湖南省师大附中2019届高三上学期第六次月考数学理

1、2.设I、m、n表示不同的直线，：、：、 若m/1，且m_:，则I_:-； 若m/l，且m/，则丨/：； 若I,m,n, 若m,I,n,其中正确命题的个数是A.1B.2A.1【解析】由题设，当OA丄OB时,当OB丄AB时,5.在极坐标系中，条件是OBAB=0二A.k=1【解析】圆C的直角坐标方程是B.k=1C.k=±1D.k=0222xykxy-k=0，直线i的直角坐标方程是k2.若圆C关于直线I对称，则圆心C(,)在直线y=x上，所以22又k4+4k+1>0,所以k=1，故选A.y=x.k22k=±1.6.如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点,

2、其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率是/<湖南师大附中2019届高三第六次月考试卷数学(理科)本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.项是符合题目要求的1已知集合A=1,2,a1,B=0,3,a2+1，若A|B=2，则实数a的值为(C)A.土1B.1C.1D.0【解析】因为AB=2，贝Ua2+1=2,即卩a=±1.但当a=1时，A=1,2,0,此时ARB=0,2,不合题意，舍去，所以a=1，故选C.表示不同的平面，给出下列4个命题：则lmn；且n/1，贝Um/l.(B)C.3D.4【解析】易知命题正确；在命题的条件下，直线I可

3、能在平面:内，故命题为假；在命题的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题中，由n知，n二圧且n二，由n二：；及n/=m，得n/m,同理n/|，故m/|，命题正确，故选B.3.若关于x的方程|ax-1|=2a(a0,a=1)有两个不等实根，则a的取值范围是(D)1A.(0,1)U(1,B.(0,1)C.(1,：)D.(0,)2【解析】据题意，函数y=|ax-1|(a.0,a=1)的图象与直线y=2a有两个不同的交点.由图知,0<2a<1,所以a(0,1)，故选D.4.在平面直角坐标系中,i,j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，O为坐标原点，设向量OA=2i+j,OB

4、=3i+kj，若A,O,B三点不共线，且AOB有一个内角为直角，则实数k的所有可能取值的个数是(B)_C.JD.4OB=(3,k)，则AB=(1,k匕k-6;当OA丄AB时，OAAB=0=k-1；2k-k*3=0(无解).所以k的所有可能取值有2个，故选B.22兀圆C：:kcos；亠in门-k=0关于直线I:(R)对称的充要4A.,3C.【解析】连结椭圆定义，得7设等差数列A2019【解析】设等差数列B.31D.3-1AE，贝UAE丄DE.设AD=2c,贝UDE=c,AE=.3c._c2-2a=AE+ED=.3c+c,所以e3_1,故选D.a腑+1an的前n项和为Sn，已知d=2010,鱼92

5、009C.2010n（n1）B.2008S20072007D.=2，则S2010二（C）,即一=ain2010口d.2所以S2009S20072009一2007又ai-2010，则a*的公差为d,则Sn=na1d220091,、20071,、.亠&.=（a1小）一（印d）=d，由已知d=2.222010讥二_20102010-12=-1，所以5。=2010,201022故选C.8.定义maxta,b1二a（a_b）b（a：b）,已知实数x,y满足|x|w2,|y|w2,设z=maxMx-y,3x-y;则z的取值范围是A.7,10B.6,10【解析】由题设,z=max!4x作可行域，由图

6、知，在点（2,1）处取最小值目标函数z=3x-y点（2,取最小值-7.所以z的取值范围是7,目标函数C.6,814xy（yx）2y,3x_审二13xy（yx）I2z=4xy在点（2,2）处取最大值7.2）处取最大值8，在点（2,1）处（A）D.7,810，故选A.10,i'I,-27r:沁一J72；Lr.%-*v：/2|且|x|<2,|y|w2.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9.设复数（1ai）（2-i），若复数z在复平面上对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是（斗2）.2丄2-a01【解析】因为（1ai）（2i）=2a（2a1）

7、i，由已知a：2.2+1=0210.不等式|2x-1-Iog3（x-1）|：|2x-1|log3（x-1）|的解集是（2，十）.x：2%-1>02x-1<0【解析】原不等式等价于（2x-1）log3（x-1）0，即或（无解）,|Jog3（x1）>0|Jog3（x1）c0由2x0，解得x>2.Iog3（x-1）011. 如图，在ABC中，AB=3,BC=5，/ABC=120°将厶ABC绕直线形成的旋转体的表面积是30、3二.【解析】在ABC中，由余弦定理，得AC=7.过点C作CO丄AB，垂足为O,贝yOC=BCsin60°=冬32由图知，所形成的旋转体

8、的表面积S为圆锥AO和圆锥BO的表面积之和.所以S=nXOCX(BC+AC)=30.3二.C12. 已知点C在圆O的直径BE的延长线上，CA与圆O相切于点A，/ACB的平分线分别交AB,AE于点D,F,则/ADF=45o.【解析】因为AC为圆O的切线，则/B=ZEAC.又CD平分/ACB，则/ACD=ZBCD.所以/B+ZBCD=ZEAC+ZACD.因为BE是圆O的直径，则/BAE=90o,所以/B+ZBCD=ZEAC+ZACD=45o故/ADF=ZB+ZBCD=45qx轴的直线有三个交点，其横坐13已知函数y=4sin(2x)(0)的图象与一条平行于66标分别为x1,x2,x3(x1x2:x

9、3)，贝U为2冷-x3=1 7二.又0_Xt:x2：x3i2 12363【解析】取特殊直线y=2,令4sin(2x)=2，则Snf2x)-665：:.r-则x0,x2,x3-二，所以x2x2x3=i3314. 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有126条.【解析】要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左走或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有C9=126种走法，故从A地到B地的

10、最短路线共有126条.15. 在平面向量中有如下定理：设点O，P，Q，R为同一平面内的点，贝UP、Q、R三点共线的充uuuuuuuuu要条件是：存在实数t，使OP=(1-t)OQ+tOR.试利用该定理解答下列问题：【解析】因为点_B、M、三点共线，则存在实数t,使AM(1-t)ABtAF.1又AB=2AE，AFAC，则AM=2(1t)AE3如图，在厶ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设AM=xAEyAF，贝Hx+y=-tAC.3t343xy=-5因为点C、M、E三点共线，则2(1-1)-1，所以t=.故x=,y=3555三、解答题：本大题共6个小题

11、，共75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)设厶ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列，且sinAsinC=3.4（I）求角B的大小;（n）若x二0,二），求函数f（x）=sin（xB）sinx的值域.【解】(I)因为a、b、c成等比数列，则b2二ac.由正弦定理得sin2B二sinAsinC.(2分)（4分）高考资源网|又sinAsinC二3，所以sin2B二3.因为sinB>0,贝UsinB-22因为B（0,n），所以B=或33（5分）又b2=ac，贝Ub乞a或b,即b不是ABC的最大边，故（n）因为b=n3f（

12、x）=sinx（一+）sxnxn*33nB.3jiXY0S3（6分）cossixsin56（9分）=3sinx3cosx=,3sin（x）.226Ttx0,二），则-65：兀1，所以sin(x-一)一一，1.62（11分）J3-故函数f(x)的值域是_二、.32（12分）17.(本小题满分12分)湖南省有许多旅游景点，某同学利用寒暑假旅游了张家界、5个景点，并收藏有张家界纪念门票3张，南岳纪念门票各1张，现从中随机抽取5张.南岳、韶山、岳阳楼和桃花源等2张，韶山、岳阳楼、桃花源纪念门票(I)求抽取的5张门票中恰有3个或恰有4个景点的概率；(n)若抽取的5张门票中5个景点都有记10分，恰有4个景

13、点记8分，恰有3个景点记6分，依此类推.设表示所得的分数，求'的分布列和数学期望.【解】(I)记抽取的5张门票中“恰有3个景点”为事件A,“恰有4个景点”为事件B.若抽取的5张门票中恰有3个景点，则至少要抽取2张张家界门票，w“、C33(c2c3+c；)c；c39所以P(A)=3233)323Cs28.若抽取的5张门票中恰有4个景点，则至多只能抽取2张张家界门票,所以P(B)_C(c；cf+c；)+C3Cc；+c；C3331（2分）（5分）93149因为事件A,B互斥，所以P(A-B)二P(A)P(B)一二2856故抽取的5张门票中恰有3个或恰有4个景点的概率是-.8(n)因为5张门票

14、中至少含有2个景点，则的可能取值为10,113C3C2C3568,其中P（=10）二Cs,P（=8）=P（B）卫,28566,4.（6分）（7分）（10分）（11分）285628565618.(本小题满分12分)如图，PC丄平面ABC,PM/CB，/ACB=120°PM=AC=1,线PC所成的角为60°(I)求二面角MACB大小的正切值；(n)求三棱锥PMAC的体积.【解】方法一：(I)取BC的中点N,由已知，PM/CN，贝UMN/PC，所以过点N作NH丄AC，交AC的延长线于由三垂线定理知，AC丄MH.连结MN.MN丄平面ABC.H，连结MH,（12分）BC=2，异面直线

15、AM与直M（1分）BA所以/MHN为二面角MACB的平面角.连结AN，在ACN中，由余弦定理，得AN二、AC2CN2-2ACCNcos12(f3分）.3.由已知/AMN=60°在RtAANM中，MNfJ3在RtCHN中，NH=CNsin602MN1在RtMNH中，tanMHN=NHV322d3故二面角MACB的正切值是一匸3(n)因为四边形PCNM为正方形，MN丄平面ABC，则11Vpnac二Va_pcm二Vanc二VmjcnACCNsin120032方法二：(I)在平面ABC内，过点C作CB的垂线，按如图所示建立空间直角坐标系C-xyz.设点P(0,0,z0)(z00)，由已知可得

16、，点A(O,-1,。)，22BMN二仝12（6分）（7分）（8分）（12分）M(O,1,Zo)，则AM=(疔，詁总珂。,。,).因为直线AM与直线PC所成的角为60°贝U（1分）MCAAMCp=|AM|CP|cos60°，即Z）2=1,材.3,Z0.3解得Z0=1,从而CM=（0,1,1）,CA=（21-2,0）.（3分）设平面MAC的一个法向量为n二(x1,y1,z1)，贝ynCA=0曲。即02r%=0取=1，则n=（1r.3,3）.（5分）又m=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，设向量m与n的夹角为则o日=imi22yI3从而sin'=,tanvV73（7

17、分）显然，二面角MACB的平面角为锐角，故二面角2J3MACB的正切值是-3（8分）(H)因为a=(1,0,0)为平面PCM的一个法向量,CA=，冷,0)，则（10分）又PC=PM=，则Vpjmac=Va_pcm1PCPMhJ11丄空32212（12分）点A到平面PCM的距离h=CA?二|a|19. (本小题满分13分)某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险(简称“医保”)政策，制定了如下实施方案：2019年底通过农民个人投保和政府财政投入，共集资1000万元作为全县农村医保基金，从2019年起，每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的10%，并且每年底县财政再向医保基金注资m万元

18、(m为正常数).(I)以2019年为第一年，求第n年底该县农村医保基金有多少万元？(H)根据该县农村人口数量和财政状况，县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加，同时不超过1500万元，求每年新增医保基金m(单位：万元)应控制在什么范围内.【解】(I)设第n年底该县农村医保基金为an万元，则93=1000,an=(1-10%间4m(n_2)，即anan4m(n_2).(3分)109 91于是an-10m(an4-10m)(n一2).所以an-10m=(印-10m)()n,10 109n1即an=10m(100010m)().(6分)109故第n年底该县农村医保基金有10m(1000-10m)()

19、万元.(7分)10(n)若每年年底的医保基金逐年增加，则数列an单调递增.9n1因为y=()是减函数，则100010mv0时，即m>100.(10分)1092又an=伽WOOFER)汨500恒成立，则计4汨500.(12分)13分)即10mW1500，所以mW150.故每年新增医保基金m的控制范围是(100,150.20. (本小题满分13分)过圆C：(X-6)(y-4)=8上一点A(4，6)作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点(I)求点P的轨迹方程；(n)设点P关于点D(9,0)的对称点为E,O为坐标原点，将线段0P绕原点0依逆时针方向旋转90°后，所得线段为OF，求|EF

20、|的取值范围.(2分)AC【解】(I)连结PC,由垂径分弦定理知，PC丄AB,所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除去点A).因为点A(4,6),C(6,4)，则其中点坐标为(5,5)，又圆半径r=2故点P的轨迹方程是(x-5)2(y-5)2=2(x工4,y工6).(n)因为点P、E关于点D(9,0)对称，设点P(x,y)，则点E(18-x,-y).设点F(x1,y1)，因为线段OF由OP绕原点逆时针旋转90得到,y则OF丄OP,且|OF|=|OP|，即F上上一1，且x2y2xx1由-=-1，得-=-.令y二-tx1,x(t0),x则t2(xj%2)二皆因此点F的坐标为(-y,x).所以EF

21、=J(18-x+y)2+(-y-x)2设点M(9,-9)，则EF=.2|PM|.22因为点P为圆(x-5)(y-5)=2上的点，设圆心为N(5,5)，贝y2丄2=x1y1xx12Y1y(t0)，所以t=1.i2(x-9)2(y9)2(5分)(6分)N-DO(8分)M(10分)MN-2二、.、(9-5)2(-9-5)2-、,2>2,53-、2,MN|方=2.53x2.故|EF|的取值范围是2-.166-2,21062.PMminPMmax(12分)(13分)21.(本小题满分13分)给出定义在(0,)上的三个函数：已知g(x)在x=1处取极值.(I)确定函数h(x)的单调性；22+f(x)(n)求证：当1：x:e时，恒有x成立；2-f(x)(川)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象，试确定函数y=g(x)h1(x)的零点个数，并说明理由.f(x)=Inx,g(x)二x2-af(x),h(x)二x-a-x,【解】(I)由题设，g(x)=x2-alnx，则g(x