拉格朗日插值法PPT学习教案

1、会计学1拉格朗日插值法拉格朗日插值法2iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAx 第二章 插值法和最小二乘法 2.1 引言引言 2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 2.3 差商与牛顿插值公式差商与牛顿插值公式 2.4 差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式 2.5 分段低次插值分段低次插值 2.6 三次样条三次样条 插值插值第1页/共34页3本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法:Lagrange插值、

2、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值和三次样条插值第2页/共34页4 自然地，希望g(x)通过所有的离散点x0 x1x2x3x4xp(x) f(x) 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。第3页/共34页5 2.1 引言引言且不利于在计算机上其函数形式可能很复杂对函数,),(xf个不同的点上的一组在区间可以获得量假如可以通过实验或测运算1,)(,nbaxfbxxxxan210nixfyii,2 , 1 , 0),(上的函数值一、插值问题第4页/共34页6niyxPii,2 , 1 , 0

3、)()()(xfxP近似代替并且用-(1)这就是插值问题, (1)式为插值条件,的插值函数为函数称函数)()(xfxP则称之为插值多项式为多项式函数如果,)(xP称为插值节点点, 2 , 1 , 0,nixi称为插值区间区间,ba满足比如多项式函数),(xP第5页/共34页7个等分点上若给定如函数5, 0,sinxy 其插值函数的图象如图问题是否存在唯一如何构造误差估计第6页/共34页800.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx

4、的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy)()(xPxf和插值函数对于被插函数处的函数值必然相等在节点ix)()(xfxP的值可能就会偏离但在节点外必然存在着误差近似代替因此)()(xfxP第7页/共34页9二、代数插值多项式的存在唯一性整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数插值多项式上的代数插值多项式为在区间设

5、函数,)(baxfy nnnxaxaxaaxP2210)(且满足niyxPiin,2 , 1 , 0)(-(2)-(3)第8页/共34页10满足线性方程组的系数即多项式nnaaaaxP,)(21000202010yxaxaxaann11212110yxaxaxaannnnnnnnyxaxaxaa2210-(4)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式nnnnnnxxxxxxxxxV212110200111101)(ninijijxxjixx 0第9页/共34页11定理1. 由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解nnnxaxaxaaxP2210)(niyxPiin,2 ,

6、 1 , 0)(-(2)-(3),(jixxji若插值节点则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法第10页/共34页12维的间是的多项式构成的线性空所有次数不超过n1n根据线性空间的理论个多项式组成维线性空间的基底也由这个11nn并且形式不是唯一的表示次多项式可由基底线性而任意一个n且在不同的基底下有不同的形式 2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式第11页/共34页13所有次数不超过的多项式的两个不同基底：1，2200，2即所有次数不超过的多项式可表示成：2210 xaxaa或：)() 3(20

7、02210 xxaxaa第12页/共34页14线性表示可由次多项式且任意)(,),(),()(10 xxxxPnnn线性无关显然)(,),(),(10 xxxn)()()()(1100 xaxaxaxPnnn的插值函数为某个函数如果)()(xfxPn为插值基函数则称)(,),(),(10 xxxn-(5)niyxPiin,2 , 1 , 0)(-(6)且满足(1)式为插值节点其中nixi,2 , 1 , 0,nixfyii,2 , 1 , 0)(维线性空间的一个基底为上述设1)(,),(),(10nxxxn第13页/共34页15上的一组节点为区间如果,210babxxxxannjxlnj,2

8、, 1 , 0),(次多项式我们作一组)()()()()()()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnjiiijixxxx0)()(nj,2 , 1 ,0-(7)()(10nxxxxxx)(1xn令)(1jnx则)()()(1110njjjjjjjxxxxxxxxxxn+1次多项式第14页/共34页16)()()()()()()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnj,2 , 1 ,0-(7)且)(ijxljiji01nji,2 , 1 ,0,-(8)线性无关显然)(,),(),(),(210

9、xlxlxlxln(请同学们思考)()(11jjnnxxxx从而第15页/共34页17的插值基函数作如果用)()(,),(),(),(210 xfyxlxlxlxln则的插值多项式为而,)()(xfxPn)()()()(1100 xlaxlaxlaxPnnn为待定参数、其中naaa10)(inxPniyxfii,2 , 1 , 0)(令即njijjxla0)(niyi,2 , 1 ,0由(8)式,可得niyaii,2 , 1 ,0-(9)-(10)第16页/共34页18为记为项式为插值基函数的插值多以上在节点于是)(), 1 ,0()(,), 1 ,0()(,xLnixlnixxfynji)(

10、)()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn)(xljnjiiijixxxx0)()(其中-(7,7)-(11)插值多项式的为式称LagrangexfyxLn)()()11(插值基函数次为称Lagrangennixlj), 1 ,0()()()(11jjnnxxxx第17页/共34页19例15)225(,13)169(,12)144()(fffxf满足已知.)175(,)(的近似值并求插值多项式的二次作fLagrangexf解:225,169,144210 xxx设)(0 xl插值基函数为的二次则Lagrangexf)()()(201021xxxxxxxx2025)225)(169(xx

11、)(1xl)()(210120 xxxxxxxx1400)225)(144(xx)(2xl)()(120210 xxxxxxxx4536)169)(144(xx15,13,12210yyy第18页/共34页20插值多项式为的二次因此Lagrangexf)()()()()(2211002xlyxlyxlyxL且)175(f)175(2L)175(15)175(13)175(12210lll73158230.13在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的

12、两个节点作线性插值第19页/共34页2111,kkkkyyxx函数值节点Lagrange线性插值基函数为)(xlk11kkkxxxx)(1xlkkkkxxxx1Lagrange线性插值多项式为)()()(111xlyxlyxLkkkk11kkkkxxxxykkkkxxxxy11参见图第20页/共34页22例).175(1fLagrange中的线性插值多项式求例用之间与在由于插值点22516917521xxx解:为插值节点与因此取22516921xx)(1xl212xxxx56225x)(2xl121xxxx56169xLagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为)()()(22

13、111xlyxlyxL5622513x5616915x第21页/共34页23)175(f5622517513561691751571285214.13所以Lagrange插值多项式的缺点：插值基函数计算复杂高次插值的精度不一定高第22页/共34页24 插值多项式中的误差插值多项式中的误差一、插值余项插值的从上节可知Lagrangexfy)(,njjjnxlyxL0)()(满足nixfxLiin, 1 , 0)()(,bax但)()(xfxLn不会完全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？第23页/共34页25)()(,xPxfban的插值多项式为上假设在区间)()

14、()(xPxfxRnn令上显然在插值节点为), 1 , 0(nixi)()()(iniinxPxfxRni, 1 , 0,0个零点上至少有在因此1,)(nbaxRn)()()(1xxKxRnn设)()()(101nnxxxxxxx为待定函数)(xK其中)()()()()(1xxKxPxfxRnnn第24页/共34页26)()()()(1xxKxPxfnn0)()()()()(1txKtPtftnn若引入辅助函数)(x则有0的区分与注意xt)(ix且)()()(1ininxxKxR0即个零点上至少有在区间若令因此,2,)(,nbatxxi,0)(xni, 1 , 0nixi, 2 , 1 , 0

15、,0)(也可微则可微因此若为多项式和由于)(,)(,)()(1txfxxPnn)()()()()(11xtRtxRtnn也可令)()()()(1xxKxPxfnn)()()()(1ininixxKxPxf第25页/共34页27根据Rolle定理,个零点上有至少在区间1),()(nbat再由Rolle定理,个零点上有至少在区间nbat),()( 依此类推阶导数为零的使得内至少有一个点在区间1)(,),(ntba0)()1(n)()1(tn)()()()()(1txKtPtftnn)()()()()1(1)1()1(txKtPtfnnnnn由于)()()()()()1(1)1()1()1(nnnn

16、nnxKPf因此)!1()()()1(nxKfn0第26页/共34页28)!1()()()1(nfxKn)()()(1xxKxRnn)()!1()(1)1(xnfnn所以)()()(截断误差的余项为插值多项式称xPxRnn定理1.有则插值节点为次插值多项式上的在为阶可微上在区间设,)()(,1,)(0baxbaxnbaxfxPnbaxfniin)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn,)()(01niinxxx其中.,),(xba且依赖于Lagrange型余项第27页/共34页29|)(|max)1(1xfMnbxan|)(|)(|011niinnxxxN设|)(|xRn则)()!1()(

17、1)1(xnfnn11)!1(1nnNMn第28页/共34页30例225,169,144,)(,. 1三个节点为若中在上节例xxf线性插值的余项为设LagrangexR)(1插值的余项为二次LagrangexR)(2解:.)175(截断误差近似值的线性和二次插值做试估计用fLagrangexxf21)(2341)( xxf2583)( xxf|)(|max2251692xfMx |)169(| f 41014. 1|)(|max2251443xfMx |)144(| f 61051. 1第29页/共34页31| )175(|)175(22N|)225175)(169175(|300| )175

18、(|)175(33N|)225175)(169175)(144175(|9300| )175(|1R22! 21NM3001014. 121421071. 1| )175(|2R33! 31NM93001051. 161631035. 2误差更小二次插值比线性插值的用时在求从以上分析可知Lagrange175,第30页/共34页32例5 , 5,11)(2xxxf设函数ninhihxnni, 1 , 0,10,515 , 5个节点等份取将插值多项式次的作试就Lagrangenxfn)(10, 8 , 6 , 4 ,2并作图比较.解:211)(iiixxfy插值多项式次作LagrangennjnjiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10, 8 , 6 , 4 ,2n第31页/共34页33-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50