数字信号处理吴镇扬_CHP5有限冲激响数字滤波器设计

1、赵发勇 zfy_序言序言5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特性滤波器的特性5.2 窗口设计法（时间窗口法）窗口设计法（时间窗口法） 5.3 频率采样法频率采样法5.4 FIR数字滤波器的最优化设计数字滤波器的最优化设计5.5 IIR与与FIR数字滤器的比较数字滤器的比较IIRIIR数字滤波器数字滤波器和优缺点和优缺点优点优点 可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单器的设计有大量图表可查，方便简单。缺点缺点 相位的非线性相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校

2、正相位，则要采用全通网络进行相位校正, ,使滤波器设使滤波器设计变得复杂，成本也高。计变得复杂，成本也高。 11(1)0110( )NNiNiiH zaa zaza z输入输出的卷积关系为输入输出的卷积关系为FIRFIR数字数字滤波器滤波器的差分方程为的差分方程为10)()(Niiinxany对应的系统函数为对应的系统函数为10)()()(Niinxihny比较可得：比较可得：( )iah i系数系数ai即为系统的单位抽样响应，即为系统的单位抽样响应，无极点无极点(或极或极点在原点点在原点)优点优点 （1 1）很容易获得）很容易获得严格的线性相位严格的线性相位，避免被处理的信号产，避免被处理的

3、信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；据传输等系统中非常重要； （2 2 ）可得到多带幅频特性；）可得到多带幅频特性； （3 3 ）极点全部在原点（永远稳定），）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题无稳定性问题； （4 4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定定的延时，转变为因果序列，的延时，转变为因果序列， 所以所以因果性总是满足因果性总是满足； （5 5）无反馈运算，运算误差小。）无反馈运算，运算误差小。 稳定稳定性及可实现性及可实现和

4、和线性相位特性线性相位特性是是FIRFIR滤波器突出的优点。滤波器突出的优点。语音处理，图象处理以及数据传输语音处理，图象处理以及数据传输中具有重要的应用。中具有重要的应用。缺点缺点 （1 1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；较高的阶数为代价； （2 2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点 系统的频率响应包括系统的频率响应包括幅频特性幅频特性和和相频特

5、性相频特性。幅频幅频特性特性反映了信号通过系统后各频率成分衰减情况反映了信号通过系统后各频率成分衰减情况。相相频特性频特性反映了信号的各频率成分经过系统后在时间上反映了信号的各频率成分经过系统后在时间上发生的位移情况发生的位移情况。 很多场合下，一个理想的离散时间系统（滤波器）很多场合下，一个理想的离散时间系统（滤波器）除了具有希望的幅频特性外（如低通、高通、带通除了具有希望的幅频特性外（如低通、高通、带通等），最好具有等），最好具有线性相位线性相位,即即argH()jek 产生什么效果？若：若：( )k 其中其中k为常数为常数也称也称线性相位线性相位5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点

6、滤波器的特点()H()()()jjjjkjY eeX eeX e分析分析：现假设系统的幅频特性为：现假设系统的幅频特性为1，考虑，考虑信号经过信号经过线性相位系统后的输出线性相位系统后的输出。设系统的输入序列为设系统的输入序列为x(n)，则输出序列为则输出序列为y(n)的频率特性为的频率特性为由由DTFT的性质可知输出序列的性质可知输出序列此式说明，输出序列此式说明，输出序列y(n)为输入序列为为输入序列为x(n)在时在时间上位移。间上位移。结论结论当系统具有线性相位时，信号无当系统具有线性相位时，信号无失真（指无相位失真、有一定的失真（指无相位失真、有一定的延迟）。延迟）。( )()y nx

7、 nk5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点定义定义系统的群延迟系统的群延迟( )( )gd 由上面的分析可知，由上面的分析可知，线性相位的群延迟为一常数。线性相位的群延迟为一常数。可以将群延迟作为相频特性是否线性的度量，同时，可以将群延迟作为相频特性是否线性的度量，同时，它也表示了系统输出的延迟。它也表示了系统输出的延迟。5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点当当FIR系统系统h(n)满足满足该系统具有线性相位。该系统具有线性相位。其中其中+表示偶对称，表示偶对称，-表示奇表示奇对称对称(如图示如图示) 。同时由于。同时由于N可取奇或偶，共有四种可取奇或偶，共

8、有四种情况，情况，下面分析这四种情况下的线性相位特性和幅度特下面分析这四种情况下的线性相位特性和幅度特性。性。第一类FIR系统第二类FIR系统第三类FIR系统第四类FIR系统为偶数且为奇数且为偶数且为奇数且NnNhn、hNnNhn、hNnNhn、hNnNhn、h),1()(4),1()(3),1()(2),1()(1( )()h nh Nn 15.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点h(n)=h(N-1-n)为偶对称为偶对称h(n)= -h(N-n-1)为奇对称为奇对称N为偶为偶N为奇为奇N为偶为偶N为奇为奇5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点1、且、且N为奇数

9、为奇数()( )( )()( )( )()() ( )()()NnnNNNnnNnnNNNnnNnnNNnNnnH zh n zNh n zhzh n zNh n zh Nn zhzNh n zzhz 1011112210211112210211121201211212（( )()h nh Nn 15.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点)( )()NjwNjwjwnjw NnNH eh n eehe121121012（-n（)()( )()( )cos() ()NNNNNjjnjjjnNNjnNH eeh n eeheNNeh nnh 111111222220111220121

10、1222（-n+令令则系统的频率响应则系统的频率响应jwze5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点arg()jNH e 12系统的相频特性为系统的相频特性为系统的幅度函数系统的幅度函数由定义可知，此时的由定义可知，此时的FIR系统具有线性相位。系统具有线性相位。( )( )cos() ()NnNNHh nnh1201122221Nnm令令 ，则，则2/ ) 1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha 2/10cos)(NnnnaH令令则由于由于 偶对称，因此偶对称，因此 对这些频率对这些频率也呈偶对称。也呈偶对

11、称。2 , 0cos关于n H(1)/2111( )2 ()cos22NmNNHhhmm 2 05.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点、h(n)= h(N-1-n),且且N为偶数为偶数()( )( )( )( )()( )( )( )NNNnnnNnnnNNnnNnnNNnNnnnNnNnnHzh n zh n zh n zh n zh Nn zh n zh n zh nzz 111200211202112210012101（5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点)( )Njwjwnjw NnH eh n e

12、e1210（-n（)()( )NNNNjjnjjnH eeh n ee 111122220（-n+( )cos() NNjnNeh nn 11220122令令则系统的频率响应则系统的频率响应jwze5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点arg()jNH e 12系统的相频特性为系统的相频特性为系统的幅频特性为系统的幅频特性为由定义可知，此时的由定义可知，此时的FIR系统具有线性相位。系统具有线性相位。( )( )cos() NnNHh nn 120122令 ，则12Nnm 2/121cos122NmmmNhH 120121cos22NmNHhmm nNhnbnnbHNn122)

13、(21cos)(2/1或写为： 由于 奇对称，所以 对 也为奇对称，且由于 时， 处必有一零点，因此这种情况不能用于设计 时 的滤波器，如高通、带阻滤波器。对2/1cosn H1)(, 0)(zzHH在故 0H, 02/1cosn5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点同理可求出同理可求出N奇、偶时系统的相频特性分别为奇、偶时系统的相频特性分别为 通过以上分析可知，当通过以上分析可知，当FIR DF的抽样响应满足对称时，的抽样响应满足对称时，该滤波器具有线性相位该滤波器具有线性相位，其中，当，其中，当h(n)为奇对称时，为奇对

14、称时，通过滤波器的所有频率分量将产生通过滤波器的所有频率分量将产生90的相移。的相移。arg()jNH e 122下面讨论具有线性相位下面讨论具有线性相位FIR滤波器零点分布及幅频响应问题滤波器零点分布及幅频响应问题5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点一、零点分析一、零点分析利用利用h(n)的对称性可知的对称性可知其中其中+表示偶对称，表示偶对称，-表示奇对称。由上式容易可以看表示奇对称。由上式容易可以看出出H(Z-1)的零点也是的零点也是H(Z)的零点。的零点。)( )()( )( )()()NNnnnnNm NnNmmNNnnNH zh n zh Nn zzh m zzh

15、 n zzH z 110011101110111（5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点、情况一：情况一：分析：分析：在这种情况下在这种情况下H（Z-1）的零点也是）的零点也是H（Z）的零点的零点,即即Zk为零点为零点 ， Zk-1也是零点也是零点,(两者称为单两者称为单位圆镜像对称位圆镜像对称);同时同时,零点为复数，应当成对出零点为复数，应当成对出现，即此时有四个互为倒数的两组共轭现，即此时有四个互为倒数的两组共轭 对零点，对零点，如下图所示：如下图所示：。zr，kkk在单位圆内且和, 105.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点、情况二：情况二：分析：分析：

16、此时零点不在单位圆上，但在实轴上，此时零点不在单位圆上，但在实轴上，是实数是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点零点,如下图所示：如下图所示：。zr，kkk在实轴上且和, 105.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点、情况三：情况三：分析：分析：此时零点在单位圆上，但不在实轴上，因此时零点在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，如倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，如下图所示：下图所示：。zr，kkk在单位圆上且和, 105.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点、情况四：情况四：分析：分析：此

17、时零点既在单位圆上，又在实轴上，共此时零点既在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以轭和倒数都合为一点，所以以单以单出现，且只有两出现，且只有两种可能，种可能，zk=1或或zk=-1。如下图所示：。如下图所示：. 10kkr，且和5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点 通过以上分析可知，一个具有线性相位的通过以上分析可知，一个具有线性相位的FIR DF，其转移函数可表示为上述四情况的级联，即其转移函数可表示为上述四情况的级联，即上述子传输函数分别对应四种情况下的一阶、二上述子传输函数分别对应四种情况下的一阶、二阶和四阶子系统。由于其均具有对称的系数，它阶和四阶子系统。

18、由于其均具有对称的系数，它们均为们均为线性相位子系统线性相位子系统。为实现。为实现H（Z）提供了方）提供了方便，便，H（Z）各种情况下的零点位置示意图如下如）各种情况下的零点位置示意图如下如所示。所示。)kmlnkmlnH zHzHzHzHz（:4 order:4 order:2 order:2 order:2 order:2 order:1 order:1 order5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点二、线性相位二、线性相位FIR DF幅频响应特点幅频响应特点 在一个在一个FIR系统中，满足图系统中，满足图5.3.1所

19、示的对称性，所示的对称性，称此进的称此进的H（Z）为镜像对称多项式（）为镜像对称多项式（MIP），下），下面分析这引面分析这引MIP在在z=1或或z=-1处幅频响应的特点。处幅频响应的特点。)()NH zzH z 11（为偶数奇对称类型为奇数奇对称类型为偶数偶对称类型为奇数偶对称、类型N：、N：、N：、N：,44,33,22,115.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点第一类第一类FIR DF (偶对称偶对称,N为奇为奇)的特点：的特点： 恒相时延，相位曲线是过原点的直线。恒相时延，相位曲线是过原点的直线。 H(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即即Z=-1和和1(或零点或

20、零点和和点点)都能保证都能保证5.3.1式成立式成立, 点相当模拟频点相当模拟频率率 s2，或者说模拟频率的最高频，或者说模拟频率的最高频(高频端高频端),因因此此,此类此类FIR DF可灵活设置可灵活设置低通低通高通和带通滤高通和带通滤波器波器.)()NH zzH z 11（5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点第二类第二类FIR DF (偶对称偶对称,N为偶为偶)的特点的特点： 恒相时延，相位曲线是过原点的直线。恒相时延，相位曲线是过原点的直线。 H(1)=H(1), H(-1)=-H(-1),即即点一定是点一定是幅度函数的零点幅度函数的零点,以保证对称性成立。以保证对称性

21、成立。 点是零点是零点说明高端不通，所以这类点说明高端不通，所以这类FIR系统系统只能做低只能做低通和带通通和带通,不能设计高通和带阻滤波器不能设计高通和带阻滤波器.)()NH zzH z 11（5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点第三类第三类FIR DF (奇对称奇对称,N为奇为奇) 的特点的特点： 恒群时延，有恒群时延，有 /2 /2 附加相移，相位曲线附加相移，相位曲线是截距为是截距为/2 /2 、斜率为、斜率为 -(N-1)/2 的直线。的直线。 对零频和对零频和频均为频均为奇对称奇对称, 即即H(1)=-H(1)， H(-1)=-H(-1)，所以，所以零频和零频和频

22、频都必须都必须是是H()的零点，以保证对称性。所以这类的零点，以保证对称性。所以这类FIR系统只系统只能做带通能做带通。)()NH zzH z 11（5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点第四类第四类FIR DF (奇对称奇对称,N为偶为偶)的特点的特点： 恒群时延，有恒群时延，有/2 /2 附加相移。相位曲线附加相移。相位曲线与第三类相同。与第三类相同。 幅度曲线对原点奇对称，幅度曲线对原点奇对称，H(1)=-H(1)零零频是的零点。频是的零点。 幅度曲线对幅度曲线对H(-1)=H(-1),即即点点偶对称。所以这类偶对称。所以这类FIR系统只能做系统只能做高通和带通高通和带通

23、滤波器。滤波器。)()NH zzH z 11（5.1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点小结：小结： 线性相位滤波器是线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。并在设计时遵循其约束条件。 基于模拟的设计是面向极点系统的设计，不适用基于模拟的设计是面向极点系统的设计，不适用于于FIRFIR系统系统，目前，目前FIR DFRFIR DFR的设计方法主要建立在对的设计方法主要建立在对理想滤波器频率特性作某种近似的基础上，主要有理想滤波器频率特性作某

24、种近似的基础上，主要有窗数法（时域逼近）窗数法（时域逼近）频率抽样法频率抽样法( (频域逼近）频域逼近）最佳一致逼近法（等波纹逼近）最佳一致逼近法（等波纹逼近） 本章将讨论这三种方法，并讨论一些常用的特本章将讨论这三种方法，并讨论一些常用的特殊形式滤波器，如梳状滤波器等。殊形式滤波器，如梳状滤波器等。FIR DFFIR DF设计的含义是：设计的含义是： 根据根据给定的给定的设计指标，求解所选运算结构要求设计指标，求解所选运算结构要求的的h(n)h(n)或或H(z)H(z)（线性卷积和快速卷积型结构，求线性卷积和快速卷积型结构，求FIR FIR DFDF的的h(n)h(n)；级联和频率采样型结构

25、，求级联和频率采样型结构，求FIR DF FIR DF 的的H(z)H(z)） 。1. 由理想的频率响应得到理想的由理想的频率响应得到理想的 ( )dh n2.2.由由 得到因果、有限长的单位抽样得到因果、有限长的单位抽样响应响应( )dh n( )h n一、思路与方法：一、思路与方法： 如果希望如果希望得到的滤波器的理想频率响应为得到的滤波器的理想频率响应为 ，时间窗函数设计法是从，时间窗函数设计法是从单位冲响应序单位冲响应序列着手，使设计的滤波器单位冲激响应列着手，使设计的滤波器单位冲激响应h(n)逼近逼近理想的单位脉冲响应序列理想的单位脉冲响应序列hd(n)。()jdH e我们知道我们知

26、道h hd d(n(n) )可以从理想频响通过付氏反变可以从理想频响通过付氏反变换获得换获得, , 即即deeHnhnjjdd21)(如理想低通滤波器如理想低通滤波器的单位冲激响应为的单位冲激响应为: :nnnhcdsin)(特点：特点： 无限长无限长 非因果非因果 偶对称偶对称解决方法：解决方法： 截短截短 移位移位 保留保留 这种截取可想象为这种截取可想象为h(nh(n) )是通过一个是通过一个“窗口窗口”所看到的一段所看到的一段h hd d(n(n) )，因此这种方法称为窗函因此这种方法称为窗函数法。数法。h(nh(n) )也可表达为也可表达为h hd d(n(n) )和一个和一个“窗函

27、数窗函数”的乘积，即的乘积，即h(nh(n)=)=w(nw(n) ) h hd d(n(n) ) 。 最简单的窗口函数就是矩形脉冲函数最简单的窗口函数就是矩形脉冲函数R RN N(n(n），后面我们还可看到，后面我们还可看到, ,为了改善设计滤波器的特为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式性，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩，相当于在矩形窗内对形窗内对h hd d(n(n) )作一定的加权处理。作一定的加权处理。 ( )( -)dh nh n M 20,1,.,nM即：即：隐含着使用隐含着使用了窗函数了窗函数)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj10)(Nn

28、jnjenheH1 1）由定义）由定义)()()2jeHnhDFT3 3）卷积）卷积插值插值设计步骤设计步骤deWeHeWeHeHjRjdjRjdj)(21)(*)()()(窗函数对理想特性的影响：窗函数对理想特性的影响： 改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 4/N，等于等于WR()的主瓣宽度的主瓣宽度。（。（决定于窗长决定于窗长） 过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于取决于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强值大，肩峰强 ，与与 N无关

29、无关。（决定于窗口形状）。（决定于窗口形状） N增加增加,过渡带宽减小过渡带宽减小,肩峰值不变肩峰值不变。 其中其中x=N/2,所以所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变例关系，只能改变WR（）的绝对值大小和起伏的）的绝对值大小和起伏的密度，当密度，当N增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。效应。xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(ccjjdeeH01)(计算计算)()(sin(2121)(n

30、ndeedeeHnhcnjjnjjddcc 以一个截止频率为以一个截止频率为c c的线性相位理想低通滤波器的线性相位理想低通滤波器为例为例, ,讨论讨论FIRFIR的设计问题。的设计问题。1 1、对于给定的理想低通滤波器、对于给定的理想低通滤波器 这是一个以为这是一个以为 中心的偶对称的中心的偶对称的无限长非因果无限长非因果序列序列，如果截取一段，如果截取一段n=0-Nn=0-N的的h hd d(n(n) )作为作为h(nh(n) )，则为，则为保证所得到的是线性相位保证所得到的是线性相位FIRFIR滤波器，延时滤波器，延时 应为应为h(nh(n) )长度长度N N的一半的一半, ,即即 2/

31、N为其它值nNnonhnwnhnhdRd0)()()()(其中其中)()(nRnwNR2 2、计算、计算)(nh3 3、计算、计算)(jeH 改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就尽量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。 但实际

32、上这两点不能兼得，一般总是通但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。1、理想的线性相位高通、理想的线性相位高通DF的频率特性为的频率特性为ccjwMjwdwwwweeH|00|)(2/1| )(|jeHwcwcpww截止频率为： 相对于低通滤波器，高通、带通带阻滤波器的设计相对于低通滤波器，高通、带通带阻滤波器的设计只需要改变积分的上下限即可，只需要改变积分的上下限即可，下面介绍：下面介绍：nMnMnMndeeHdeeHdeeHnhcnjjdnjjdnjjddcc)2()2(sin)2(sin)(21)(21)(21)( 理想的线性

33、相位高通理想的线性相位高通DF相当于一个全通减去相当于一个全通减去一个低通滤波器一个低通滤波器.2、理想的线性相位带通、理想的线性相位带通DF的频率特性为：的频率特性为：其它0|)(2/hlMjjwdwwweeHnMnMnwMnwdwedwedweeHnhlhMnjwwMnjjwnjwddhllh)2/()2/(sin)2/(sin2121)(21)(0)2/(0)2/(3、理想的线性相位带阻、理想的线性相位带阻DF：略：略 获得理想特性后，选取一个满意的窗函数获得理想特性后，选取一个满意的窗函数w(n)，令令 h(n)w(n)hd(n) n0,1, ,M 则则h(n)即是要设计的滤波器的频率

34、响应。即是要设计的滤波器的频率响应。 按上述方法设计出的滤波器，由于满足了按上述方法设计出的滤波器，由于满足了h(n)土土h(M一一n)的对称关系的对称关系,因此都因此都具有线性相位具有线性相位。 FIR DF设计的窗函数法不但可以用来设计普通设计的窗函数法不但可以用来设计普通的的LP，HP，BP及及BS滤波器，也可用以来设计一些特滤波器，也可用以来设计一些特殊的滤波器，例如差分滤波器，希尔伯特滤波器等。殊的滤波器，例如差分滤波器，希尔伯特滤波器等。优点优点：1.1.无稳定性问题；无稳定性问题； 2.2.容易做到线性相位；容易做到线性相位； 3.3.可以设计各种特殊类型的滤波器；可以设计各种特

35、殊类型的滤波器； 4.4.方法简单。方法简单。缺点缺点：1.1.不易控制边缘频率；不易控制边缘频率； 2.2.幅频性能不理想；幅频性能不理想； 3. 3. 较长；较长；( )h n 二、窗函数法的特点：二、窗函数法的特点：改进改进：1.1.使用其它类型的窗函数；使用其它类型的窗函数； 2.2.改进设计方法。改进设计方法。)()()(nwnxnxNdeWeXeWeXeXjjjjjN)(21)()()()( 在信号处理中不可避免地要遇到数据截短问题，在信号处理中不可避免地要遇到数据截短问题，例如，上节讨论的例如，上节讨论的FIR DF滤波器的设计，还有比如在滤波器的设计，还有比如在功率谱估计中要遇

36、到对自相关函数的截短问题。功率谱估计中要遇到对自相关函数的截短问题。 总之，我们在实际工作中所能处理的离散序列总总之，我们在实际工作中所能处理的离散序列总是有限长。把一个长序列变成有限长的短序列不可避是有限长。把一个长序列变成有限长的短序列不可避免地要用到窗函数。因此，窗函数本身的研究及应用免地要用到窗函数。因此，窗函数本身的研究及应用是信号处理中的一个基本问题。是信号处理中的一个基本问题。 下面给出了三个领域指标以定量地比较各种窗函下面给出了三个领域指标以定量地比较各种窗函数的性能：数的性能：3dB3dB带宽带宽B B 它是主瓣归一化的幅度下降到一它是主瓣归一化的幅度下降到一3dB3dB时带

37、宽。当时带宽。当数据长度为数据长度为N N时，矩形窗主辨两个过零点之间的宽度为时，矩形窗主辨两个过零点之间的宽度为4 4N N。最大边瓣峰值最大边瓣峰值A A (dB) (dB)。边瓣谱峰渐近衰减速度边瓣谱峰渐近衰减速度D D (dB (dBoctoct) )。 说明：一个理想的窗函数，应该具有说明：一个理想的窗函数，应该具有最小的最小的B B和和A A及及最大的最大的D D。 除以上三个指标外，除以上三个指标外，窗函数窗函数还有一些共同的要求：还有一些共同的要求： w(n)应是非负的实偶函数，且应是非负的实偶函数，且w(n)从对称中心开从对称中心开始，应是非递增的。始，应是非递增的。 由由(

38、7.2.2)式可知，若式可知，若X(ejw)恒为正，那么，若恒为正，那么，若W(ejw)有正有负。则有正有负。则XN(ejw)将有正有负。因为功率谱将有正有负。因为功率谱总是正的，因此，我们希望总是正的，因此，我们希望W(ejw)也尽可能是正的。也尽可能是正的。 窗函数的频谱应满足窗函数的频谱应满足1)(21)0(deWwj）升余弦窗布莱克曼窗（又称二阶弦窗）汉明窗（又称改进余（窗）汉宁窗（又称升余弦（窗三角窗（又称）矩形窗（的特性。的窗函数，并比较它们下面我们讨论五种常用Window，BlackmanWindowg，HaWindow，HanningWindow，BartlettBartlet

39、tWindowglec)5()min4)3)2()tanRe1octdBDdBABeWewwNNeWNNnnNwNnNnnwjwwNjjw/12,27,28. 1) 2/sin()4sin(2)1, 2/)(2/, 2 , 1 , 02)()21(2的（其频率响应为：octdBDdBAdBBNeUNUNUUeWN，NnNnnWNnNnnWjj/18,32,44. 1) 2/sin(/ ) 2/sin()()2()2(25. 0)(5 . 0)(202),2cos(1 5 . 0)(10),2cos(1 5 . 0)(2/式中或优点优点由于频谱是由三个互有频移的不同幅值的矩由于频谱是由三个互有频

40、移的不同幅值的矩形窗函数相加而成，这样使旁瓣大大抵消，形窗函数相加而成，这样使旁瓣大大抵消，从而能量相当有效地集中在主瓣内。从而能量相当有效地集中在主瓣内。代价（缺点）代价（缺点）主瓣加宽一倍，可达到减少肩峰，余振，提主瓣加宽一倍，可达到减少肩峰，余振，提高阻带衰减。缺点：过滤带加大高阻带衰减。缺点：过滤带加大NB80主瓣宽度：octdBDdBANBdBBNwUNwUeUeWeW，N，NnNnnwNnNnnwjwjwjwHm/6,43,/8,3 . 1)223. 0)223. 0)(54. 0)()(2/, 02/,)2cos(46. 054. 0)(1, 2 , 1 , 0,)2cos(46

41、. 054. 0)(0（为其频域函数或.,4396.99主瓣宽度和汉宁窗相同主瓣小，第一旁瓣的峰值比主瓣的能量约占更加集中在主瓣中，改进的升余弦窗，能量dBoctdBDdBANBBNwUNwUNwUNwUUeWN，NnNnNnnwNnNnNnnwjw/18,58,/12,68. 1)4()4(04. 0)2()2(25. 0)(42. 0)(2/,2/,4cos08. 02cos5 . 042. 0)(1, 2 , 1 , 0,4cos08. 02cos5 . 042. 0)(0其频域函数为：或NB，wU123)(倍。即：到矩形窗的宽但主瓣宽度却不得不加可以得到更低的旁瓣，阻带衰减进一步增加，

42、使旁瓣再进一步抵消函数，幅度也不同的它们都是移位不同，且成，其幅频函数由五部分组18/12586/84318/83212/8276/413)/)NNNNNoctdBwdB布莱克曼窗汉明窗汉宁窗三角形窗矩形窗渐近衰减速度（过渡带宽旁瓣峰值幅度（窗函数% for example 7.9.1 and 7.1.1to test fir1.mclear all;N=10; M=128;b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1); % 矩形窗作为冲激响应的窗函数矩形窗作为冲激响应的窗函数b2=fir1(N,0.25,hamming(N+1); % 汉明窗作冲激响应的窗函数汉明窗作冲激响应的窗函数

43、h1=freqz(b1,1,M);h2=freqz(b2,1,M);% 求滤波器的频率响应；求滤波器的频率响应；t=0:10;subplot(221);stem(t,b2,.);hold on;plot(t,zeros(1,11);grid;f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4;for k=1:M1 hd(k)=1; hd(k+M1)=0; hd(k+2*M1)=0; hd(k+3*M1)=0;endsubplot(222);plot(f,abs(h1),b-,f,abs(h2),g-,f,hd,-);grid;0510-0.300.800

44、.1 窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。工工程上，程上，常给定频域上的技术指标常给定频域上的技术指标，所以采用频域设，所以采用频域设计更直接。计更直接。尤其对于尤其对于Hd(ejw)公式较复杂，或公式较复杂，或Hd(ejw)不能用封闭公式表示而用一些离散值表示时，频率不能用封闭公式表示而用一些离散值表示时，频率抽抽样设计法更为方便，有效。样设计法更为方便，有效。102221, 2 , 1 , 0,)(1)().()(1, 2 , 1 , 0),()()(NkknNjddkNjdkNwjwddNnekHNnhnhIDFTkHNNkeH

45、eHkH，得到进行点再对一、思路与方法 使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )(2)()(不同于点点频率取样确定102101012101)(1)()(1)(1)()()()NkjkNjdNjNnnjjdNkkNjdNdNnneekHNeenheHkHzekHNzzH，kHzHznhzH（系统的频率响应为。形成滤波器的系统函数采样值此式就是直接利用频率看出：（插值公式为：来表示也可用当然（系统函数为10)1(212/2sin2/2sin)()(Nk

46、NkNjdNjjNkNNkNekHeeH，有经推导2/2sin2/2sin),()1(NkNNkNekSNkNj令1021),()()(NkdNjjkSkHeeH有由此可以看出，连续函数由此可以看出，连续函数H(eH(ej jw w) )是由以是由以N N个离散值从个离散值从H Hd d(k(k) ) 作为权重和插值函数作为权重和插值函数S(S(w,kw,k) )线性组合的结果。线性组合的结果。线性相位条件线性相位条件 为了设计线性相位的为了设计线性相位的FIRFIR滤波器，采样值滤波器，采样值 H H（k k）要满足一）要满足一定的约束条件。定的约束条件。 具有线性相位的具有线性相位的FIR

47、FIR滤波器，其单位脉冲响应滤波器，其单位脉冲响应h(nh(n) )是实序是实序列，且满足列，且满足 ，由此得到的幅频和相频，由此得到的幅频和相频特性，就是对特性，就是对H(kH(k) )的约束。的约束。情况一情况一: :设计第一类线性相位设计第一类线性相位FIRFIR滤波器，即滤波器，即N N为奇数，为奇数，h(nh(n) )偶偶对称，则对称，则幅度函数幅度函数( (用用H(H() )表示表示) )应具有偶对称性：应具有偶对称性：)1()(nNhnh21| )(|NjjjeeHeH)2()( HH令令 则则 必须满足偶对称性：必须满足偶对称性：而而 必须取为：必须取为： kjkeHkH)(k

48、NkNNkNk) 1(212情况二情况二:设计第二种线性相位设计第二种线性相位FIRFIR滤波器，滤波器，N N为偶数，为偶数，h(nh(n) )偶对称，由于幅度特性是奇对称的，偶对称，由于幅度特性是奇对称的， 2HHkNkHHkH1, 1 , 0Nk1, 1 , 0Nk因此，因此，H Hk k 也必须满足奇对称性：也必须满足奇对称性： 相位关系同上，相位关系同上， 其它两种线性相位其它两种线性相位FIRFIR数字滤波器的设计，同样也要满足数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。幅度与相位的约束条件。同样可根据频率响应的插值公式来分析。同样可根据频率响应的插值公式来分析。 kNkH

49、H1, 1 , 0,) 1(NkNkNk1, 1 , 0Nk根据所设计滤波器的通带和阻带的要求根据所设计滤波器的通带和阻带的要求, ,根据根据N N为为奇偶奇偶, ,按线性相位要求指定按线性相位要求指定H Hd d( (k k).).计算计算 , ,求出所设计滤波器的频率响求出所设计滤波器的频率响应。应。例例.1例例.2分析：分析：过渡带的设计过渡带的设计)( ZH)(nh综上所述，频率抽样法的设计步骤为综上所述，频率抽样法的设计步骤为二、频率抽样法的特点二、频率抽样法的特点优点：优点： 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便直接从频域进行设计，物理概念清楚

50、，直观方便； 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。几个非零值。缺点：缺点： 截止频率难以控制。截止频率难以控制。因频率取样点都局限在因频率取样点都局限在2/N2/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大N N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。 前面介绍了前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法（时域逼近法）和频率

51、采样法（频域逼法，即窗口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都近法），用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率特性是在不同意义上对给定理想频率特性Hd(ej)的逼近。的逼近。 说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好好”“”“坏坏”的恒量标准不同，也会得出不同的结论。的恒量标准不同，也会得出不同的结论。窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法，所窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法，所需变量，然后再讨论其逼近特性。需变量，然后再讨论其逼近特性。如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参如果反

52、过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要念，最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计。依靠计算机进行辅助设计。 从数值逼近的理论来看，对函数从数值逼近的理论来看，对函数f(x)的逼近一般有的逼近一般有三种方法（或可以适用于三种方法（或可以适用于FIR滤波器最优化设计中）滤波器最优化设计中）：插值法插值法最小平方逼近法（最小均方误差）最小平方逼近法（最小均方误差）最佳一致逼近法最佳一致逼近法( (最大误差最小化准则最大误差最小化准则) )插值

53、法：即寻找一个插值法：即寻找一个n n阶多项式阶多项式p p( (x x) )使它在使它在n+1n+1个点个点处满足处满足而在非插值点上，而在非插值点上，p(xp(x) )是是f(xkf(xk) )的某种组合。在非插值的某种组合。在非插值点上存在一定的误差。点上存在一定的误差。频率抽样法可以看作为插值法。频率抽样法可以看作为插值法。nkxfxpkk, 2 , 1 , 0),()(最小平方逼近法（最小均方误差）最小平方逼近法（最小均方误差） 若以若以E(eE(ejj) )表示逼近误差，则表示逼近误差，则 那么均方误差为那么均方误差为deEdeHeHjjjd2222121)()(jjdjeHeHe

54、E）（均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差方误差 ，这一方法注重的是在整个，这一方法注重的是在整个-频频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点可能会有较大的误差，的性能，有些频率点可能会有较大的误差，min2对于窗口法对于窗口法FIRFIR滤波器设计，因采用有限项的滤波器设计，因采用有限项的h(nh(n) )逼近逼近理想的理想的h hd d(n(n) )，所以其逼近误差为：，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗如果采用矩形窗 则有则有ndnhnh22)()(其它01

55、)()(Nnonhnhd1222| )()(| )()(|nNnddnhnhnhnh可以证明，这是一个可以证明，这是一个最小均方误差最小均方误差264264。其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大, ,或者说或者说误差分布不均匀。误差分布不均匀。最大误差最小化最大误差最小化最佳一致逼近最佳一致逼近等波纹逼近）等波纹逼近）表示为表示为 切比雪夫理论指出，这样的多项式是存在的。切比雪夫理论指出，这样的多项式是存在的。优点优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。布均匀，

56、相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。 |)()(|maxmin| )()(|maxxfxpxfxpbxabxaspjdeH001设所希望的理想频率响应为设所希望的理想频率响应为 我们的任务是，寻找一，使其在通带我们的任务是，寻找一，使其在通带和阻带内最佳一致逼近理想频响。和阻带内最佳一致逼近理想频响。 根据交错点组定理，可以想象，如果只根据交错点组定理，可以想象，如果只H(ejw)是是对对Hd(ejw)的最佳一致逼近，那么其在通带和阻带内的最佳一致逼近，那么其在通带和阻带内应具有如图应具有如图7.4.1的等纹波性质。所以最佳一致逼近的等纹波性质。所以最佳一致逼近有时又称等纹波逼近。有时又称等

57、纹波逼近。jeH如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数： N、p、s、1、2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带 0 p 内以最大误差内以最大误差 1 逼近逼近1，在阻带，在阻带s 内内 以最大误差以最大误差2逼近零。逼近零。 要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法：要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法： 1）给定）给定N、1、2，以，以p和和s、为变量。为变量。 缺点：边界频率不能精确确定。缺点：边界频率不能精确确定。 2）给定）给定N、P和和S，以，

58、以1和和2为变量，通过迭代运算为变量，通过迭代运算 ，使逼近误差，使逼近误差1和和2 最小，并确定最小，并确定h(n)切比雪切比雪 夫最佳一致逼近。夫最佳一致逼近。 特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。 2/ ) 1(,cos)()(0NMnnaeHMnjg)()(2/)1(jgNjjeHeeH式中式中为了保证设计的滤波器具有线性相位，仍应遵守为了保证设计的滤波器具有线性相位，仍应遵守h(nh(n) )的约束，为了讨论方便，现假设的约束，为了讨论方便，现假设h(nh(n) )为偶对称，为偶对称，为奇数，则为奇数，则 定义逼近误差函数：定义逼近误差函数：)

59、(cos)()()(0jdMnjjdjgjjeHnnaeWeHeHeWeE 上式中使用加权因数上式中使用加权因数 ，是考虑在设计滤波器，是考虑在设计滤波器时对通带和阻带常要求不同的逼近精度，故乘以不同时对通带和阻带常要求不同的逼近精度，故乘以不同的加权函数。的加权函数。 由交错点组定理可知，由交错点组定理可知，Hg(ej)在子集在子集F上是对上是对Hd(ejw)唯一最佳一致逼近的充要条件是唯一最佳一致逼近的充要条件是:误差函数在误差函数在F上至少呈现上至少呈现M十十2个个“交错交错”，使得，使得jeW |max|1EEEEEFnnii式中 |max) 1(cos)()(0EEnnaHWFnkM

60、nkkdk式中 如果已知在如果已知在F F上的上的M+2M+2个交错频率个交错频率, ,即即w1,w2,Wm+1,w1,w2,Wm+1,则有则有上式可以写成矩阵形式上式可以写成矩阵形式问题问题: 一是交错点组一是交错点组i事先是不知道的，这样当然无法事先是不知道的，这样当然无法求解方程式求解方程式;二是直接求解方程组比较因难。二是直接求解方程组比较因难。(1)(1)在频率子集在频率子集 F F 上均匀等间隔地选取上均匀等间隔地选取 M+2 M+2 个极个极值点频率值点频率 并计算作为初值,110M1010)(/) 1()(MkkkkMkkdkWH)cos(cos1)(1,0kiMkiikk式中