chFIR数字滤波器的设计实用实用教案

1、10)()()(Niinxihny10)()(NnnznhzH系统函数(hnsh)描述：差分方程(fngchng)描述：三、FIR滤波器的设计(shj)任务 FIR滤波器的设计任务就是按照要求的频率特性，以一定的准则选取式中的多项式系数h(n)，即滤波器的单位冲激响应及阶数N ，使传输函数H(ejw)满足技术指标。这里技术指标除了幅度特性要求以外，更重要的要求是保证H(z)具有线性相位。第1页/共48页第一页，共49页。7.1 线性相位 FIR DF 的设计(shj)条件和特点是w的实函数，称为(chn wi)幅度特性写成：将)(jweH)()()(wjgjwewHeH为了保证H(z)具有线性

2、相位，单位取样响应h(n)应满足的条件(tiojin)？ 满足线性相位条件(tiojin)下，幅度特性具有的特点？10)()(NnjwnjwenheHFIR DF 的频率响应：称为相位特性第2页/共48页第二页，共49页。是正值(zhn zh)，称为幅频特性)()()(wjjwjweeHeH称为(chn wi)相频特性H(ejw)线性相位(xingwi)是指(w)是w的线性函数。(w)=-w （为常数）第一类线性相位:第二类线性相位:(w)= 0 - w（0为起始相位）第3页/共48页第三页，共49页。推导第一类线性相位，单位取样响应应满足(mnz)的条件：1010)sin()()cos()(

3、NnNnwnnhjwnnh设h(n)是实序列(xli)：10)()(NnjwnjwenheH1010)cos()()sin()(arctan)(NnNnwnnhwnnhw第一类线性相位(xingwi)w第4页/共48页第四页，共49页。wwnnhwnnhwNnNn1010)cos()()sin()(arctan)(两边(lingbin)取tan：)cos()sin()tan()cos()()sin()(1010wwwwnnhwnnhNnNn10100)cos()sin()()sin()cos()(NnNnwwnnhwwnnh100)sin()(Nnwnnh第5页/共48页第五页，共49页。一、

4、条件(tiojin) 处奇对称对nwnNn10)sin(100)sin()(Nnwnnh为中心奇对称则正弦函数以设21,21NN即：偶对称，关于上式成立的条件是21)(Nnh)1()(nNhnh要线性相位，应满足(mnz)上式。要满足(mnz)上式，h(n)应满足(mnz)怎样的条件？第6页/共48页第六页，共49页。wwNnNhnh)() 1(21)1()(第一类线性相位(xingwi)：用类似方法可证明(zhngmng)第二类线性相位要求： h(n)对(N-1)/2奇对称偶数(u sh)奇数N2)(21)1()(wNnNhnh偶数奇数N第7页/共48页第七页，共49页。可分为三部分：,)(

5、)(10NnjwnjwenheH二 、特点(tdin)共有4种情况，讨论(toln)4种情况下幅度特性的特点。第一种情况(qngkung): h(n)=h(N-1-n)，N是奇数211212/ )3(0)21()()(NjwNNnjwnNnjwneNhenhenh)21()21(cos()(22/ )3(021NhNnwnheNnwNj，则：令nNm21第8页/共48页第八页，共49页。第一种情况(qngkung): h(n)=h(N-1-n)，N是奇数)21()cos()21(2)(2/ ) 1(121NhwmmNheeHNmwNjjw212 , 1)21(2)(NnnNhna令则)21()

6、0(Nha2/ )1(021)cos()()(NnwNjjwwnnaeeH第9页/共48页第九页，共49页。2/ )1(021)cos()()(NnwNjjwwnnaeeH因为 cos(wn)对w=0, , 2 偶对称，所以(suy)Hg(w)对这些频率偶对称。第一种情况(qngkung): h(n)=h(N-1-n)，N是奇数2/ )1(021)()cos()()(NngwNwwnnawH可用于设计(shj)各种滤波器。则幅度特性和相位特性分别为：第10页/共48页第十页，共49页。2/2 , 1)2/(2)()21cos()()(2/121NnnNhnbwnnbeeHNnwNjjw其中Hg

7、(w)对w= 是奇对称(duchn)，且 Hg( )=0。第二种情况(qngkung): h(n)=h(N-1-n)，N是偶数对=奇对称(duchn)2/1)21cos()()(NngwnnbwH幅度特性不能用这种情况设计w= 处H(ejw)不为0的滤波器，如高通、带阻滤波器。第11页/共48页第十一页，共49页。213 , 2 , 1)21(2)()sin()()(2/ )1(1)212(NnnNhncwnnceeHNnwNjjw其中第三种情况(qngkung): h(n)=-h(N-1-n)，N是奇数奇对称。对时当2 , 0)(, 0)(2 , 0wwHwHwggwNwwnncwHNng)

8、 1(212)()sin()()(211只能(zh nn)用于带通滤波器的设计。第12页/共48页第十二页，共49页。2/2, 1)2(2)()21sin()()(2/1)212(NnnNhndwNndeeHNnwNjjw其中第四种情况(qngkung): h(n)=-h(N-1-n)，N是偶数偶对称。奇对称，对对时当wwwHwHwgg2 , 0)(, 0)(2 , 0wNwwnndwHNng212)()21sin()()(2/1只能(zh nn)用于高通、带通滤波器的设计。第13页/共48页第十三页，共49页。以上四种频率特性可参考教材P198：表7.1.1。从四种频率特性可以看出(kn c

9、h)，对FIR DF，只要 h(n)具有对称性，则一定具有线性相位特征。而当h(n)奇对称时，通过滤波器的所有频率分量都将产生90的相移。第14页/共48页第十四页，共49页。7.2 利用窗函数(hnsh)法设计FIR滤波器|Hd(ejw)| -2 -wc wc 2 w1、设计(shj)原则 FIR数字滤波器的设计方法主要是建立在 对理想滤波器频率特性作某种近似的基础(jch)上的。例如，设计一低通FIR DF，设计的基础(jch)是依据理想低通DF的频率特性：第15页/共48页第十五页，共49页。)()sin(121)(21)(nwSwnnwdwedweeHnhcaccwwjwnjwnjwd

10、dcc2、设计思路和方法：1) 由理想的频率响应Hd(ejw)得到理想的hd(n)；2)对hd(n)加窗；3)由hd(n)移位得到因果、有限长的单位取样(qyng)响应h(n)。以上述(shngsh)要求为例：设已知|Hd(ejw)|=1，()=0，则其逆变换（或者说理想(lxing)低通数字滤波器的单位取样响应）：第16页/共48页第十六页，共49页。hd(n)的特点：特 点： 无限(wxin)长 非因果 偶对称（优点）解决方法： 加窗截短 移位(N-1)/2 保留h(n)=hd(n-(N-1)/2)此时的h(n)是因果(yngu)的、线性相位，且为有限长（长度为N）。10)()(Nnnzn

11、hzH即为所要设计的滤波器的系统函数，其频率响应(pn l xin yn)就会近似理想低通滤波器的频响Hd(ejw)，而且是线性相位的。对h(n)求Z变换：第17页/共48页第十七页，共49页。 总结：截取无限长序列hd(n)的一段作为FIR滤波器的冲激响应，只要乘以一窗函数 w(n)，只不过在这里，选择的窗函数 w(n)=RN(n)，是一矩形窗函数。 显然，不同的截取长度(chngd)N及不同的窗函数，会给设计的滤波器带来不同的特性。为此，以理想低通滤波器为例说明序列长度(chngd)N和窗函数的影响。第18页/共48页第十八页，共49页。3.矩形(jxng)加窗滤波器特性a=(N-1)/2

12、也就是事先给一线性相位，aww)(幅频特性如图：w-wc wc|Hd(ejw)|取Hd(ejw)的逆变换得hd(n)：jwajwdeeH1)(为了省去每次的移位，可以令第19页/共48页第十九页，共49页。)()()(sin(21)(anwSwananwdweenhcaccjwnjwadhd(n)以n=a为对称(duchn)，a=(N-1)/2第20页/共48页第二十页，共49页。如果选择的函数为 矩形(jxng)窗w(n)=RN(n)= 1 0 n N-1 0 其它 第21页/共48页第二十一页，共49页。)2/sin()2sin(1)(2110wwNeeeRwNjNnjwnjwN矩形(jx

13、ng)窗的频率特性为积）为（时域相乘，频域卷我们设计的滤波器特性)()()(nRnhnhNddeReHeHwjNjjw)()(21)()(第22页/共48页第二十二页，共49页。w=0一半波形(b xn)的积分最大的正峰最大的负峰第23页/共48页第二十三页，共49页。比较(a) 和(f)的特性可以看出：（1）经过矩形窗函数的加权后，理想滤波器陡直(du zh)的边缘被加宽，也就是在w=wc出现了过渡带，其值大约为RN(w) 的主瓣宽度4 /N。（2）通带内出现起伏，最大峰值在 wc-2/N处，起伏为0.75 dB=20lg(1+0.0895) （第一旁瓣峰值为最大幅度的8.95%，这种效应称

14、为不连续点上的Gipps效应）阻带衰减不为0，最大旁瓣为第一旁瓣，其值为-21dB=20lg(0.0895) ;在 过渡带两侧附近产生起伏的 “肩峰”和波纹，是由窗函数频响的旁瓣引起的，旁瓣相对值越大，起伏就越剧烈。以上两点就是(jish)对hd(n)用矩形窗截短后，在频域的反应。第24页/共48页第二十四页，共49页。 实际上矩形窗的频率特性如图(b)，它有比较窄的主瓣宽度（两零点间的宽度为 w=4 /N, 相当于过渡带宽度，过渡带越窄越好） ，但旁瓣电平比较高，第一旁瓣电平为20lg0.21=-13.56dB，阻带衰减比较慢。（3）增加截取长度N ，将缩小窗函数的主瓣宽度4/N，但却不能减

15、小旁瓣相对值。旁瓣与主瓣的相对值主要取决于窗函数的形状。因此，增加N，只能减小过渡带宽度，不能改善(gishn)滤波器通带的平稳性和 阻带的衰减。因此，减少通带内起伏和加大阻带(z di)的衰减只能从窗函数的形状上找解决方法。第25页/共48页第二十五页，共49页。4.几种窗函数主要(zhyo)指标，类型（1）矩形窗其他0101)(Nnnw2/sin2sin)(21wNweeWwNjjw其频率响应(pn l xin yn)为：主瓣宽为4/N,第一(dy)旁瓣电平为 -13dB 第26页/共48页第二十六页，共49页。（2）三角形窗（Bartlett Window）) 1() 1(21122)

16、1(21012)(NnNnNNnnNnw频率响应(pn l xin yn)为：)21(2)2/sin()4/sin(2)(wNwjjwewNwNeW主瓣宽为8/N,第一(dy)旁瓣电平为 -26dB 第27页/共48页第二十七页，共49页。（3）汉宁窗(Hanning)10)12cos(1 5 . 0)(NnNnnw（4）哈明窗（Hamming）10)12cos(46. 054. 0)(NnNnnw可合并(hbng)在一起其频谱为)(21)(21)()()12()12(NwjRNwjRjwRjweWaeWaeaWeW10)12cos()1 ()(NnNnaanw广义(gungy)哈明窗第28页

17、/共48页第二十八页，共49页。)(21)(21)()()12()12(NwjRNwjRjwRjweWaeWaeaWeW 广义哈明窗的频谱由三部分组成，由于(yuy)三部分的相互叠加，使旁瓣相互抵消，更多的能量集中在主瓣中。为矩形(jxng)窗的频谱二者之瓣宽度(kund)为(2 /N)4=8 /N 汉宁：最大旁瓣电平-31dB 哈明： -41 dB这两种窗函数与矩形窗相比：通常内起伏变小，阻带衰减变大（优点），但代价是过渡带加宽。第29页/共48页第二十九页，共49页。（5）布莱克曼窗(Blackman)10)14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(NnNnNnnw主瓣宽

18、度为6 2 /N=12 /N最大旁瓣电平(din pn)为-57dB旁瓣进一步抵消阻带衰减进一步增加，过渡带是矩形窗过渡带的三倍。第30页/共48页第三十页，共49页。比较(bjio)各窗函数，可得：矩形窗具有最窄的 主瓣，但也有最大的旁瓣、峰值和最慢的衰减速度。汉宁窗和哈明窗的主瓣稍宽，但有较小的旁瓣和衰减速度，是较为常用的函数。210020)2(!11)()()112(1()(kkxkxIINnInw其中称为第一类修正(xizhng)零阶贝塞尔函数（6）凯塞贝塞尔窗(kaiserBasel)第31页/共48页第三十一页，共49页。一般 I0(x)取1525次，便可满足精度要求(yoqi)参

19、数可以控制窗的形状，典型数据为4 9加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小。窗函数的类型：基本上两大类1）结构性窗：简单的窗函数经过相加，相乘或卷积来合成一个性能较好的窗。例：前5种 ，三角形是矩形的卷积 汉宁是三个矩形的叠加：2/ )1(2/ )1(414121)(NnjNnjeenw第32页/共48页第三十二页，共49页。2）按优化准则构造(guzo)的窗： Kaiser窗； 高斯窗4、各种窗函数(hnsh)的技术指标总结：用表表示（P211）第33页/共48页第三十三页，共49页。求理想(lxing)滤波器的单位取样响应hd(n) 已给定Hd(ejw) dweeHnhjwnjwdd)(21)(5、

20、窗函数法的设计(shj)步骤四种(s zhn)理想滤波器的频响函数： e-jwHd(ejw) = 0 c0c低通 e-jwHd(ejw) = 0 c0c高通第34页/共48页第三十四页，共49页。四种(s zhn)理想滤波器的频响函数： e-jwHd(ejw) = 0 chcl带通 e-jwHd(ejw) = 0 chcl,0带阻chcl,0chcl只给通带、阻带衰减和边界频率可选用理想(lxing)滤波器做为逼近函数：21,)()(sin()(Naananwnhcd第35页/共48页第三十五页，共49页。2）根据阻带衰减选择窗函数w(n)，根据允许的过渡带宽度选择相应的序列长度N。A. 选择

21、窗函数w(n)：根据阻带衰减，查表7.2.2（P211）B. 选择序列长度N： 设允许的过渡带用w=wp-ws表示，它近似(jn s)等于所选窗函数的过渡带宽度Bt（查表7.2.2）： w=Bt3）由窗函数(hnsh)w(n)和hd(n)求出滤波器的单位取样响应。 h(n)=hd(n)w(n)4）验证指标第36页/共48页第三十六页，共49页。100)()(sin()()()(nananwnwnhnhcd5) 1(21Na6、设计举例(j l)例 1：分别用矩形窗和汉宁窗设计FIR低通滤波器，设N=11，wc=0.2rad/s。 解：1)用理想低通作为逼近滤波器，用矩形窗设计100)5()5(

22、2 . 0sin()(nnnnhd第37页/共48页第三十七页，共49页。 2) 用汉宁窗设计(shj)102cos1 (5 . 0)5()5(2 . 0sin()()102cos1 (5 . 0)()()()(nnnnhnnwnwnhnhd第38页/共48页第三十八页，共49页。例 2：要求(yoqi)设计一低通滤波器，给定采样频率 sam=2104rad/s。通带截止频率p=2103rad/s，阻带截止频率s=21.5103rad/s,阻带衰减不低于-50dB。 解: (1)确定hd(n) 先求wc：由过渡带可得低通过滤器的3dB截止频率 c=(p+ s)/2= 2.5103rad/s。

23、则 )()(sin()(ananwnhcd25. 02samcccTw第39页/共48页第三十九页，共49页。解:(2)阻带(z di)衰减50dB，可选哈明窗。过渡带带宽：w= 2/ sam(s- p )1 . 0105 . 02102234792cos46.054.0)(5.3921.801.0888nnwNawNwN第40页/共48页第四十页，共49页。 (3)求滤波器冲激响应790)5 .39()5 .39(25. 0sin)(nnnnhd)5 .39cos(46. 054. 0) 5 .39()5 .39(25. 0sin()(nnnnh第41页/共48页第四十一页，共49页。7.3

24、 用频率采样法设计FIR滤波器1.设计原理(yunl)窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。有时技术指标是在频域给出的，用频率采样法更直接。 设待设计的FIR滤波器的频率响应用Hd(ejw)表示，对它在间等间隔采样N点，得到H(k)nkNjNnkNwjwdenheHkH)2(102)()()(H(k)反FFT得h(n)，将h(n)作为滤波器的单位取样响应，取Z变换即可。实际上对H(k)通过(tnggu)内插关系可得：第42页/共48页第四十二页，共49页。z=ejw ：10121)(1)(NkkNjNzekHNzzH)2()()2(21sin)2(2sin)()(10101)21(kNwkHkNwkNwNekHNeeHNkNkkNNjNjwjw式第43页/共48页第四十三页，共49页。21)2sin()2sin(1NjwewwNNw）（式中分析H(ejw)和Hd(ejw)之间的误差：由式可知：在采样点w=2k/N，k=0,1,2, 3 N-1, (w- 2k/N)=1.