中考压轴题专题：与圆有关的最值问题附答案

1、与圆有关的最值（取值范围）问题引例1:在坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2设tan/BOC=m则m的取值范围是引例2:如图，在边长为1的等边OAB中，以边AB为直径作。D,以O为圆心OA长为半径作。O,C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交。O于点E,BC=a,AC=b，求ab的最大值.1的圆O与/BAC的两边相切，P为圆O上一动点，P交射线ARAC于DE两点，连接DE,则线段DE引例3:如图，/BAC=60,半径长为以P为圆心，PA长为半径的圆长度的最大值为（）.一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的

2、最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1 .引例1:通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点QA构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2 .引例2:通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点AB构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3 .引例3:本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定

3、点A构成三角形的不变条件（/DAE=60）,构造弦DE直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1 .直观感觉，画出图形；2 .特殊位置，比较结果；3 .理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.第1页共21页三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1 .如图，A点的坐标为(-2,1),以A为圆心的OA切x轴于点B

4、,P(m,n)为。A上的一个动点，请探索n+m的最大值.例二、圆外一点与圆的最近点、最远点2 .如图，在RtABC中，/ACB=90,AC=4,BC=3点D是平面内的一个动点，且AD=2M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是3 .如图，。的直径为4,C为。O上一个定点，ZABC=30,动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.(1)在点P的运动过程中，线段(2)在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为;AD长度的最大值为.例三、正弦定理1.如图，ABC中，/B

5、AC=60,/ABC=45,AB=2V2,D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作。0分别交AB,AC于E,F两点，连接EF,则线段EF长度的最小值B4 .如图，定长弦CD在以AB为直径的。O上滑动(点C、D与点A、B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP,AB于点巳若CD=3AB=8,则PM长度的最大值是第2页共21页例四、柯西不等式、配方法1 .如图，已知半径为2的。0与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C,PC与。0交于点D,连接PAPB,设PC的长为x（2vx4）,则当x=时，PD?CD勺值最大，且最大值是为且2 .如图，线段AB=4,C为线

6、段AB上的一个动点，以AGBC为边作等边ACD等边BCE。外接于CDE则。O半径的最小值为（）.A.4B.23C.33/22D.23.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2在第一象限内，过点P作。的切线与x轴相交于点最小值是.例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1.如图，在RtABC中，/C=90,AC=qBC=8为半径画。O,P是。O上一动点，且PD为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是3 .如图，RtABC中，/C=90,/A=30,AB=4,以AC上的一点O为圆心OA为半径作OO,若OO与边BC始终有交点（包括RC两点），则线段AO的取值

7、范围是A第3页共21页4 .如图，OO的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线。于点Q,则PQ的最小值为()A.mB.近C.3l上的一个动点，PQ切例五、其他知识的综合运用1.(2015?济南)抛物线y=ax(2013秋？相城区校级期末)如图，已知A、B是。与x轴的两个交点，。的半径为1,P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点.(1)判断直线PE与。O的位置关系并说明理由；(2)求线段CD长的最小值；(3)若E点的纵坐标为m,则m的范围为.+bx+4(aw0)过点A(1,-1),B(5,-1),与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表

8、达式；(2)如图1,连接CB,以CB为边作？CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且？CBPQ的面积为30,求点P的坐标；1)(3)如图2,OO1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点(不与点A,E重合)，/MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.第4页共21页【题型训练】1.如图，已知直线l与。O相离，O屋l于点A,OA=5OA与。相交于点P,AB与。相若在。O上存在点Q使QAB以AC为底边的等切于点B,BP的延长线交直线l于点C,腰三角形，则。O的半径r的取值范围为2.已知：J3cm的速度向B点方向运动,切于点D,与边AB相交于

9、E、(1)若点G在线段BC上，则AB以每秒当点O运动了t秒(t0)时，以O点为圆心的圆与边AC相F两点，过E作EGLDE交射线BC于G.t的取值范围是(2)若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是.3.如图，OM。N的半径分别为2cm,4cm,圆心距MN=10cmP为。M上的任意一点，Q当P、Q在两圆上任意运动为。N上的任意一点，直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为以D为圆心1为半径作。OP则AOP积的最大值为P为。D上的一个动点，连接AP、D,(A)4(B)21(C)35).55.如图，在RtABC中，/C=90,AC=8,BC=。分别相交于点P、A,更46.如图，在等腰E不与点A重合)Q

10、则线段PQ长度的最小值是(8经过点).(D)17C且与边5RtABC中，/C=90,AC=BC=4D是AB的中点,，过A、DE三点作。0,。交AC于另一点F,线段EF长度的最小值为FEO7.若如图，A、B两点的坐标分别为D是。C上的一个动点，线段4AB相切一的动圆与CA、CB点E在AB边上运动(点在此运动变化的过程中，(2,0)、(0,2),0C的圆心的坐标为(-1，DA与y轴交于点E,则4ABE面积的最小值是0),半径为1,().C.D.第5页共21页8.如图，已知A、B两点的坐标分别为（-2,0）、（0,1）,OC的圆心坐标为（0,-1）,半径为1,D是。C上的一个动点，射线AD与y轴交于

11、点E,则ABE面积的最大值是（）.10119 .如图，等腰切。O于点Q,A.7鼻ABC中，/ACB=90,AC=BC=4。C的半径为1,点P在斜边AB上，PQ则切线长PQ长度的最小值为（）.B.C.3D.410 .如图/BAC=60,半径长心，PA长为半彳5的。P交射线为1的。O与/BAC的两边相切，P为。O上一动点，以P为圆ABAC于D、E两点，连接DE则线段DE长度的范围0）,点P是y轴右侧一点，且AP=2点B上直线y=x+10)、B(1,0),连接PA(-1,11.在直角坐标系中，点A的坐标为则mn的范围为.12.在坐标系中，点A的坐标为（3,pb,则pA+pB最大值是蔡老师点评：与圆有

12、关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法,再给出证明.几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1.特殊位置与极端位置法；2.几何定理（公理）法；3.数形结合法等.先探求出定值,（如线

13、段长度、角注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中,由冷点变为热点.具有很强的探索性（目标不明确），解题时需要运用动态思维、数形结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.这是由于这类问题特殊与一般相结合、第6页共21页参考答案:引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切(即到C点)时，/BOC最小，AC=2,OA=3,由勾股定理得：OC=。石，:/BOA=/ACO=90,/BOC+/AOC=90,/CAO+/AOC=90,/BOC=/OAC,tan/BOC=tan/OAC=C=前2随着C的移动，/BOC越来越大，:C在第一象限，C不到x轴点，即/BOC90,，t

14、an/BOc5,故答案为：m-.22引例2图引例2.ab亚;原题：(2013?武汉模拟)如图，在边长为1的等边4OAB中，以边AB为直径作。D,以O为圆心OA长为半彳5作圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交。于点E,BC=a,AC=b.(1)求证：AE=b+J5a;(2)求a+b的最大值；(3)若m是关于x的方程:m的取值范围.【考点】圆的综合题.x2+ax=b2+V3ab的一个根，求(1)首先连接BE,由4OAB为等边三角形,可求得/E的度数，又由AB为。D的直径，可求得可得/AOB=60,又由圆周角定理,CE的长，继而求得AE=b+73a；(2)首先过点C作CHLAB于H

15、,在RtAABC中,BC=a,AC=b,AB=1,可得（a+b）a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH_?AB=1+2CH1+2AD=1+AB=2,即可求得答案；（3）由x2+JXax=b2+%ab,可得（x-b）（x+b+J三a）=0,则可求得x的值，继而可求得m的取值范围.【解答】解：（1）连接BE,4OAB为等边三角形，ZAOB=60,/AEB=30,.AB为直径，ZACB=ZBCE=90,vBC=a,.BE=2a,CE=a,AC=b,AE=b+6a；第7页共21页(2)过点C作CHAB于H,在RtAABC中，BC=a,AC=b,AB=1,，a2+b2=1,saabcJac?bc=a

16、b?ch,ac?bc=ab?ch,22(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH+2AD=1+AB=2,.a+b忑，故a+b的最大值为正，(3)x2+-y/3ax=b2+/3ab,x2-b2+/3ax-|V3ab=0,(x+b)(x-b)+V3a(x-b)=0,一(x-b)(x+b+/ja)=0,.x=b或x=-(b+医a),当m=b时，m=b=ACAB=1,，0vmv1,当m=(b+a)时，由(1)知AE=-m,又ABvAE及AO=2,.1vm2,-2m/3.故答案为：D。sin30【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的

17、关系，再解决切线的性质来解决问题.本题属于中等难度题，难点在于找到DE与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、O、P三点共线时DE最大.引例3图例一、斜率运用【考点】切线的性质；坐标与图形性质.【专题】探究型.【分析】设m+n=k,则点P(m,n)在直线x+y=k上，易得直线y=-x+k与y轴的交点坐标为(0,k),于是可判断当直线y=-x+k与。A在上方相切时，k的值最大；直线y=-x+k与x轴交于点C,切。A于P,作PDx轴于D,AEXPD于E,连接AB,如图，则C(k,0),利用直线y=-x+k的性质易得ZPCD=45,则PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定

18、理和切线的性质得ABOB,APPC,AP=AB=1,CP=CB=k+2_,所以四边形ABDE为矩形，/APE=45,贝UDE=AB=1,PE=AP=，所以PD=PE+DE=(+1,然后在RtAPCD中，利用PC=JPD得至ij2+k=6(半+1)，解得k=-1,从而得到n+m的最大值为,-1.【解答】解：设m+n=k,则点P(m,n)在直线x+y=k上，当x=0时，y=k,即直线y=-x+k与y轴的交点坐标为(0,k),所以当直线y=-x+k与。A在上方相切时，k的值最大,第8页共21页直线y=-x+k与x轴交于点C,切。A于P,作PDx轴于D,AELPD于E,连接AB,如图，当y=0时，-x

19、+k=0,解得x=k,则C(k,0),二直线y=-x+k为直线y=-x向上平移k个单位得到，ZPCD=45,.PCD为等腰直角三角形，,CP和OB为。A的切线，.-.ABOB,APXPC,AP=AB=1,CP=CB=k+2,.四边形ABDE为矩形，ZAPE=45,DE=AB=1,PD=PE+DE=+1,在RtAPCD中,2APE为等腰直角三角形，PE=MAP=J,22.PC=V2PD,2+k=V2(噂+1),解得k=V2-1,n+m的最大值为&-1.BD0.E是直角4ABC斜边AB上的中点,，ceab士22点，ME=AD=1.CEM中，至TWM至+1,二22M是BD的中点，E是AB的中即24=

20、5CD,PC=2CD=2442432442432355在RtPCQ中，ZPCQ=90,/CPQ=/CAB,.CQ=PCtan/CPQ=PC,.CQ=；=-；V4第10页共21页-3be_3V2=BE-,tan/CTB42BE(3)当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BELPC于点E,.P是弧AB的中点，/PCB=45,，CE=BE=2血，又/CPB=/CAB,，tan/CPB=tan/CAB=.W,.PE=PE3PC=CE+PE=23&=,心22由（2）得，CQ=NpC4g.33【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟

21、练掌握切线的性质是解本题的关键.再变式：如图3时，CQ最长。图3例三、正弦定理1 .解：由垂线段的性质可知，当AD为4ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE,OF,过O点作OHLEF,垂足为H,在RtAADB中，/ABC=45,AB=2.AD=BD=2,即此时圆的半径为1,由圆周角定理可知ZEOF=ZBAC=60,.在RtAEOH中，EH=OE?sin/EOH=1由垂径定理可知EF=2EH=V3,故答案为：巫.2 .【考点】垂径定理；三角形中位线定理.【分析】当CD/AB时，PM长最大，连接OM,OC,得出矩形CPOM,推出PM=OC,求出OC长即可.【解答】解：法：如图：当CD

22、/AB时，PM长最大，连接OM,OC,.CD/AB,CPXCD,CPXAB,M为CD中点，OM过O,OMXCD,/OMC=/PCD=ZCPO=90,四边形CPOM是矩形，.PM=OC,OO直径AB=8,半径OC=4,即PM=4,故答案为：4.法：连接CO,MO,根据/CPO=/CM0=90,所以C,M,O,P,四点共圆，且CO为直径.连接PM,则PM为。E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大.即PMmax=4【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度.第11页共21页例四、柯西不等式、

23、配方法1.过O作OELPD,垂足为E,=PD是。O的弦，OEPD,，PE=ED,又/CEO=/ECA=/OAC=90,四边形OACE为矩形，CE=OA=2,又PC=x,.PE=ED=PC-CE=x-2,PD=2(x-2),.CD=PC-PD=x-2(x-2)=x-2x+4=4-x,.PD?CD=2(x2)?(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x3)2+2,-2x0,，点P的坐标为(6,4).(3)连接AB、EB,AE是圆的直径，/ABE=90./ABE=/MBN.又./EAB=/EMB,.EABsNMB.A(1,-1),B(5,1),，点O1的横坐标为3,将x=0代入抛物线的解析式得：y

24、=4,点C的坐标为(0,4).设点Oi的坐标为(3,m),.O1C=O1A,(m-4)2T滔(/1)解得：m=2,点O1的坐标为(3,2),.O1A=b+-4)2二下,在RtAABE中，由勾股定理得:be=AE2-斗/242=6,点E的坐标为(5,5).AB=4,BE=6.EABANMB,ABMB-EB的3Mnb=JIB.当MB为直径时，MB最大，此时NB最大.MB=AE=2由7；,2.【考点】圆的综合题.【专题】综合题.【分析】(1)连接OP,设CD与x轴交于点F.要证PE与。O相切，只需证ZOPE=90,只需证/OPB+/EPD=90,由OP=OB可得/OPB=/OBP=/FBD,只需证/

25、EPD=/EDP,只需证ep=ed,只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题.第13页共21页(2)连接OE,由于PE=CD,要求线段CD长的最小值，只需求PE长的最小值，在RtAOPE2中，OP已知，只需求出OE的最小值就可.(3)设。与y轴的正半轴的交点为Q,由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，而点P在点Q时，点E的纵坐标为1,由此就可得到m的范围.【解答】解：(1)直线PE与。O相切.证明：连接OP,设CD与x轴交于点F.;AB是。的直径，ZAPB=ZCPD=90. .E为CD的中点，PE=CE=DE=J-CD,./EPD=/EDP.OP=OB,

26、2/OPB=ZOBP=/DBF. ZDBF+ZEDB=90,/OPB+/EPD=ZOPE=90,EPXOP.OP为。的半径， .PE是。O的切线.(2)连接OE,/OPE=90,OP=1,PE2=OE2-OP2=OE2-1.当OECD时，OE=OF=2,此时OE最短，PE2最小值为3,即PE最小值为糜，.PECD,.线段CD长的最小值为23(3)设。O与y轴的正半轴的交点为Q,由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，当点P在点Q时，由PELOP可得点E的纵坐标为1.二,点P是圆上第一象限内的一个动点，m的范围为mv1.【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜

27、边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求OE的最小值是解决第(2)小题的关键.【题型训练】1.解：连接OB.如图1,AB切。于B,OAAC,OBA=/OAC=90,.ZOBP+ZABP=90,ZACP+ZAPC=90,/OP=OB,./OBP=/OPB,./OPB=/APC,ZACP=ZABC,.AB=AC,作出线段AC的垂直平分线MN,作OEMN,如图2,OEAC=AB=乙，u又.圆O与直线MN有交点,OE=R102一八#,V102-Kr,即：100r24r2,，r2或0,.r*5.OA=10,直线l与。O相离，.r10,.T亏年v10.故答案为：2M/

28、*寻0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点.过E作EGLDE交射线BC于G.(1)若E与B不重合，问t为何值时，4BEG与4DEG相似？(2)问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上？当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？(3)当点G在线段BC上(不包括端点B、C)时，求四边形CDEG的面积S(cm2)关于时间t(秒)的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定.【专题】综合题；压轴题；分类讨论.【分析】(1)连接OD,DF.那么ODLAC,则/AOD=60,/AED=30.由于/DE

29、G=90,因此/BEG=60,因此本题可分两种情况进行讨论：当/EDG=60,/DGE=30时，/BGD=/BGE+/EGD=60,这样/BGD和/ACB相等，那么G和C重合.当/DGE=60时，可在直角9OD中，根据/A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于/A=/AED=30,那么AD=DE,可在直角4DEG中，用AD的长表示出DG,进而根据DG/AB得出的关于CD,AD,DG,AB的比例关系式即可求出此时t的值.(2)本题可先求出BG的表达式，然后令BGBC,即可得出G在BC延长线上时t的取值范围.(3)由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用AABC的面积

30、-祥DE的面积-BEG的面积来求得.在前两问中已经求得AD,AE,BE,BG的表达式，那么就不难得第15页共21页出这三个三角形的面积.据此可求出S,t的函数关系式.根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值.【解答】解：（1）连接OD,DF.AC切。O于点D,，ODAC.在RtAOAD中，ZA=30,OA=-73t,OD=OF=21t2,AD=OA?cosA=El.又/FOD=90-30=60,./AED=30,.AD=ED=且.DEXEG,，/BEG=60,ABEG与ADEG相似./B=ZGED=90,2当/EGD=30,CE=2BE=2(6%号且t)则/BGD=60

31、=ZACB,此时G与C重合,12-y-,BE=6百-近t,BEGADEC,.zDE=AD,CD=12-22汩/-313t7M,CDDE当/EGD=60,DGBC,DG/AB.在RtADEG中，/DEG=90.DG=V3t.在RtAABC中，ZA=30,BC=6,.AC=12,AB=66，.CD=123tT.DG/AB,:，ABAjC!解彳导t=21答：当t为2或时，ABEG与AEGD相似;(2)AC切。O于点D,，OD，AC.在RtDAD中，ZA=30,OA=/3t,ZAED=30,DEXEG,BEG=60.在RtAABC中，ZB=90,ZA=30,BC=6,.AB=6门，BE=6VS-pt,

32、_99.RtABEG中，/BEG=60,BG=BE?tan60=18-t.当048t甫,即至qq时点g在线段BC上；当18-?t6,即0VtV上时，点G在线段BC的延长线323上；(3)过点D作DMAB于M.在RtAADM中，/A=30,13DM=AD=t.S=SZABC-S/AED-SZBEG=36/3-6334）一、一所以当t=半时，s取得最大值，最大值为2等(t-7建）23遇誓22得一（3tCD,.当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，CD=BC?AC系B=4.8.故选：B.ac=V!bW=5,-OA=SAADC弓掰=2有即SZAOES/ADC=-SAABE

33、=SAAOB-SaAOE另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C.（8题答图）8.解：当射线AD与。C相切时,ABE面积的最大.连接AC,7.解：若4ABE的面积最小，则AD与。C相切，连接CD,则CDXAD;RtAACD中，CD=1,AC=OC+OA=3;由勾股定理，得：AD=2亚；Saacd=-AD?CD=/2；易证得AOEsADC,./AOC=/ADC=90,AC=AC,OC=CD,RtAAOCRtAADC,AD=AO=2,连接CD,设EF=x,DE2=EF?OE,/CF=1,.DEfj黑（肝2）,ACDEAAOE,解得x=|Sa号2乂得1+2）2号.故选:B.第17页共21

34、页【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与。C相切时，4ABE面积的最大.9.解：当PCXAB时，PQ的长最短.在直角4ABC中，AB=j居芯寸）彳”=4、反,PC=AaB=2VI.PQ是。C的切线，.1.CQXPQ,IPZCQP=90,二,PQ寸FC?-皿引（班）2-/S。故选A【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当（10题答图）10.解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，连接OM,PD,可得F为ED的中点，ZBAC=60,AE=AD,z.AAED为等边三角形,AF为角平

35、分线，即/FAD=30,在RtAAOM中,.PD=PA=AO+OP=3,在RtAPDF中，/FDP=30,OM=1,ZOAM=30,OA=2,PD=3,，PfR,根据勾股定理得:2孑5,则DE=2FD=3詹.同理可得：DE的最小值为-73,3V3DE3y/3o311.1mn5；12.0m1；2+y2，.PA2+PB2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)与圆的交点上时，OP取得最值，13.解：设P(x,y),PA2=(x+1)2+y2,PB2=(x1)+2,.OP2=x2+y2,PA2+PB2=2OP2+2,当点P处于OM二OP的最大值为OM+PM=5+2=7,PA2+PB2最大值为100.【

36、点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大.第18页共21页附：1.如图，直线厂通工+4分另与x、y轴交于点3直线AB的另一个交点为D.A、B,以OB为直径作OM,。M与（1）求/BAO的大小；（2）求点D的坐标；（3）过O、D、A三点作抛物线，点Q是抛物线的对称轴l上的动点，探求：|QO-QD|的最大值.【考点】一次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标,的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；从而得到OA、OB的长度，再求出/BAO（2）连接OD,过D作DEXOA于点E,根据直径所对的圆

37、周角是直角可得ZBDO=90,再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出OD,直角三角形两锐角互余求出/DOE=60,然后解直角三角形求出OE、DE,再写出点D的坐标即可；（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q为OD与对称轴的交点时求解即可.|QO-QD|=OD的值最大，然后【解答】解：（1）;直线y=-x+4分别与x、y轴交于点3，当y=0时，一-x+4=0,解得x=4/;当x=0时，y=4,A、B,A(4履,0),B(0,4).，OA=4反，OB=4,在RtAAOB中，1.tanZBAO=0A4733?/B

38、AO=30;(2)连接OD,过D作DEXOA于点E,OB是。M的直径，/BDO=/ADO=90,在RtAAOD中，./BAO=30,.OD=OA=工4石=2用，/DOE=60,在RtDOE中,UOE=OD?cosZDOE=2DE=OD?sinZDOE=2喈=3,点D的坐标为(V3,3）；（3）易知对称轴l是OA的垂直平分线，延长OD交对称轴l于点Q,此时|QO-QD|=OD的值最大，理由：设Q为对称轴l上另一点，连接OQ,DQ,则在4ODQ中，|QO-QD|vOD,.|QO-QD|的最大值=OD=2VS.I2、颉圄f3）颉药I【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数定义，解直角三角形，