空间解析几何例题

1、第4章 向量代数与空间解析几何习题 解答习题4.1、计算题与证明题c 0.计算 a b b c c a.1 已知 | a | 1, |b| 4, |c| 5,并且 a b解：因为 | a | 1,|b| 4,|c| 5,并且 a b c 0所以a与b同向，且a b与c反向因此a b0, b c0, ca 0所以a bbcc a02.已知| a b|3|ab| 4,求|a| |b|解:| a b | abcos3(1)|ab| :3 lbsin4(2)(1)22 2得ab225所以ab 53设力F 2i 3j 5k作用在点A(3,6,1),求力F对点B(,1,7, 2)的力矩的大小.解：因为A

2、3,6,1,B1,7,所以AB2,1力矩MAB2i3k2i3j 5k14i16j所以，力矩的大小为4k.1421624 .已知向量x与a(,1,5, 2)共线,且满足a x3,求向量x的坐标.解：设x的坐标为x, y, z，又a1,5, 2(1)则 a x x 5y 2z 3又x与a共线，则x a 0 即2y 5z i z 2x j5x y k 0所以 2y 5z2 z 2x 2 5x y 20即 29x2 5y226z220 yz 4xz 10xy 0cos0 1x aJx222 r,2_2y z 1522又x与a共线，x与a夹角为0或3：x2 y2 z230整理得2223x y z10(3

3、)1 1 1联立1、2、3解出向量x的坐标为丄丄丄102 5习题三.5图5用向量方法证明，若一个四边形的对角线互相平 分，则该四边形为平行四边形.证明：如图所示，因为平行四边形ABCD的对角线 互相平分，则有BM ND,CN MA由矢量合成的三角形法则有 BA BM MACD CM MD MA BM BM MA所以BA CD即BA平行且等于CD四边形ABCD是平行四边形6已知点A(3,8,7), B( 1,2, 3)求线段AB的中垂面的方程.解：因为 A 38,7 , B( 1,2, 3)AB中垂面上的点到 A、B的距离相等，设动点坐标为 M x, y,z，则由|MA MB得化简得2x 3y

4、5z 270这就是线段 AB的中垂面的方程。b的坐标分别为7 .向量a , b , c具有相同的模，且两两所成的角相等，若a ,(1,1,0)和(0,1,1),求向量c的坐标.解：a b c r且它们两两所成的角相等，设为则有 a b 10 1 10 11则cosa ba| b设向量c的坐标为x, y,z则 a c 1 x 1 y 0 zx y a b cosy z b c cos(1)(2)所以 x1 2 3 y2 z22r 一 1212022(3)xx1联立(1 )、(2)、求出 y0或yz1z34312,3), D( 2,0, 3),AD5, 6, 4(1) AB,AC,AD是以它们为邻

5、边的平行六面体的体积1100V3823 10000 120121765641188VT-V-176663(2)由立体几何中知道，四面体(3)因为BC2,2,2,BD4,4,4ijkBCBD22216i16j0k44416 . 2，这是平行四边形BCED的面积所以BC BD16 2ABCD (三棱锥A BCD )的体积AA因此 S BCD S BCED16.28 22 2设点A到平面BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥A BCD的体积1VT S BCD H3所以H3VtS BCD3詈1111.28 - 2、2 2习题4.2、计算题与证明题3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程.1 求经过点 A

6、(3,2,1)和 B( 1,2,解：与xoy平面垂直的平面平行于 y轴，方程为(1)Ax Cz D 0把点A 3,2,1和点B1,2,3代入上式得(2)3AC D 0A3C D 0(3)由(2), (3)得AD _D,C22代入(1 )得DxDz D022消去D得所求的平面方程为x y2 .求到两平面:3x y 2z 60和匸丐11距离相等的点的轨迹方程.解；设动点为 M x,y,z，由点到平面的距离公式得3z y 2z 6| 5x1 2 222y 10z 105 22210 2所以3x y 2z 65x 2y 10z 10129120,且在三个坐标轴上的截距之比为3.已知原点到平面的距离为方

7、程.解：设截距的比例系数为 k，则该平面的截距式方程为z 5k2:6:5,求 的x y2k 6k化成一般式为15x 5y 6z 30k 0又因点0 0,0,0到平面的距离为120,则有求出k30k|2155262120所以,所求平面方程为15x 5y 6z120. 2864 .若点A(2,0, 1)在平面上的投影为B(2,5,1),求平面的方程.解：依题意，设平面的法矢为n 4, 5,2代入平面的点法式方程为4 x 25 y 52 z 10整理得所求平面方程为 4x 5y 2z 3505.已知两平面 :mx 7 y 6z 24 0与平面 :2x 3my 11z 19 0相互垂直，求m的值.解：

8、两平面的法矢分别为 n1m, 1, 6 , n22, 3m,11，由丄n?，得2m 21m 660求出m66196已知四点 A(0,0,0), B(,2, 5,3), C(0,1, 2) , D(2,0,7),求三棱锥 D ABC 中 ABC9070 828由立体几何可知，三棱锥VDABCABC的体积为1 1-V - 286 6143设D到平面ABC的咼为则有VD ABCS ABC所以3VdS ABCABC又AB2,5,3 , AC0,1,AB AC7i4j2k所以,ABC因此,1 -AB2143AC221 6928.6928 69697 .已知点A在z轴上且到平面:4x2y 7z 140的距

9、离为7,求点A的坐标.解：A在z轴上，故设A的坐标为0,0,2，由点到平面的距离公式，得面上的高.解：已知四点 A 0,0,0 , B 2, 5,3 ,C 0,1, 2 , D 2,0,7，则DA2,0, 7 , DB 0, 5, 4,DC 2,1, 9由DA , DB , DC为邻边构成的平行六面体的体积为V DA,DB,DC907z 14一 77270 0所以 7z 14, 69则 z 2.69那么A点的坐标为 A 0,0,2698.已知点.A在z轴上且到点B(0, 2,1)与到平面:6x 2y 3z 9的距离相等，求点A的坐标。解：A在z轴上，故设 A的坐标为0,0, z，由两点的距离公

10、式和点到平面的距离公式得 02|3z 9.622 2 32化简得 40z274z 2290因为 74 24 40 229311640方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。习题4.3计算题与证明题1 求经过点P(1, 2,0)且与直线丄三都平行的平面的方1 0程.解：两已知直线的方向矢分别为v11,1,0 ,V21,1,0，平面与直线平行，则平面的法矢aA, B, C与直线垂直(1)由a丄v1，有A B由a丄V2，有A B联立(1) , (2)求得0,B0,只有C0又因为平面经过点 P1,2,0，代入平面一般方程得所以D 0故所求平面方程Cz 0,即z 0，也就是xoy平面。X 1 y 3

11、 z2 .求通过点P(1, 0,-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交的直421线的方程.解：设所求直线的方向矢为 v m, n, p , 直线与平面3x 2z 10平行，则v丄n，有(1)3m n 2 p 0x3 求通过点A(0,0,0)与直线 2解：设通过点x 14y1y50zz 2314的平面的方程.1A(0,0,0)的平面方程为A(x0)B(y 0) C(z 0)421则有m41 1n23 0 0p120所以7m8n120(2)由(1),(2)得mnp即4np122331503181212778直线与直线口-相交，即共面取 m 4, n50, p31，得求作的直线方程为

12、又直线x 3y 4 z 4在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢 n垂直21 1所以2A B C 0(2)即Ax By Cz 0(1)直线上的点3, 4,4也在该平面上，则3A 4B 4C 0(3)由(1), (2), (3)得知，将A, B,C作为未知数，有非零解的充要条件为x y z2 1103 44即8x 5y 11z0 ,这就是求作的平面方程。X 2 y z 14求点P(1, 1,0)到直线的距离.1 1 0解：点A 2,0, 1在直线上，直线的方向矢 v 1, 1,0AP 1, 1,1 ,则AP与v的夹角为cosAP vAp |v12 12 .12所以 90°因此点P 1,

13、1,0到直线的距离为d AP J 1 21 212<33xy2z6 05.取何值时直线与z轴相交？x4yz15 0解:直线3xy2z60与z轴相交，则有交点坐标为0,0, z ,x4yz1502z60由直线方程得，求得导5z 1506 平面x y z 1 0上的直线I通过直线l1 : X 2Z 0 与此平面的交点且与 y z 10直，求I的方程.解：依题意，l与h的交点在平面上，设通过交点的平面方程为x y z 1 y z 1x 2z 0(1)已知直线l1 x 2z 0的一组方向数为y z 10所以1由直线与平面垂直得 2丁1223所以得1 22413 212111将代入（1 ）得xyz

14、0333333化简得2x y z10xy z 10故所求直线方程为J2xy z 107 .求过点（3,25）且与两平面x 4z 3和3x yz 1平行直线方程.则直线的方向矢垂直于这两平面法矢vn1n24i13j k将已知点代入直线的标准方程得y138 . 一平面经过直线（即直线在平面上）y2-,且垂直于平面14x y z 150，求该平面的方程.解：设求作的平面为Ax By Cz D 0(1)与平面的法矢n-在该平面上，则有点4代B, C垂直2B D5,2,0在平面上，且直线的方向矢v 3,1,4所以 5A3A B 4C 0y z 110垂直，则它们的法矢垂直所以ABC0A总D39联立,（3

15、） ,（4）得BZd34CZd34又平面与已知平面x解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行, 所确定的平面，即直线的方向矢为代入(1)式消去D并化简得求作的平面方程为5x 2y 2z 390习题4.4计算题与证明题1 .一动点P到定点A(解：设动点P的坐标为P x, y, z，依题意，得4,0,0)的距离是它到B(2,0,0)的距离的两倍，求该动点的轨迹方程.2 .已知椭圆抛物面的顶点在原点,2 px代入已知点6,，,2,1?3，12a19a2 34_b2112p2pb2联立求出b6a2536a2代入(1)式得2y2a2z6a210x36a2化简得求作的椭圆抛面方程为3 .求顶点为0(0

16、,0,0)，轴与平面18y22z25xx+y+z=0垂直,且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程.解：设轨迹上任一点的坐标为 P x, y, z，依题意，该圆锥面的轴线与平面 x y z 0垂3,2,1在锥面上过这两点的线的方向矢为l2 x, y,z，则有 li与vx 1 y 1 1 12 2 2 .2 .2y z 11123 1 2 111乙厂2厂12一1厂直，则轴线的方向矢为v 1,又点0 0,0,0与点li 3,2,1 ,点0(0,0,0)与点P x, y, z的方向矢为的夹角和|2与v的夹角相等，即化简得所求的圆锥面方程为2 211x11y11z214xy 14yz4.已知平面过z轴，且

17、与球面6x8y10z 410相交得到一个半径为2的圆,求该平面的方程.解：过z轴的平面为AxBy 0(1)球面方程化为 x 3 2表示球心坐标为 0 3,4,5到截面圆的圆心的距离为d 32225,如题三.4图所示由点到平面的距离公式为3A 4BA2 B2化简得4A224 BA 11 B20习题三.4图解关于A 迹24扩 4 4 11B21求出 A1 B, A，221分别代入式得 Bx2消去B得所求平面方程为11b211By 0, Bx By 02x 2y 或 x y11x 15.求以Z轴为母线，直线为中心轴的圆柱面的方程.y i解:如习题三.5 所示，圆柱面在xoy平面上投影的圆心坐标为习题

18、三-5图1,1 ,半径为.2 ,所以求作的圆柱面方程为x 1 1时,(1)式变为笃a y 1 22求以z轴为母线,经过点A(,4,2,2)以及B(6, 3,7)的圆柱面的方程解:设以z轴为母线的柱面方程为x a 2b2a2(1)因为点A(,4,2,2),B(6, 3,7)在柱面上,则有R2R2R225 ,b 8代入(1)式得所求的柱面方程为联立(2),(3),(4)求出a225647 .根据k的不同取值，说明(9k)解:方程 9 k x24 k y225822564x2(41 k z2k)y2(1k)z21表示的各是什么图形.(1)9时,(1)式不成立，不表示任何图形；k 9时,(1)式变为2

19、 x 2 a2 y b22 z 2 c1,表示双叶双曲线；k 4时,(1)式变为2x2a2y1,表示单叶双曲线；1,表示椭球面;1时,(1)式变为2x2a2 y b21,表示母线平行于 z轴的椭圆柱面；4时,(1)式变为2x2a1,表示双曲柱面；9时,(1)式变为22yz.22bc1,不表示任何图形；8.已知椭球面2 yY1经过椭圆x22y160.1.1 与点 A(1,2,J23),试确定 X,Y,Z的值.解:因为椭球面x22yyz21经过椭圆x29122y22所以x 9, y16x2z22y1601 与点 A(1,2,. 23)，则有z旦 1(2) z代入得z 36x 9即y 16z 36复

20、习题四、计算与证明题1 .已知 |a| 2, |b | 7,|c| 5,并且 a b c 0.计算 a b be c a .解：|a| 2, |b| 7, |c| 5,且a b c 0则a与c同向，a、c均与b反向.所以 a b b c c a 02 7cos180°7 5cos18005 2cos0014 35 10392 设力Fi 3j 2k作用在原点点，求力F对点B( 2,0,1)的力矩的大小.解:原点坐标 O 0,0,0，则 OQ2,2,1 2i 2j kxFi 3j 2k , F对B的力矩为i j kM OB F 201 3i 5j 6k132力矩的大小为 M .3 25

21、26 2,703已知点A(0,1,4), B( 2,3,0)求线段AB的中垂面的方程.解：已知点A(0,1,4) , B( 2,3,0)，设AB的中垂面上任一点的坐标为M x, y, z ,由两点间的距离公式得y 12z 4 2y 1化简得x y 2z 104.已知平面与三个坐标轴的交点分别为代B,C且0 ABC的体积为80,又 在三个坐标轴上的截距之比为4: 5: 3,求的方程.解：设 在三个坐标轴上的截距之比为 a : b : c 4 :5 :3 k,则平面与三个坐标轴的交点为A 4k,0,0 ,B 0,5k,0 ,C0,0,3kV0 ABCO,OBOC4k 5k 3k 80所以,k3 8

22、,k因此,a 4k8,b5k10,c3k平面的方程为y8 105.已知两平面2x my110与平面:mxz 1相互垂直，求m的值.解：平面2xmy z11n12, m,平面 :mxn2m, 1, 1与 垂直，则n1丄n2，所以n1 n2 0即 2m m 101所以m 3x 2y z 10 i丄、6. 取何值时直线与x轴相交？x 2y 3z 1 0x2yz1 0 、解：直线与x轴相交,x2y3z1 0x 10x 10(1)+( 2)得1x0 ,而原点O 0,0,0则交点坐标为 x,0,0，代入直线方程为(1)(2)不在直线上，故x 0,所以10,1x 0 x 8 y z 107设圆柱面过直线l1： y0-2-以及z轴，求的方