均用符号表示。复频域变量用符号表示。复频域变量用s表示。表示。 第二类第二类 部分

21、符号网络函数部分符号网络函数：部分元件参数用符号表示，另一部：部分元件参数用符号表示，另一部分元件参数用数值表示。复频域变量用分元件参数用数值表示。复频域变量用s表示。表示。 第三类第三类 具有数值系数的具有数值系数的s的有理函数的有理函数：全部元件参数均用数值：全部元件参数均用数值表示，复频域变量用表示，复频域变量用s表示。表示。 符号网络函数法是计算全符号网络函数和部分符号网络函数对符号网络函数法是计算全符号网络函数和部分符号网络函数对网络元件参数的网络元件参数的归一化灵敏度归一化灵敏度的一种方法。的一种方法。 符号网络函数法的优点是计算步骤简单，灵敏度表达式能清楚地符号网络函数法的优点是

22、计算步骤简单，灵敏度表达式能清楚地反映出各种因素对灵敏度的影响。此外，在频域分析中，如果需反映出各种因素对灵敏度的影响。此外，在频域分析中，如果需要计算的灵敏度项目较少、而频率采样点很多，在这种情况下，要计算的灵敏度项目较少、而频率采样点很多，在这种情况下，符号网络函数法更显示出其优越性。符号网络函数法更显示出其优越性。 设集总、线性、时不变网络设集总、线性、时不变网络N由二端电阻、电感、电容和四类受由二端电阻、电感、电容和四类受控源组成。将控源组成。将N中所有的（或部分的）网络元件参数分别用不同中所有的（或部分的）网络元件参数分别用不同的变量的变量（x1, , xn）表示，网络表示，网络N的

23、网络函数的网络函数T可表示为：可表示为： ),(),(11nnxxDxxNT ) , ,(1) , ,(11nnxxNTxxDH 0) , ,() , ,( 11 nnxxPNxxDTP1 式中的式中的H对于对于P以及对于每一个以及对于每一个xi (i=1, 2, , n)都是一次的，而都是一次的，而P对于式中任一对于式中任一xi都是隐函数的关系。都是隐函数的关系。上式改写为上式改写为 为寻求为寻求T对对xi的灵敏度，首先计算的灵敏度，首先计算P对对xi的灵敏度。的灵敏度。 假设在上式中作为变量的元件参数为假设在上式中作为变量的元件参数为xi，则该式可表示为：则该式可表示为：0 iiFPxCPBxAH式中式中A、B、C、F为常数。应用隐函数求导公式得为常数。应用隐函数求导公式得 iiiFxCFPBPHxHxP P对对xi的归一化灵敏度的归一化灵敏度iiPxxPPxSi iiFxCBxAP FPBCPAxi 因因iiiiPxBxACPAFxCFPBBxAFxCFPBCPASi所以所以 iPxPxTxBxACPASSSiii 1用灵敏度恒等式可得用灵敏度恒等式可得T对对xi的灵敏度的灵敏度这就