海洋平台工程

1、第七章第七章 桩基平台动力分析桩基平台动力分析 主讲人：主讲人：娄敏娄敏 船舶与海洋工程系船舶与海洋工程系 第七章第七章 桩基平台动力分析桩基平台动力分析结构动力学概述单自由度体系振动多自由度体系振动桩基平台的运动分析平台对规则波的响应分析结构动力学是研究动荷载作用下结构动力反应规律的学科。思考：1.联系高中物理，说明力的三要素是什么？2.什么是动荷载；3.可变荷载和动力荷载的区别？力的三要素方向作用点大小动荷载：大小、方向和作用点随时间变化，在其作用下，结构上的惯性力与外荷载比不可忽视；可变荷载：自重、缓慢变化的，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载。静力计算与动力计算静力计算与动力计算

2、静力计算是在静荷载作用下的平衡问题。动力计算是在动荷载作用下的运动（或反应）问题。是在引入惯性力下的平衡动力计算静力平衡动荷载的分类动荷载的分类动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载 突加荷载 其他确定规律的动荷载体系的动力自由度体系的动力自由度n定义：确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。n简化：实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。 简化方法：简化方法：（1）集中质量法集中质量法：把连续分布的质量集中为几个质点或质块，这样就可以把一个本来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问

3、题。 （2）有限元法有限元法：把结构划分为若干个单元，用单元节点处的参数来表述结构任意位置处的参数，把无限自由度问题简化为有限自由度问题。（1）集中质量法集中质量法：例： 图7-1-a所示为一简支梁，跨中放有重物W。当梁本身质量远小于重物的质量时，可取图7-1-b所示的计算简图，即梁可视为无质量的弹性杆。 例：图7-5所示为一个三层平面刚架。计算刚架的侧向振动时，一种常用的简化方法是将柱的分布质量简化为作用于柱上、下两端,即横梁处的集中质量，因而刚架的全部质量都作用在横梁上。集中质量法自由度的确定1)1) 平面上的一个质点1y2yW=2W=2弹性支座不减少动力自由度计轴变时 W=2不计轴变时

4、W=1为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。1yW=1W=2自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。1y2y平面问题如果是空间质点，自由度最多可以是多少个？（2 2）有限元法）有限元法a. 将结构划分单元b. 取节点处的位移参数作为广义坐标c. 给出节点位移参数相应的形状函数d. 结构的位移用广义坐标和形状函数描述输入输入（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）第一类问题：第一类问题：反应分析（结构动力计算）反应分析（结构动力计算）第二类问题：第二类问题：参数（或称系统）识别参数（或称系统）识别输入输入（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（

5、系统）输出输出（动力反应）（动力反应）第三类问题：第三类问题：荷载荷载识别识别输入输入（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）正问题正问题反问题反问题反问题反问题第四类问题：第四类问题：控制问题控制问题输入输入（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）控制系统控制系统（装置、能量）（装置、能量）控制问题控制问题结构动力学解决的问题：结构动力学解决的问题：海洋平台计算模型分层集中质量模型平面集中质量模型聚缩自由度空间模型分层集中质量模型简化方法：这种计算模型是把平台各层的质量堆聚到各层的形心位置，将空间框架简化为具有逐

6、层集中质量的等效“悬臂梁” 。适用范围：如果计算水平荷载（如波浪荷载或水平方向地震力）作用下的侧向位移，则只考虑主振型方向的自由度，这样，一个n层平台便被简化为只有n个自由度的计算模型。平面集中质量模型简化方法：这种计算模型是把空间振动问题化为几个平面问题来求解。在平面模型内可以保持较多的集中质量点，并考虑两个方向的平移自由度。适用范围：适用于具有一定对称性的平台。聚缩自由度空间模型适用范围：若结构与荷载具有显著的空间性质，则要详细分析结构的空间运动，可采用空间的集中质量模型，但为了减轻工作量，可以同时采用动力聚缩技术。简化方法：n首先：是把质量初步集中到空间结构的节点上，大约产生几百个或上千

7、个自由度；n然后从中选取能够体现结构空间运动特性的少数自由度（通常是总自由度的1/10）作为主自由度，或称为独立自由度；聚缩自由度空间模型n再用动力聚缩法，把结构质量与刚度聚缩到这少数自由度上进行自振特性分析。优点：由于自振特性分析计算自由度所取的自由度很少，故可使计算工作量大为减少。由于从空间提取自由度，所以结构的运动又具有空间特点。第七章第七章 桩基平台动力分析桩基平台动力分析结构动力学概述单自由度体系振动多自由度体系振动桩基平台的运动分析平台对规则波的响应分析1.1.振动方程的建立振动方程的建立( (以刚度法为例）以刚度法为例）a.弹性恢复力kyfk， b.阻尼力ycfdc.惯性力 ym

8、fI d.外荷载 P(t) )(tPkyycym （7-1）2.2.自由振动：自由振动： 由于外界的干扰，无动荷载的体系的质点离开了静止平衡位置而产生的振动称为自由振动。)(tPkyycym 阻尼力项不考虑无外荷载0 kyym 02yy mk（6-2）（1 1）不考虑阻尼）不考虑阻尼其通解为tctctysincos)(21由初始条件0)0(yy0)0(vy可得01yc /02vc tvtytysincos)(00令sin0Ay cos/0Av)sin()(tAty其中22020vyA00tanvy振动分析振动分析单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动。单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐

9、振动。)2()2(sin)2sin()sin()(tytAtAtAty2T自振周期21T自振圆频率(自振频率)与外界无关,体系本身固有的特性A 振幅初相位角结构的振动是由两部分组成：n 一部分是由初位移引起，表现为余弦规律；n 另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律。tvtytysincos)(00(2)(2)有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动)(tPkyycym 无外荷载0kyycym 有阻尼自由振动方程mkmc2令022yyy 该微分方程的解为如下形式：tCety)(由下列特征方程所确定：0222其解为：) 1(21工程中主要用低阻尼，即令：21rri则：则微分方程的解为 再引入初始条件，则

10、得 )sincos(21tCtCeyrrt)sincos(000tyvtyeyrrrt上式也可写成)sin(tAeyrt220020)(ryvyA000tanyvyr思考：有阻尼体系自由振动和无阻尼体系的区别？通常当0.1时，则和的差别很小。 有阻尼体系的自由振动不再是简谐振动，但仍是周期运动，振幅随时间的增长而按指数规律衰减。21rr如何获得 ？3.3.简谐荷载作用下动力响应简谐荷载作用下动力响应（1）无阻尼体系令阻尼力等于0，得单自由度体系强迫振动的微分方程：mtPyy)(2 设体系承受的如下的简谐荷载：tFtPsin)(tmFyysin2 得到运动方程： 方程的特解为：tmFysin)1

11、 (222方程的通解为： tmFtCtCysin)1 (sincos22221tmFtvtyysin)1 (sincos22200初始条件|-频比211纯受迫振动分析EIl)(tyP(t)P(t)tAtysin)(22211mFAstyA kFmFyst2-荷载幅值作为静荷载所引起的静位移22/11-动力系数稳态振幅mk2若要使振幅降低,应采取何种措施?通过改变频比可增加或减小振幅.10增函数1|减函数0011共振0为避开共振 一般应大于1.25或小于0.75.10应使频比减小.增加结构自频.增加刚度、减小质量.1应使频比增大.减小结构自频.减小刚度、增大质量.211（2）有阻尼体系 对有阻尼

12、的单自由度体系，简谐荷载作用下振动微分方程为：tmFyyysin22 )()()(*tytyty方程的解：通解特解设解)()()(*tytytytDtDtysincos)(21*22222214)(2mFD2222222224)(mFD)sin()(*tAty222224)1 (1mFA)1 (2tan2tmFyyysin22 )()()(*tytyty)cossin()(21tctcetyrrt)sin()cossin()(21tAtctcetyrrt00)0()0(vyyy)sin( )sin()sin()(2211tAteAteAtyrtrttmFyyysin22 )sin( )sin(

13、)sin()(2211tAteAteAtyrtrt初位移、初速度引起的自由振动分量动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,称为伴随自由振动纯受迫振动阻尼对振幅的影响)sin()(tAty222224)1 (1mFA在平稳阶段sty22224)1 (1随随 增大而减小增大而减小阻尼在共振区内影响显著阻尼在共振区内影响显著2/11 时的最大值并不发生在的最大值并不发生在处1位移滞后于荷载位移滞后于荷载02.03.0设体系在t=0时处于静止状态，然后有瞬时冲量S作用，由于此瞬时冲量引起的结构位移为：tmSysin4.4.任意荷载作用下动力响应任意荷载作用下动力响应（1）无阻尼体系如果在 时作用瞬时冲量

14、S，则在以后 任一时刻的位移为t)(tt)(sintmSy对于任意动荷载动动力反应，整个加载过程可看作由一系列瞬时冲量所组成。例如在时刻 作用的荷载为 ，此荷载在微分时段内产生的冲量 ，此微分冲量引起的的动力反应为：t)(PdPdS)()(sin)(tmdPdy如果对加载过程中所有微分反应进行叠加可得总反应为：考虑初始位移与速度：首先，单独由初始速度所引起的振动为：0mvS S由于冲量，故在初始时刻由冲量引起的振动为（2）有阻尼体系tveyrrtsin0tmSeyrrtsin再进行积分得总反应为任意荷载 产生的动力响应为)(P)(sin)()(tmdPedyrrt考虑初始位移与速度：第七章第七

15、章 桩基平台动力分析桩基平台动力分析结构动力学概述单自由度体系振动多自由度体系振动桩基平台的运动分析平台对规则波的响应分析1.1.振动方程振动方程 取各质点作隔离体，如图所示，不考虑阻尼作用，各质点所受的力有下面三种：惯性力惯性力，与加速度的方向相反；弹性力弹性力，与位移的方向相反动荷载动荷载 根据达朗伯原理，可列出平衡方程如下： ( ) ( =1 2)iiiim yrP tin、 、弹性力是质点与结构之间的相互作用力，与结构位移之间应满足刚度方程：这里 是结构的刚度系数，即使 点产生单位位移在 点 所施加的力。ijkji1122 ( =1 2)iiiinnrk yk yk yin、 、由此得

16、无阻尼振动微分方程111111221122211222221122n= ( )=( ) =( )nnnnnnnnnnnm yk yk yk yP tm yk yk ykyP tm yk ykyk yP t或简写为：1112111222122212 nnnnnnnnkkkmymykkkmykkk1122( )( )( )nnyP tyP tyP t写成矩阵的形式为： ( )MyKyP t2.2.无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼体系的自由振动方程设解的形式为：这样Y是位移幅值向量，即 ( )MyKyP t sin()yYt12 nYYYY考虑单质点体系解的形式？0 ( )MyKyP t sin(

17、)yYt2() 0KMY上式是位移幅值Y的齐次方程，为了得到Y的非零解，应使系数行列式为0，即2|)| 0KM0将行列式展开，可得到一个关于频率参数 的n次代数方程(n是体系自由度的次数)。把全部自振频率按照由小到大的顺序排列而成的向量叫作频率向量，其中最小的频率叫作基本频率或第一频率。22|)| 0KM特征方程特征方程2() 0KMY( )( )( )( )12 iTiiinYYYY、。)(iYii阶主阵型向阶主阵型向量量N个振型 是线性无关的（即正交）。 ), 2, 1(NiYi示例：设图所示的海上平台有三个可动水平位移，质量矩阵、刚度矩阵及波浪向量已知，计算结构的自振频率和阵型。*443

18、.8600 10073.100087.72MkgmNK/6 .878 .1162 .298 .1162921462 .291461461052|)| 0KM自振频率：令则求解 =2.27， =14.8， =66.2， =1.51rad/s， =3.85rad/s， =8.14rad/s123123=1.51rad/s， =3.85rad/s， =8.14rad/s123111293. 3819. 072. 053. 3832. 1559. 0阵型:2() 0KMY3.3.无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动简谐荷载简谐荷载如果荷载是简谐荷载，即而在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动：12 ( )sin

19、sinnPPP ttPtP12 ( )sin sinnYYy ttYtY2( ) KMYP ( )MyKyP t12 ( )sin sinnPPP ttPtP12 ( )sin sinnYYy ttYtY2( ) KMYP已知已知已知已知已知已知已知已知未知未知4.4.阻尼阻尼考虑阻尼的振动方程： ( )MyCyKyP t111212122212 nnnnnnCCCCCCCCCC瑞利阻尼：KbMaC1212212221221322212()2()ab 第七章第七章 桩基平台动力分析桩基平台动力分析结构动力学概述单自由度体系振动多自由度体系振动桩基平台的运动分析平台对规则波的响应分析一、波浪荷载

20、向量一、波浪荷载向量思考：2. 有限元法中荷载的形式？1. 波浪荷载作用公式？dzdtduACdzuDuCdFMD21莫里森公式：孤立小尺度圆形竖直构件（桩柱）波浪力计算拖曳力系数拖曳力系数圆形构件取圆形构件取1.2海水密度海水密度直径直径水质点速度分量水质点速度分量惯性力系数惯性力系数圆形构件取圆形构件取2.02.0水质点相对于构件的加速水质点相对于构件的加速度分量度分量 有限元法有限元法(FEA(FEA，Finite Element Analysis)Finite Element Analysis)是把要分析是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称的连

21、续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点结点。 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。发生重叠。 当连续体受到外力作用发生变形时，当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各组成它的各个单元也将发生

22、变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。称为结点位移。 单元之间只能通过结点来传递内力单元之间只能通过结点来传递内力。通过。通过结点来传递的内力称为结点来传递的内力称为结点力结点力，作用在结点上，作用在结点上的荷载称为的荷载称为结点荷载结点荷载。 在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。对每个单元根在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，的分布规律，再利用力学理论中

23、的变分原理或其他方法，建立结建立结点力与位移之间的力学特性关系点力与位移之间的力学特性关系，得到一组，得到一组以结点位移为未知量以结点位移为未知量的代数方程的代数方程，从而求解结点的位移分量。，从而求解结点的位移分量。 然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。终将收敛于精确解。把分布的波浪力集中到节点

24、上去。集中的方法有两种：第一种方法是计算出杆件的波浪力，再一分为二，集中到杆件两端节点上；第二种方法是先将杆件的面积和体积集中到节点上，再计算节点上的波浪力。思考：为何将杆件的面积和体积进行集中？思考：为何将杆件的面积和体积进行集中？dzdtduACdzuDuCdFMD21计算由波浪荷载引起的节点力 确定了各节点的集中面积与体积后，可用莫里森公式计算节点p处的波浪力Fp：（7-10）pppUuu （7-11）为水对节点p的相对速度 1|(1)2pDpppMppMppFC AuuC B aCB UdzdtduACdzuDuCdFMD21假如节点速度 与水质点速度 相比很小，则pUpu用不依赖时间

25、的平均值 代替pu ppMpppDppMpppDpUBCUuACaBCuuACF) 1(21|2|ppppppuuuuuU随时间变化根据线性波浪理论：)cos(tKxEuppp)sin(tKxEapppP节点处水质点速度幅值为：shKdchKyHEpp2ppMpppDppoppUBCUuACtKxFF) 1()sin(2/122)()21(pMppDpopBCuACEFpMppDpBCuACtg220p ppMpppDppMpppDpUBCUuACaBCuuACF) 1(21)cos(tKxEuppp)sin(tKxEapppdtuuuuIpppp220)(为最小令 ，可得到0puddIppp

26、EEu849. 038pu的确定例：试确定图7-5所示海上结构节点2的波浪力计算公式。设波高为6m，波长为90m，水深为22.5m，垂直杆外径1.2m，水平杆和斜杆为0.6m，结构的四个面相同。1.集中面积的计算竖杆1-2及2-3的迎波面积为 =15*1.2=18m2； =7.5*1.2=9m2；斜杆2-4视为15m高的等效竖杆 =15*0.6=9m2；水平杆2-5迎波投影长度为零，所以 =0；21A32A42A52A斜杆2-6视为7.5m高的等效竖杆=7.5*0.6=4.5m2；62A正面交于节点2上的杆件有下斜杆2-7，水平杆2-8，上斜杆2-9。 =21.20.6=12.7m2； =15

27、0.6=9m2； =10.60.6=6.4m2；取以上面积总和的一半即为34.3 m272A82A92A2.集中体积用类似的方法计算交于节点2的各杆有效体积，再取总体体积的一半而得2B32217 .16152 . 14mB32324 . 85 . 72 . 14mB32422 . 4156 . 04mB052B32621 . 25 . 76 . 04mB32722 . 4156 . 04mB32920 . 36 .106 . 04mBB2=22.3m332822 . 4156 . 04mB3.波浪力表达式 对水深 ， 波高 ，波长 的线性波 波数 波频md5 .22mH6mL90107. 02

28、mLK12/179. 0)(sgKthKd2222296949460)531. 079. 0sin(77022UUtF2/122)()21(pMppDpopBCuACEFpMppDpBCuACtg220pppMpppDppoppUBCUuACtKxFF) 1()sin(二、质量矩阵二、质量矩阵质量矩阵杆件质量杆件内部水的质量杆件外部附连水的质量n杆件外部附连水质量取决于浸水体的几何形状，且与振动方向有关。对于平台结构用得最多的是圆形构件，当振动方向与杆件垂直时，单位杆长附连水质量，即杆件振动时附加质量等于杆排开水的质量。n此外，海生物附着于构件上会使结构质量增加。 动力分析中结构刚度矩阵的建立

29、与静力分析中相同，基桩约束刚度矩阵的建立也与静力分析中一样。这里只指出两点：n如果在动力分析中采取聚缩技术，则刚度矩阵也须同质量矩阵聚缩到同样阶数；n如果采用类似静力分析中整体计算模型，土壤的弹簧常数难以准确确定，因为土反力与桩变位之间的关系(p-y曲线)是非线性的；其办法是按最可能出现的最大变位值(y)来决定最有代表性的土壤弹簧常数K的值。 三、刚度矩阵三、刚度矩阵四、阻尼矩阵四、阻尼矩阵 KMC思考：思考：阻尼对动力响应有何影响？阻尼对动力响应有何影响？瑞利阻尼瑞利阻尼五、运动方程五、运动方程 假定假定：1.1.波浪力是水平方向；波浪力是水平方向；2.2.平台发生水平方向运动；平台发生水平

30、方向运动；3.3.水平杆件刚度无限大。水平杆件刚度无限大。 波浪力有哪些方向平台的运动如何简化？计算各层内所有质点上总波浪力，用 表示作用于p-q层的总波浪力。PFppMpppDppoppUBCUuACwtKxFF) 1()sin(ppMpppDqppoqppopPUBCUAuCtKLKxFtKxFF1)()sin()sin(pqpxxL代表q与p之间的距离 qppAAAqppBBBppMpppDppoppUBCUuACtKxFF) 1()sin(ppMpppDpqppqPUBCUAuCtKxFF1)()sin(简化简化其振动方程为：ppMpppDpqppqPPppUBCUAuCtKxFFUK

31、UCUM)1()sin(将方程右边移项得：)sin()() 1(pqppqPpPDppMptKxFUKUuACCUBCM (7-34) 附加质量附加质量流体阻尼流体阻尼)sin()() 1(pqppqPpPDppMptKxFUKUuACCUBCM考虑整个平台的运动，则包含三个质点系的运动，即第一层、第二层和第三层，其总的运动方程可以写成矩阵的形式：*FUKUCUM第七章第七章 桩基平台动力分析桩基平台动力分析结构动力学概述单自由度体系振动多自由度体系振动桩基平台的运动分析平台对规则波的响应分析* 2 MXMXK XFMC2*FXKXCXM现利用振型矩阵 ，引入新变量 ，令Y1XYYX再将上式两

32、端乘以T，得到* 2 MYMYKYF* 2 TTTTMYMYKYF 振动方程振动方程* 2 MXMXK XF又可写成式中：*MMT*KKT根据振型相交知 、 均为对角阵，所以上式已成为一个非耦联的方程组。MK* 2 TMYMYKYF* 2 TTTTMYMYKYF 广义质量广义刚度可上式（7-114）写成式中 、 、 代表已知的时间函数，它们通过 变换同波浪力 相关联。1F2F3F*FT*F1111 112222223333 33222FYYYMFYYYMFYYYM利用三角函数，可把它们写成)sin(1011tFF)sin(2022tFF)sin(3033tFFY的分量，可表示为)sin()si

33、n()sin( 33033 22022 11011tYYtYYtYY(7-117) 式中， 、 、 及 、 、 由下式给出 1 2 301Y02Y03Y2 2nntg3 , 2 , 1n(7-118) 22200)2 ()(/nnnnMFY3 , 2 , 1n(7-119) 为何有该相位差为何有该相位差有了 ， ， 的解，由变换便可决定位移响应 1Y2Y3Y3302220211022)()()(YUYUYUX3303220311033)()()(YUYUYUX3304220411044)()()(YUYUYUX2X3X4XYX阵型叠加法示例：设图7-20所示的海上平台有三个可动水平位移，波频w

34、=0.785rad/s，质量矩阵、刚度矩阵及波浪向量已知，计算结构在波浪力作用下，三个可动水平层的位移。质量矩阵、刚度矩阵及波浪向量如下*443.8600 10073.100087.72MkgmNK/6 .878 .1162 .298 .1162921462 .29146146105NwtwtF) 5 . 1sin(7 .26) 0 . 1sin(9 . 80104*该结构的自振特性已确定，即 =2.27， =14.8， =66.2， =1.51rad/s， =3.85rad/s， =8.14rad/s振型矩阵为123123111293. 3819. 072. 053. 3832. 1559.

35、 0回忆频率和阵回忆频率和阵型矩阵的求法型矩阵的求法下面决定质量矩阵 及向量 的元素 ；由矩阵乘法算得：MF* TMMFFTkgM411022.139kgM42106 .283 kgM43109 .1426 NtNttF)41. 1sin(1048.3210)5 . 1sin(7 .26) 1sin(4 . 6 441NtNttF)47. 1sin(1056.2010)5 . 1sin(7 .26) 1sin(3 . 7442NtNttF)14. 0sin(1006.1410)5 . 1sin(7 .26) 1sin(32.29443)sin()sin()sin( 33033 22022 11

36、011tYYtYYtYY(7-117) 2 2wwtgnn3 , 2 , 1n22200)2 ()(/nnnnMFY)48. 1sin(141. 01tY)14. 0sin(105 . 143tY)46. 1sin(0051. 02tY 最后，可按式 计算结构各层的水平位移 、 、 ，由于Y3的值甚微，故第三振型的贡献可以忽略不计，只考虑前两阶振型的影响，于是得：2X3X4X)45. 1sin(069. 083. 1559. 0212tYYX)47. 1sin(097. 0819. 0720. 0213tYYX)49. 1sin(146. 0214tYYXYX111293. 3819. 072. 053. 3832. 1559. 01.1.运动方程运动方程线性问题：线性问题： （1 1） ( )( )( )( )IDsf tftf tP t ,CK为常数矩阵为常数矩阵sf( )x tDf( )x t/sfxktg/Dfxctg非线性问题：非线性问题： ,CK为时变矩阵为时变矩阵sf( )x tDf( )