甘肃省中学八级数学下册《分式线性映射》课件-北师大版演示教学

1、甘肃省中学八级数学下册分式线性映射课件-北师大版分式线性在扩充分式线性在扩充z上加如下补充定义：上加如下补充定义： ( ),(),adcc 若若0,c 在在z处，处，定义定义 (0)dbzadbcca分式线性的逆映射：分式线性的逆映射：学学.科科.网网也是分式线性映射。也是分式线性映射。分式线性映射是由下列分式线性映射是由下列3种特殊映射复合而成：种特殊映射复合而成：1(1);(2);(3)zbazz，是一个平移映射。，是一个平移映射。zb(1)如下图所示如下图所示 ：图（二）图（二）(2) ,0,az a是一个旋转与伸缩映射。是一个旋转与伸缩映射。,iizreae(),ir e 若设若设那么

2、那么即即z z先转一个角度先转一个角度 再将再将 |z伸长伸长(或缩短或缩短) |a见图：见图： 倍，得到的。倍，得到的。图（三）图（三）(3),是一个反演映射，见下图：是一个反演映射，见下图：1z图（四）图（四）由定理由定理2，可见映射，可见映射 6.2.2 保角性保角性1,.azbz对应的，且具有保角性。因此，有如下定理：对应的，且具有保角性。因此，有如下定理：是一一是一一定理定理1 分式线性映射在扩充复平面是一一对应分式线性映射在扩充复平面是一一对应返回返回的，且具保角性。的，且具保角性。 将圆周映射成圆周，这是因为分式线性由平移、将圆周映射成圆周，这是因为分式线性由平移、如将直线看做半

3、径为如将直线看做半径为的圆，则分式线性映射的圆，则分式线性映射定理定理2 分式线性映射将扩充复平面分式线性映射将扩充复平面z映射成扩充复平面映射成扩充复平面上的圆周，具有保圆性。上的圆周，具有保圆性。 6.2.3 保圆性保圆性 上的圆周上的圆周伸缩及反演等伸缩及反演等3种映射复合而成，可以验证这种映射复合而成，可以验证这3种映射都是将圆周映射成为圆周的，所以有：种映射都是将圆周映射成为圆周的，所以有：6.2.4 保对称性保对称性 分式线性映射还有所谓保持对称点不变的性质，分式线性映射还有所谓保持对称点不变的性质，我们知道对称点的一个很重要特性，即我们知道对称点的一个很重要特性，即 ,A B是关

4、于圆周是关于圆周 C是经过是经过 的一对对称点的充要条件的一对对称点的充要条件,A B的任何圆周的任何圆周与与 C正交。见下图正交。见下图 : : 返回返回图（五）图（五）即保对称性。即保对称性。综上所述，再由分式线性映射的保角性，有：综上所述，再由分式线性映射的保角性，有： 定理定理1 设点设点 12,z z是关于圆周是关于圆周C C一对对称点，一对对称点， 那么在分式线性映射下，它们的像点那么在分式线性映射下，它们的像点1与与 2也是关于也是关于C C 的像曲线的像曲线 的一对对称点的一对对称点.6.2.5 保交比性保交比性若若 1234,z zz z至少了至少了3点是不相同的，称点是不相

5、同的，称 为扩充复平面中的为扩充复平面中的4个点，个点，132412341423()()( ,)()()zzzzz zz zzzzz为这为这4点的交比。点的交比。返回返回可以证明：在分式线性映射下，有：可以证明：在分式线性映射下，有：12341234(,)( ,) z zz z即交比在分式线性下是不变的，这就是所谓即交比在分式线性下是不变的，这就是所谓保交比性。保交比性。 定理定理4 在分式线性映射下，在分式线性映射下，4点的交比不变。点的交比不变。 6. .2. .6 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 定理定理5 设分式线性映射将扩充复平面上设分式线性映射将扩充复平面上3

6、个相个相异点异点123,z zz指定映射为指定映射为 123, 写成写成则此分式线性映射就被唯一确定，并且可以则此分式线性映射就被唯一确定，并且可以323211231231 zzzzzzzz返回证：由定理证：由定理4，只须指定，只须指定3对对应点：对对应点： ,(1,2,3)iiiazbiczd再由保交比性再由保交比性 123123(,)( , ) z zz z就可得到就可得到(6.2.4). 设有两个分式线性映射设有两个分式线性映射 ( ),( )f zg z同时将同时将 123,z zz分别映射为分别映射为 123, 则分式线性映射则分式线性映射123, 1( )f g有有3个不动点个不动

7、点因此它是恒等映射。即因此它是恒等映射。即1( )f g( )( ).f zg z，故，故推论推论 设设 ( ) f z是一分式线性映射，且是一分式线性映射，且1122( ),()f zf z可表示为可表示为 ，则此分式线性映射，则此分式线性映射1122,(为任意复常数)zzkkzz特别地，若特别地，若12( )0,() f zf z,则有则有12(6.2.5)zzkzz例例1 在平面上给出中心分别在在平面上给出中心分别在1z与与1 z，半径为，半径为2(如下图所示如下图所示) ，在映射，在映射的两圆弧所围的区域的两圆弧所围的区域zizi平面上的什么区域？平面上的什么区域？下映射成下映射成图（

8、六）解：两圆弧的交点为解：两圆弧的交点为i i与与- -i i, ,且相互正交，交点且相互正交，交点I I与与- -i i分别映射为分别映射为W W平面上的无穷远点和原点。因平面上的无穷远点和原点。因此所给区域经映射后映射成以原点为顶点的角此所给区域经映射后映射成以原点为顶点的角形域，张角为形域，张角为.2 要确定角形区域的位置，只要定出它边上异于要确定角形区域的位置，只要定出它边上异于顶点的任何一点就行。取所给圆弧顶点的任何一点就行。取所给圆弧C1与正实轴的与正实轴的交点交点21,z 它对应的点是：它对应的点是：21(12)(12).2122 iii这一点在第三象限的分角线这一点在第三象限的

9、分角线1C上上,由保角性知由保角性知C2映射为第二象限的分角映射为第二象限的分角2, C角形区域如图角形区域如图(六六)所示。所示。从而映射成的从而映射成的例例2 求把上半平面求把上半平面Im( )0z映射成单位圆映射成单位圆的分式线性映射。的分式线性映射。| 1解：由于上半平面总有一点解：由于上半平面总有一点z实轴要映射成单位圆，而实轴要映射成单位圆，而z与与z是关于实轴的一对对称点，所以根据定理是关于实轴的一对对称点，所以根据定理5的推论知，这个分式线性映射有如下形式：的推论知，这个分式线性映射有如下形式：zkz的圆心的圆心w=0.注意到实轴上的点注意到实轴上的点Z对应着对应着| 1上式两

10、边取模得上式两边取模得:1 | |zkz此时此时| 1zz因此因此|k|=1,即即ike，这里，这里是任意实数。是任意实数。上的点。上的点。故所求分式线性映射为：故所求分式线性映射为：,(Im( )0)izez 由此可见，把上半平面映射成单位圆的分式由此可见，把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的，而是有无穷多个。特别线性映射不是唯一的，而是有无穷多个。特别地取地取 i则上式变为则上式变为(6.2.7)iziezi应用中取应用中取0，则其反函数，则其反函数11ziz把把| 1z映为映为Im0.例例3 求将上半面求将上半面 Im( )0z映射成单位圆映射成单位圆| 1且满足条件且满足条件

11、 ( )0,arg( )2 ii的分式线性映射的分式线性映射。解：由条件解：由条件( )0i，知所求的映射将上半，知所求的映射将上半平面中的点平面中的点zi映射成单位圆的圆心映射成单位圆的圆心,所以由所以由(6.2.7)得：得：iziezi因为因为22( )|(),()2iiz iz iiizeeziarg( )argarg()(),0,222 iiie从而所求的映射为：从而所求的映射为：.zizi例例4 求将单位圆求将单位圆 | 1z映射成单位圆映射成单位圆 | 1的所有分式线性映射。的所有分式线性映射。解：设分式线性映射把解：设分式线性映射把(| 1)za a映射为映射为0，则把，则把1a映射为映射为，由，由(6.2.5)式，式，这种分式线性映射有形式：这种分式线性映射有形式：11.()1 azazakkkakzaz当当ize时，时，11iizaeaazea，因此，因此1| 1.k故所求的分式线性映射为：故所求的分式线性映射为：(02 ,| 1)izieazaz例例5 求将上半平面求将上半平面 Im( )0z映射成圆映射成圆 0| R且满足条件且满足条件 0( ),( )0 ii,的分式线性映射。的分式线性映射。 解：容易看出，映射解：容易看出，映射0R将将0 R映射成映射成1，这时，这时0()0 但将但将Im(z)0映射成映射成1,且满足且满足( )0i的映射为的映射为i