(2021年整理)离散型随机变量的均值与方差经典例题

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2、的均值与方差导学案离散型随机变量的均值与方差导学案【知识梳理】【知识梳理】1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为:Xx1x2xi ixnPp1p2pi ipn(1) 均值：称E(X)=xp+xpxpXp为随机变量X的均值或数学期望，它反映了1122iinn离散型随机变量取值的平均水平(2)D(X)=(xE(X)2p为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均iiii偏离程度，其算术平方根错误错误! !为随机变量X的标准差.2均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).(3)D(X)=E(X2)E(

3、X)23.特殊分布的均值与方差XXB(1,p)XB(n,p)XH(M,N,n)XN(|J,02)E(X)pnpnNM口D(X)p(1p)np(1p)nN(nNn(n-1)M(M-1)M(MIN(N-1)02【典型例题【典型例题】【例例 1 1】某花店每天以每枝某花店每天以每枝 5 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后然后以每枝以每枝 1010 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理若花店一天购进若花店一天购进 1616 枝玫瑰花枝玫瑰花，求当天的利润求当天的利润y y( (单位单位：元元) )关于当

4、天需求量关于当天需求量n n( (单单位位: :枝，枝，n nN)N)的函数解析式；的函数解析式；(2)(2)花店记录了花店记录了 100100 天玫瑰花的日需求量天玫瑰花的日需求量( (单位单位: :枝枝) )，整理得下表：，整理得下表：日需求量日需求量n n1414151516161717181819192020频数频数1010202016161616151513131010以以 100100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. .离散型随机变量的均值与方差经典例题若花店一天购进若花店一天购进 1616 枝玫瑰花，枝玫瑰花，X X表示

5、当天的利润表示当天的利润( (单位：元单位：元) )，求，求X X的分布列、数的分布列、数学期望及方差；学期望及方差；若花店计划一天购进若花店计划一天购进 1616 枝或枝或 1717 枝玫瑰花枝玫瑰花， 你认为应购进你认为应购进 1616 枝还是枝还是 1717 枝？请说明枝？请说明理由理由【例【例 2 2】某工厂的某种产品成箱包装，每箱】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200200 件件, ,每一箱产品在交付用户之前要对每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取取20

6、20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为合格品的概率都为 P P(0(0P P1)1)，且各件产品是否为不合格品相互独立且各件产品是否为不合格品相互独立. .(1)(1)记记 2020 件产品中恰有件产品中恰有 2 2 件不合格品的概率为件不合格品的概率为f f(p),(p),求求f f(p)(p)的最大值点的最大值点 p p0(2)(2) 现对一箱产品检验了现对一箱产品检验了 2020 件件, ,结果恰有结果恰有 2 2 件不合格品，以件不合格品，以(1)(1)中确定的中

7、确定的 p p 作为作为0p p 的值已知每件产品的检验费用为的值已知每件产品的检验费用为 2 2 元元, ,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付每件不合格品支付 2525 元的赔偿费用元的赔偿费用(i)(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X,X,求求 EX;EX;(ii)(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品是否该对这箱余下的所有产品作检验？作检验？【例【例 3

8、 3】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 10001000 位顾客进行奖励位顾客进行奖励, ,规定规定：每位顾客从一个装有每位顾客从一个装有 4 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 2 个球个球， 球上所标的面球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额值之和为该顾客所获的奖励额. .(1)(1)若袋中所装的若袋中所装的 4 4 个球中有个球中有 1 1 个所标的面值为个所标的面值为 5050 元元，其余其余 3 3 个均为个均为 1010 元元, ,求求顾顾客所获的奖励额为客所获的奖励额为 6060 元的概率

9、元的概率顾客所获的奖励额的分布列及数学期望顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)(2)商场对商场对奖励总额的预算是奖励总额的预算是 6000060000 元，并规定袋中的元，并规定袋中的 4 4 个球只能由标有面值个球只能由标有面值 1010 元元离散型随机变量的均值与方差经典例题O891089101111更换的易损零件数和和5050 元的两种球组成，或标有面值元的两种球组成，或标有面值 2020 元和元和 4040 元的两种球组成。为了使顾客得到的奖元的两种球组成。为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额

10、相对均衡, ,请对袋中的请对袋中的 4 4 个球个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由。的面值给出一个合适的设计，并说明理由。【例【例 4 4】有有n n把看上去样子相同的钥匙把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开其中只有一把能把大门上的锁打开用它们用它们去试开门上的锁去试开门上的锁. .设抽取钥匙是相互独立且等可能的设抽取钥匙是相互独立且等可能的. .每把钥匙试开后不能放回每把钥匙试开后不能放回. .求试求试开次数；的数学期望和方差开次数；的数学期望和方差. .【例【例 5 5】某公司计划购买】某公司计划购买 2 2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰。机器有一易损零台机器，

11、该种机器使用三年后被淘汰。机器有一易损零件件, ,在购买机器时在购买机器时, ,可以额外购买这种零件为备件可以额外购买这种零件为备件, ,每个每个 200200 元元。 在机器使用期间在机器使用期间, ,如果如果备件不足再购买，则每个备件不足再购买，则每个 500500 元元. .现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了为此搜集并整理了 100100 台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图: :以这以这 100100 台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数的频率

12、代替 1 1 台机器更换的易损零件数发生的台机器更换的易损零件数发生的频率，记频率，记X表示表示 2 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买表示购买 2 2 台机器的同时台机器的同时购买的易损零件数。购买的易损零件数。(I)(I)求求X的分布列；的分布列；(II)(II)若要求若要求P(X0.5，确定，确定n的最小值；的最小值；( (川川) )以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在n=19与与n=20之中选其一，应之中选其一，应离散型随机变量的均值与方差经典例题O891089101111更换的易损零件数离

13、散型随机变量的均值与方差经典例题【例【例 6 6】计划在某水库建一座至多安装计划在某水库建一座至多安装 3 3 台发电机的水电站台发电机的水电站，过去过去 5050 年的水文资料显年的水文资料显示，水库示，水库年入流量年入流量X( (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位单位: :亿立方米亿立方米) )都在都在 4040 以上以上. .其中，不足其中，不足 8080 的年份有的年份有 1010 年年, ,不低于不低于 8080 且不超过且不超过 120120 的年份有的年份有3535 年年，超过超过 120120 的年份有的年份有 5 5 年年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并并假设各年的年入流量相互独立假设各年的年入流量相互独立. .求未来求未来 4 4 年中，至多年中，至多 1 1 年的年入流量超过年的年入流量超过 120120 的概率；的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行水电站希望安装的发电机尽可能运行, ,但每年发电机最多可运行台数受年入流量但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制