概率论复习题及答案解析

1、u 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念u 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征u 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布u 第三章第三章 随机向量及其分布随机向量及其分布u 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理概率论的基本概念概率论的基本概念第一章第一章 n 随机事件随机事件n 随机事件的概率随机事件的概率n 概率的公理化定义及其性质概率的公理化定义及其性质n 条件概率和乘法公式条件概率和乘法公式n 全概率公式与全概率公式与BayesBayes公式公式n 试验的独立性与独立试验概型试验的独立性与独立试验概型u确定性现象确定性现象n 在标准

2、大气压下，水加热到在标准大气压下，水加热到100100必然沸腾必然沸腾n 垂直上抛一重物，该重物会垂直下落垂直上抛一重物，该重物会垂直下落 u随机现象随机现象n抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上 两种不同的结果两种不同的结果1.1 样本空样本空间间概率论就是研究概率论就是研究随机随机现象的统计规律性的数学学科现象的统计规律性的数学学科一、一、 随机现象随机现象二、随机试验二、随机试验u 试验在相同的条件下可重复进行；试验在相同的条件下可重复进行；u 每次试验的结果可能不止一个，但在试验之前每次试验的结果可能不止一个，但在试验之前 可以确定试

3、验的可以确定试验的所有所有可能结果；可能结果；u 每次试验前不能确定这次试验会出现哪一个结果每次试验前不能确定这次试验会出现哪一个结果. . 上抛一枚硬币上抛一枚硬币在一条生产线上，检测产品的等级情况在一条生产线上，检测产品的等级情况 向一目标射击向一目标射击实例 试验所有可能结果构成的集合称为试验的试验所有可能结果构成的集合称为试验的样本空间样本空间， 记作记作 . .三三 、样本空间、样本空间n样本点样本点n 样本空间样本空间 试验中每一个可能出现的试验结果称为这个试验试验中每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个的一个 样本点样本点 . .12,n 试验样本空间中的每一个元素称为一个试

4、验样本空间中的每一个元素称为一个样本点样本点，记作记作 . . E3：观察一个新灯泡的寿命观察一个新灯泡的寿命. .E2：掷两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况掷两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况. .E1：掷一颗均匀的色子，观察色子出现的点数掷一颗均匀的色子，观察色子出现的点数. .=正正，正反，反正，反反正正，正反，反正，反反=1，2，3，4，5，6 写出下列试验的样本空间写出下列试验的样本空间例例1:0tt 例例2掷两颗均匀的色子，观察色子出现的点数掷两颗均匀的色子，观察色子出现的点数.例例3从从1、2、3、4、5中任取两个数中任取两个数.(1) 一次取两个数，不计次序一次取两个数，不

5、计次序.(2) 每次取一个，取后不放回，连取两次每次取一个，取后不放回，连取两次.(3) 每次取一个，取后放回，连取两次每次取一个，取后放回，连取两次.例例4将将n张电影票平均分发给张电影票平均分发给n个人个人.例例5一尺长木棒任意折成三段一尺长木棒任意折成三段.样本点：样本点：n张戏票的一个排列张戏票的一个排列.样本空间：样本空间：n张戏票的所以排列张戏票的所以排列.样本点个数：样本点个数：!n( ,) : 01, 01,1x yxyxy 设最左侧一段长度为设最左侧一段长度为 ，中间一段长度为，中间一段长度为 ，则，则yx 样本空间样本空间 中，具有某种性质的样本点构成的中，具有某种性质的样

6、本点构成的集合叫做集合叫做随机事件随机事件，简称，简称事件事件 随机事件是样本空间的子集合，常用大写英文字随机事件是样本空间的子集合，常用大写英文字母母A, B, C等表示等表示例如： 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上正面向上”是是一一 个随机事件，可用个随机事件，可用A正面向上正面向上表示表示 掷骰子，掷骰子，“出现偶数点出现偶数点”是一个随机事件，试验是一个随机事件，试验结果为结果为2 2，4 4或或6 6点，都导致点，都导致“出现偶数点出现偶数点”发生。发生。 四四 、随机事件、随机事件 在试验中，在试验中，事件事件是由若干个基本事件组成的是由若干个基本

7、事件组成的A 1. 1. 事件是样事件是样本空间本空间的子集的子集, ,即即 例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现出现1 1点点”、“出现出现2 2点点”、.、“出现出现6 6 点点”为为 该试验的基本事件该试验的基本事件 2.2.事件事件A A发生：属于事件发生：属于事件A A的样本点出现的样本点出现. . 基本事件：基本事件：由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集. 注：注：3. 3. 每次试验只出现一个样本点，但可能有许多事每次试验只出现一个样本点，但可能有许多事件发生件发生. .4. 4. 特例特例必然事件必然事件n 必然事件

8、必然事件包含所有样本点，它在每次试验中必然发生包含所有样本点，它在每次试验中必然发生. .“抛一颗骰子抛一颗骰子, ,出现的点数不超过出现的点数不超过6”6”为必然事件为必然事件. .记作记作 例：例：5. 5. 特例特例不可能事件不可能事件n 不可能事件不可能事件 记作记作空集空集不包含任何样本点，它在每次试验中都不包含任何样本点，它在每次试验中都不可能发生不可能发生. . 例：例：“抛一颗骰子抛一颗骰子, ,出现的点数大于出现的点数大于6”6”为不可能事件为不可能事件. . 试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况. .例例1=HHH

9、,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTA=“正面出现两次正面出现两次” =HHT,HTH,THHB=“反面出现三次反面出现三次” =TTTC=“正反次数相等正反次数相等”= D=“正反次数不等正反次数不等” =试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数. .A=“点数之和等于点数之和等于3 3”=（1 1，2 2），（），（2 2，1 1） B=“B=“点数之和大于点数之和大于11 11” =(6=(6，6)6)C=“C=“点数之和不小于点数之和不小于2 2”D=“D=“点数之和大于点数之和大于1212” = = =例例2例例3一尺长木棒任意折成三段

10、，事件一尺长木棒任意折成三段，事件A表示表示“三段三段能构成三角形能构成三角形”.( ,) : ( ,),1, 1,1.x yx yxyxyAxxyy yxyx 111( ,) : 0, 0,1.222x yxyxy五五 、事件的关系与运算、事件的关系与运算 给定一个随机试验，设给定一个随机试验，设为其样本空间，事件为其样本空间，事件，A Ak k ( k =1 , 2 , 3 , . ) ( k =1 , 2 , 3 , . ) 都是都是的子集的子集事件事件事件之间的关系与事件的运算事件之间的关系与事件的运算集合集合集合之间的关系与集合的运算集合之间的关系与集合的运算u 事件事件发生必然导致

11、事件发生必然导致事件发生发生 1.子事件子事件 (事件的包含事件的包含)ABBABAu 事件事件的样本点都是事件的样本点都是事件的样本点的样本点例如例如: :抛掷两颗骰子，观察出现的点数抛掷两颗骰子，观察出现的点数A=A=出现出现1 1点点 B=B=出现奇数点出现奇数点 事件事件A A是事件是事件B B的的子事件子事件 记作记作AB注：注：相等事件相等事件BAAB且A=BBA事件事件A A与事件与事件B B含有相同的样本点含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点出现偶数点” 与事件与事件“出现出现2 2，4 4或或6 6点点”是相等事件

12、。是相等事件。u 事件事件A A与事件与事件B B至少有一个发生至少有一个发生ABAB2. 并事件并事件121nniiAAAA=121niiAAAA=u 由事件由事件A A与事件与事件B B所有样本点组成所有样本点组成u 多个事件的并多个事件的并并事件并事件ABAB发生发生3. 交事件交事件(积事件积事件)BAn1iin21AAAA1iin21AAAAu 多个事件的积多个事件的积u 由事件由事件和事件和事件的公共样本点组成的公共样本点组成 交事件交事件ABAB发生发生u 事件事件A A和事件和事件B B同时发生同时发生4. 互斥事件互斥事件 (互不相容事件互不相容事件)ABu 事件事件A A与

13、事件与事件B B不能同时发生不能同时发生u 事件事件A A与事件与事件B B没有公共的样本点没有公共的样本点事件事件A A与事件与事件B B互斥互斥 AB= A ;AA( ).AA ;AA AA5. 对立事件对立事件u 事件事件A A不发生不发生u 是由所有不属于是由所有不属于A的样本点组成的样本点组成u 性质性质cA记作记作 6. 差事件差事件ABu 由属于事件由属于事件A A但不属于事件但不属于事件B B的样本点组成的样本点组成,ABA B差事件差事件A-BA-B发生发生性质性质 ABAABu 事件事件A A发生且事件发生且事件B B不发生不发生7. 完备事件组完备事件组121,nA AA

14、（ ）互不相容122nAAA （ ）12,nA AA完备事件组完备事件组: : 1A2A3A4A概率论概率论 集合论集合论样本空间样本空间( (必然事件必然事件) ) 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB并事件并事件 ABB 并集并集ABB交事件交事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 对立事件对立事件 补集补集 AA事件之间的运算律事件之间的运算律u 交换律交换律 ABBAABBAu 结合律结合律 ()()A BC AB Cu 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 摩根律摩根律 BAA

15、BBABA某射手向目标射击三次，用某射手向目标射击三次，用 表示第表示第 次击中目标次击中目标iAi试用试用 及其运算符表示下列事件及其运算符表示下列事件：1,2,3,i iA(1)(1)三次都击中目标三次都击中目标： 123A A A(2)(2)至少有一次击中目标：至少有一次击中目标： 123AAA(3)(3)恰好有两次击中目标：恰好有两次击中目标： 123123123A A AA A AA A A (4) (4)最多击中一次：最多击中一次： 121323A AA AA A (5) (5)至少有一次没有击中目标至少有一次没有击中目标： 123123AAAA A A (6) (6)三次都没有击中目标三次都没有击中目标： 123123A A AAAA例例1A,B,CA,B,C为同一样本空间的随机事件，为同一样本空间的随机事件，试用试用A A，B B，C C的运算表示下列事件的运算表示下列事件1)1) A A，B B，C C 不都发生不都发生2)2) A A与与B B发生，发生，C C不发生不发生3)3) A A，B B，C C 至少有一个发生至少有一个发生4)4)A A，B B，C C