第 3 讲控制系统的稳定性

1、第第 3 讲讲 控制系统的稳定性控制系统的稳定性1.稳定性的定义？稳定性的定义？2.如何判别稳定性？如何判别稳定性？3.稳定性的衡量指标？稳定性的衡量指标？需要掌握内容需要掌握内容1.稳定性的定义稳定性的定义.2.劳斯稳定判据及其应用劳斯稳定判据及其应用.3.Nyquist稳定判据及应用稳定判据及应用.4.相角裕量及增益裕量含义相角裕量及增益裕量含义.5.闭环频率特性各指标含义闭环频率特性各指标含义.6.频率特性指标与动态特性之间的关系频率特性指标与动态特性之间的关系.3.13.1 稳定性的重要性稳定性的重要性开环不稳定开环不稳定闭环稳定闭环稳定闭环不稳定闭环不稳定1986.4.26乌克兰硬件

2、没有失效硬件没有失效阀正常工作阀正常工作电控柜没有停机电控柜没有停机控制系统控制系统蒸汽越多蒸汽越多反应越强反应越强操作员没有执行操作员没有执行Power-hold mode操作员抽出控制棒操作员抽出控制棒使能量回复使能量回复蒸汽空间减至零，防止停蒸汽空间减至零，防止停机，继续减小控制棒至机，继续减小控制棒至6操作员减小供水流量，操作员减小供水流量，反应增加，处于不稳反应增加，处于不稳定状态定状态l不稳定系统比稳定系统更难控制不稳定系统比稳定系统更难控制l含有不稳定元件的闭环系统只是含有不稳定元件的闭环系统只是局部稳定的。局部稳定的。l不稳定系统的控制器很关键。不稳定系统的控制器很关键。更多请

3、参考更多请参考“Respect the unstable” by Gunter Stein, IEEE Control systems Magazine, 200312 稳定是控制系统正常工作的首要条件稳定是控制系统正常工作的首要条件, ,不稳定的系统是无不稳定的系统是无法正常工作的。法正常工作的。稳定性定义稳定性定义：如果在如果在扰动作用扰动作用下系统偏离了原来的平衡下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以状态，当扰动消失后，系统能够以足够的精度恢复到足够的精度恢复到原来的平衡状态原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。定。odf稳定系统

4、稳定系统不稳定系统不稳定系统Mbcof 所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。恢复到原平衡状态的性能。13条件稳定系统条件稳定系统a a、c c 允许偏差范围允许偏差范围d d、e e 规定偏差边界规定偏差边界141 1、系统的稳定性分为、系统的稳定性分为大范围内大范围内稳定和稳定和小范围内小范围内稳定。稳定。2 2、大范围内稳定大范围内稳定是指如果系统受到扰动后，不论它的初始偏是指如果系统受到扰动后，不论它的初始偏差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。3 3、小

5、范围内稳定小范围内稳定是指如果系统受到扰动后，只有当它的初始是指如果系统受到扰动后，只有当它的初始偏差小于某一定值时，才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态。偏差小于某一定值时，才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态。4 4、稳定的线性稳定的线性系统必须在大范围和小范围内都稳定。而系统必须在大范围和小范围内都稳定。而非非线性系统线性系统或者是线性化后的非线性系统只是在小范围内稳定，或者是线性化后的非线性系统只是在小范围内稳定，而在大范围内却不稳定。而在大范围内却不稳定。5、线性系统的稳定性是、线性系统的稳定性是系统自身的固有特性系统自身的固有特性，它和系统的，它和系统的输入信号无关，仅取决于特征方程的

6、根。输入信号无关，仅取决于特征方程的根。15 平衡状态的稳定性和系统的运动稳定性平衡状态的稳定性和系统的运动稳定性 系统的运动稳定性：即系统方程在不受任何外界系统的运动稳定性：即系统方程在不受任何外界输入作用下，输入作用下，系统方程的解系统方程的解在时间在时间t t趋于无穷趋于无穷时的渐进行为。时的渐进行为。 严格地说，平衡状态稳定性与运动稳定性并不是严格地说，平衡状态稳定性与运动稳定性并不是一回事。但对于线性系统而言，运动稳定性与平一回事。但对于线性系统而言，运动稳定性与平衡状态稳定性是等价的。衡状态稳定性是等价的。3.2 BIBO稳定稳定 定义：定义： 若系统在任意有界输入若系统在任意有界

7、输入下，对应的输出均为有界，下，对应的输出均为有界，则称系统有界输入则称系统有界输入- -有界输有界输出稳定。出稳定。BIBOBIBO稳定的充分必要条件稳定的充分必要条件0|( ) |g tdt l对于对于LTILTI系统，其脉冲响应系统，其脉冲响应g(tg(t) )满足满足l 对于对于LTI系统，其传递函数的所有极点都系统，其传递函数的所有极点都具有负实部具有负实部18 s )(sG s19Xi(s)Xo(s)(1)ks Ts 图图3.1 3.1 系统传递框图系统传递框图 例：判断如图例：判断如图3.13.1所示单位负反馈系统是否稳定。所示单位负反馈系统是否稳定。 20其系统闭环传递函数为其

8、系统闭环传递函数为 2( )(1)( )( )1(1)oikXsks TsG skX sTssks Ts特征方程为特征方程为 20Tssk特征方程的根为特征方程的根为 1.21142TksT 可见，此系统两个根均具有负实部，所以系统稳定。可见，此系统两个根均具有负实部，所以系统稳定。 从控制系统稳定性的判断上为什么不只用解方程稳定从控制系统稳定性的判断上为什么不只用解方程稳定判据，而提出其它稳定性判据，其原因是求解三阶以判据，而提出其它稳定性判据，其原因是求解三阶以上特征方程非常困难。上特征方程非常困难。21xo(0)xo(t)平衡状态平衡状态xo(0)xo(t)平衡状态平衡状态稳定稳定不稳定

9、不稳定从空间尺度来看：从空间尺度来看：22从时间尺度来看：从时间尺度来看：稳定稳定不稳定不稳定txo(t)txo(t)23222( )2nnnsss21,21nns 稳定稳定不稳定不稳定临界稳定临界稳定24左左 半半 平平 面面 0jnjn j右右 半半 平平 面面 00稳定稳定临界临界稳定稳定不稳定不稳定21,21nns 3.3 绝对稳定性的判别绝对稳定性的判别RouthRouth-Hurwitz-Hurwitz方法方法NyquistNyquist判据判据BodeBode图判据图判据 Routh稳定判据 RouthRouth判据是根据系统特征方判据是根据系统特征方程的系数来判断特征根实部的正

10、负程的系数来判断特征根实部的正负系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件: :特征方程的系数全部为正特征方程的系数全部为正, ,且不为零且不为零. .120121( )nnnnnDsasasasa s a特征方程特征方程024113511232121101nnnsaaasaaasbbbseesfsgRouth阵列021311aaaaba 041521aaaaba 120121( )nnnnnD sa sasa sasaRouth判据 系统稳定的充要条件为系统稳定的充要条件为RouthRouth阵列阵列的第一列元素不改变符号的第一列元素不改变符号. . 若第一列元素改变符号若第一列元素改变符号, ,

11、则系统不则系统不稳定稳定. .且符号改变的次数等于正实部根且符号改变的次数等于正实部根的个数的个数. .29s4s3s2 s1 s0解： 1）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件； 2）列劳斯表 1 17 5 8 16 0劳斯表第一列元素均大于零，因此系统稳定。 403158 17 161588 5 1 058 15 16 8 5 40153 40 3 5 0540 3 55 例例1 D(s) = s4 + 8s3 +17s2 + 16s + 5 = 0，判断系统的稳定性判断系统的稳定性 0 0 30例例2已知控制系统的闭环传函为已知控制系统的闭环传函为3254323121720( )2148

12、8200800sssssssss用劳斯判据判别系统的稳定性用劳斯判据判别系统的稳定性解：系统特征方程为：解：系统特征方程为：D(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0， 1）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件；）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件； 2）列劳斯表）列劳斯表s5s4s3 s2 s1s0 1 14 200 2 88 80074.7-302 14 883022 200 1 8002002 30 88 2 20074.730 121-200 0 800 0 800 30 800 0800300 74.7 200 30 80012174.7劳斯表第一列元素变号劳

13、斯表第一列元素变号2 2次次，有有2 2个正根，系统不稳定。个正根，系统不稳定。 3101234sssss 3 3 1 1 1 0100 33 10劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况1 1、劳斯阵列中某一行第一个元素为零，而该行、劳斯阵列中某一行第一个元素为零，而该行其余元素不全为零；其余元素不全为零；第一列元素符号改变两次，系第一列元素符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统统有两个右根，所以，系统不稳不稳定定。解： 1）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件； 2）列劳斯表处理方法处理方法：用一个很小的正数：用一个很小的正数代替第一零元素，计算劳斯表。代替第一零元素，计算劳斯表。 判断系统

14、稳定性判断系统稳定性：例例 01s3ss3ssD4234 例例3320123ssss 2 2 1 1 00 判断系统稳定性判断系统稳定性：例例 02ss2ssD523 第一列系数符号无改变，第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。故系统没有正实部的根。2, 02s122 s223sjssssS 行全为行全为0 0，表明系统有一对共轭虚根，系统临界稳定。，表明系统有一对共轭虚根，系统临界稳定。 1s2解： 1）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件； 2）列劳斯表例例433由该行的上一行元素来解决由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；）构成辅助多项式，

15、并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，可以解出这些大小相等但位置径向相反）构成辅助方程，可以解出这些大小相等但位置径向相反 的特征根。的特征根。 表明在表明在S S平面内存在大小相等但位置径向相反平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根，和（或）一对共轭虚根，S显然，这些根的数目一定是偶数。2 2、劳斯阵列中某一行所有元素均为零。、劳斯阵列中某一行所有元素均为零。346543210 sssssss1 8 20 16 2 12 16 2 12 160 0 0 016s16s20s12s8s2

16、ssD623456 ：例例例例5 8 24836 16 16解： 1）各项系数均大于零，满足稳定的必要条件； 2）列劳斯表042A(s) = 2s +12s +16列辅助多项式：列辅助多项式： 3dA s = 8s +24sds00第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，系统第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，系统临界稳定。临界稳定。2js2js4 . 32 . 1 2js2js4 . 32 . 1 可得到两对共轭虚根：可得到两对共轭虚根：42A(s) = 2s +12s +16由辅助方程：由辅助方程：35系统参数变化对稳定性的影响系统参数变化对稳定性的影响例例6- sXi

17、 sXo21sssK求求K K为何值时，系统稳定？为何值时，系统稳定？ K2s1ssK2s1ssK12s1ssKsXsXio 解：解：0K0K60 有：有：符号符号满足劳斯阵列第一列满足劳斯阵列第一列0123ssKs2s 3 1 3K6 K 32D s = s +3s +2s+K = 0 系统特征方程为：0 K必要条件： 系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：0 0K g g ，则闭环系统不稳定则闭环系统不稳定若若c c g g ，则闭环系统稳定则闭环系统稳定cgL/dB0c0-180gcgImRe 奈氏图的单位圆对奈氏图的单位圆对应于波德图的应于波德图的0dB0dB线线, , 奈氏图的负实

18、轴对奈氏图的负实轴对应于波德图的应于波德图的-线线L/dB0c0-180g对数判据对数判据: :若系统开环稳定若系统开环稳定, ,则闭环稳定的充则闭环稳定的充要条件为要条件为: :幅值幅值特性大于零的所特性大于零的所有频率范围内有频率范围内, ,相频特性曲线在相频特性曲线在-线的上方线的上方. .3.4 系统的稳定裕量系统的稳定裕量 实际系统由于以下原因，必须使得实际系统由于以下原因，必须使得系统具有一定的稳定性裕量系统具有一定的稳定性裕量（1 1）建立实际模型由于忽略某些因）建立实际模型由于忽略某些因素、线性化而引起的的误差素、线性化而引起的的误差（2 2）实际系统工作中由于元件老）实际系统

19、工作中由于元件老化、特性漂移引起的参数变化。化、特性漂移引起的参数变化。临界点临界点（-1，j0) 开环频率开环频率特性曲线相对特性曲线相对于临界点的位于临界点的位置，即偏离临置，即偏离临界点的程度反界点的程度反映了系统的相映了系统的相对稳定性。对稳定性。 相位裕量相位裕量 在幅值穿越在幅值穿越频率频率c c上上, ,使系使系统达到不稳定边统达到不稳定边缘所需要的额外缘所需要的额外相位滞后量相位滞后量. .180()cPM 相位裕量相位裕量相位裕量相位裕量PM0-1800L/dBc相位裕量的含义：相位裕量的含义： 对于一个闭环稳定的系统，如对于一个闭环稳定的系统，如果系统开环相频特性再滞后果系

20、统开环相频特性再滞后度，度，则系统将处于临界稳定状态。则系统将处于临界稳定状态。增益裕量增益裕量 在相位等于在相位等于 -180-180的频率上的频率上, ,开环幅频特性开环幅频特性|GH|GH|的倒数。的倒数。1|()()|gggKG jH j增益裕量增益裕量1/Kg增益裕量的含义：增益裕量的含义： 对于闭环稳定的系统，对于闭环稳定的系统，如果系统开环幅频特性再增如果系统开环幅频特性再增大大KgKg倍，则系统将处于临界倍，则系统将处于临界稳定状态。稳定状态。)20lg 20lg|()()|ggggKdBKG jH j （Kg0L/dB0-180g 在工程实际中，一般希望系统稳定在工程实际中，

21、一般希望系统稳定裕量满足如下条件：裕量满足如下条件：30 60PM 6dB (25)gK 对于标准二阶系统，有如下近似关系对于标准二阶系统，有如下近似关系100PM稳定裕量（稳定裕量（stability margin)sm:奈奎斯特曲线奈奎斯特曲线到临界点的最短到临界点的最短距离距离增益裕量和相位裕量好增益裕量和相位裕量好,但稳定裕量较差的系统但稳定裕量较差的系统220.38(0.10.55)( )(1)(0.060.5)ssG ss sssNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10

22、-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10-100-50050Magnitude (dB)10-210-1100101102-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)PM=70，Kg=266Step ResponseTime (sec)Amplitude02040608010012014016018000.20.40.60.811.21.4sm=0.27sm一般应在一般应在0.80.5，sm小于0.3时系统不容易控制用奈奎斯特图检验稳定性能提供更完整的信息用奈奎斯特图检验稳定性能提供更完整的信息3.5 频率特性指标频率特性指