D10_1二重积分概念

1、第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 曲边梯形的面积曲边梯形的面积1xix1ixxabyO解决步骤解决步骤 :1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx2) 取近似取近似.在第i 个窄曲边梯形上任取窄曲边梯形

2、面积)()(1iiiiiixxxxfAi3) 求和求和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限.令, max1inixniiAA10limniiixf10)(lim目录 上页 下页 返回 结束 解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xOy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“分割分割, 取近似取近似, 做和做和, 求求 极限极限”

3、D),(yxfz 目录 上页 下页 返回 结束 D),(yxfz 1)“分割”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“取近似”在每个k, ),(kk3)“作和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xOy

4、 平面上占有区域平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为),(),(常数若yx设设D 的面积为的面积为 , 则则M若若),(yx非常数非常数 , 仍可用仍可用其面密其面密 解决解决.1)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n相应把薄片也分为小块相应把薄片也分为小块 .DyxO“分割分割, 取近似取近似, 做和做和, 求求 极限极限” 目录 上页 下页 返回 结束 yx2)“取近似”中任取一点k在每个),(kk3)“求和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk

5、),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量O目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: “分割分割, 取近似取近似, 做和做和, 求求 极限极限” 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkk任取任取一点一点,),(kkk若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使nkkkkfI10),(li

6、m可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在在D上的上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和积分和Dyxfd),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数 , 目录 上页 下页 返回 结束 DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf元素d也常记作,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(yxO

7、目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续, 则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 2Dyxfd),(. 3, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 则 )

8、,(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(21d),(d),(DDyxfyxf01( , )lim(,)nkkkkDf x y df 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有01( , )lim(,)nkkkkDf x y df 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(f

9、dyxfD证证: 由性质6 可知,),(maxd),(1),(minyxfyxfyxfDDD由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线.1相切 yx, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上1y2x1

10、OD目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 估计下列积分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解解:200由于yx22coscos1001积分性质5100200 I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyOD 的面积为目录 上页 下页 返回 结束 回顾回顾、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积,)(baxA在设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间则对应于小区间d,xxx的体积元素为的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为因此所求立体体积为xxAVbad)(xabx

11、xxd)(xA上连续上连续,目录 上页 下页 返回 结束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底

12、为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 曲顶柱的底为ab21( )( )yxyxabbxaxyxyxD)()(),(2121( )( )( , )d( , )dbxaxDf x yxf x yyx目录 上页 下页 返回 结束 Oy)(1yx)(2yxxdcbxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若若D为为 X - 型区域型区域 则则O)(1xy)(2xyxbyDax若若D为为Y - 型区域型区域dycyxyD)()(:21y

13、xyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则则一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目录

14、 上页 下页 返回 结束 121221d y例例2. 计算计算,dDyxI其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域. 解法解法1. 将将D看作看作X - 型区域型区域, 则则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y - 型区域型区域, 则则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分

15、的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyO1. 比较下列积分值的大小关系:目录 上页 下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在

16、D上有, 03x又因323321xyxyxyyOx1D目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002目录 上页 下页 返回 结束 P140 5(1)(3)，6(4) P156 1(2), 2(4)第二节 作业作业目录 上页 下页 返回 结束 5 . 04 . 0 I即备用题备用题1. 估计 的值, 其中 D 为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上

17、在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yOx2D1目录 上页 下页 返回 结束 220yx 0)ln(22 yx2. 判断的正负.) 10(dd)ln(122yxyxyx解：解：当1yx时，故0)ln(22 yx又当时，1 yx于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyOD目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解: 分积分域为,321DDD则原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11D0)21 (3猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项yxO目录 上页 下页 返回 结束 xyO8. 设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象