角平分线定理和中垂线定理

1、 角平分线定理和角平分线定理和 中垂线定理中垂线定理 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.角平分线的性质定理和逆定理角平分线的性质定理和逆定理 (1) (1)点在角平分线上点在角平分线上 点到这个角的两边的距点到这个角的两边的距离相等离相等. . (2) (2)用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理. .如如图图4-4-14-4-1所示所示. .性质定理：性质定理：P P在在AOBAOB的平分线上，的平分线上，PDOAPDOA，PEOBPEOBPD=PEPD=P

2、E逆定理：逆定理：PD=PE,PDOA,PEOBPD=PE,PDOA,PEOB点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .判定定理性质定理(3)(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集合合. .(4)(4)互逆命题与互逆定理互逆命题与互逆定理. .2.2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线的性质定理及逆定理(1)(1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等端点的距离相等. .(2)(2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这逆定理：和一条线段两个端点距

3、离相等的点，在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上. .(3)(3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定理理. .如图如图4-4-24-4-2所示所示. .性质定理：性质定理：PCPC是线段是线段ABAB的中垂线的中垂线PA=PBPA=PB逆定理：逆定理：PA=PBPA=PB点点P P在在ABAB的中垂线上的中垂线上. .【注意】【注意】 这里不可这里不可说说PCPC是是ABAB的中垂线的中垂线. . (4)(4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合点的集合. . 2.如图如图4-4-

4、3所示，直线所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有等，则可供选择的地址有( ) A1处处 B.2处处 C.3处处 D. 4处处 课前热身课前热身CD1.下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A.每个命题都有逆命题每个命题都有逆命题 B.直角都是邻补角直角都是邻补角 C.若若1/a=1/b则则a=b. D.真命题的逆命题是真命题真命题的逆命题是真命题.图图4-4-3D3.如图如图4-4-4所示，在所示，在ABC中，中，P为为BC上一点，上一点，P

5、RAB于于R，PSAC于于S，AQ=PQ，PR=PS，下面三下面三个结论：个结论：(1)AS=AR(2)QPAR(3)BRP CSP，正确正确的是的是( ) A.(1)和和(2) B.(2)和和(3) C.(1)和和(3) D.全对全对.C4.如图如图4-4-5所示，在所示，在ABC中，中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC于于D，交交AB于于E，DB=10cm，则则AC=( ) A.6 B.8 C.5 D.105.如图如图4-4-6所示，在所示，在RtABC中，中，C=90，AB的垂的垂直平分线交直平分线交BC于于D，CAD DAB=1 2，则则B= . 36 典型例题

6、解析典型例题解析AB+AD=BC 【例【例1】 如图如图4-4-7所示，在所示，在ABC中，中，A=90，AB=AC，BD是是ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证明证明你的猜想需用题中所有的条件你的猜想需用题中所有的条件)【例【例2】 已知：如图已知：如图4-4-8所示，在所示，在RtABC中，中，ACB=90，AC=BC，D为为BC中点，中点，CEAD，垂足垂足为为E.BFAC交交CE的延长线于的延长线于F.求证：求证：AB垂直平分垂直平分DF. C【例【例3】 如图如图

7、4-4-9所示是人字型屋架的设计图，由所示是人字型屋架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均均为焊接点，且为焊接点，且AB=AC、D为为BC的中点，现在焊接所需的的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出四根钢条已截好，且已标出BC的中点的中点D.如果焊接工身边如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是先应取的两根钢条及焊接的点是( ) A.AB和和BC，焊接点焊接点B B.AB和和AC，焊接点焊接点A C.AD和和BC，焊接点焊接点

8、D.AB和和AD，焊接点焊接点A【例【例4】 已知：如图已知：如图4-4-10(1)所示，所示，BD、CE分别是分别是ABC的外角平分线，过点的外角平分线，过点A作作AFBD，AGCE，垂垂足分别为足分别为F、G.连接连接FG，延长延长AF、AG、与直线与直线BC相交，相交，易证易证FG=1/2(AB+BC+BC).(1)若若BDCE分别是分别是ABC的内角平分线的内角平分线(如图如图4-4-10(2)所示所示).(2)BD为为ABC的内角平分线，的内角平分线，CE为为ABC的外角平的外角平分线分线(如图如图4-4-10(3)所示所示)，则在此，则在此两种情况下，线段两种情况下，线段FG与与A

9、BC三边又有怎样的数量关三边又有怎样的数量关系系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.图图4-4-10(1) 图图4-4-10(2)图图4-4-10(3) 方法小节方法小节1.1.全等运用的干扰全等运用的干扰角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍. .2.2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段的两个端点距离相等，就下结论的两个端点距离相等，就下结论

10、过这一点的直线是过这一点的直线是这条线段的中垂线，实际上由直线公理：这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一两点确定一条直线条直线”，还要再找出一个这样的点，还要再找出一个这样的点. . 课时训练课时训练C1.下列命题中，是真命题的是下列命题中，是真命题的是( )A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B.两条对角线相等的四边形是矩形两条对角线相等的四边形是矩形C.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等D.如果两个圆相交，那么这两个圆有三条公切线如果两个圆相交，那么这两个圆有三条公切线2.ABC中

11、，中，B=90，AB=7，BC=24，在在ABC内内 有一点有一点P到各边的距离相等，则这个距离是到各边的距离相等，则这个距离是( ) A.1 B3. C.6 D.无法求出无法求出BB3.若点若点P是是ABC内一点，且内一点，且PA=PB=PC，则点则点P是三是三角形角形( ) A.内心内心 B.外心外心 C.三条高的交点三条高的交点 D.三条中线的交点三条中线的交点4.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是那么这个三角形是( ) A.锐角三角形锐角三角形 B.钝角三角形钝角三角形 C.直角三角形直角三角形 D.不能确定不能确定C 5.在在AB