大学物理第刚体的转动

1、第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动Chapter 3. Fixed-axis rotation of Rigid Body内容联系与线索内容联系与线索 在实际问题研究中，许多物体的大小和形状不在实际问题研究中，许多物体的大小和形状不能忽略。物体在外力作用下一般都要发生形变，这能忽略。物体在外力作用下一般都要发生形变，这对研究物体的运动规律带来了困难。如果物体的形对研究物体的运动规律带来了困难。如果物体的形变很小，而且只着重研究物体在外力作用下的整体变很小，而且只着重研究物体在外力作用下的整体运动规律时，可把物体看作是运动规律时，可把物体看作是在外力作用下不发生在外力作用下不发生形变的理

2、想物体形变的理想物体刚体。刚体。它是继质点之后的又一它是继质点之后的又一个理想模型。这种在一定条件下，把复杂具体的物个理想模型。这种在一定条件下，把复杂具体的物体抽象为简单的体抽象为简单的理想模型的方法，是科学研究常用理想模型的方法，是科学研究常用的方法。的方法。它可以使我们抓住事物的本质，突出主要它可以使我们抓住事物的本质，突出主要矛盾，从而找出它所遵循的主要规律。我们必须熟矛盾，从而找出它所遵循的主要规律。我们必须熟悉和掌握这种方法。悉和掌握这种方法。第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 质点力学是刚体力学的基础。质点力学是刚体力学的基础。在外力作在外力作用下，刚体的基本运动形式可以

3、分为平动和用下，刚体的基本运动形式可以分为平动和转动。平动时刚体上各点的运动情况完全相转动。平动时刚体上各点的运动情况完全相同，可用其上任一点代表。因此，同，可用其上任一点代表。因此，刚体平动刚体平动的规律与质点运动规律完全相同。的规律与质点运动规律完全相同。本章主要本章主要研究刚体绕定轴转动的基本规律。研究刚体绕定轴转动的基本规律。 本章主要采取与质点运动本章主要采取与质点运动类比类比的研究方的研究方法。法。类比也是一种常用的科学研究方法。类比也是一种常用的科学研究方法。学学习本章必须要注意把有关刚体运动的概念、习本章必须要注意把有关刚体运动的概念、规律和研究方法与质点力学进行类比。在类规律

4、和研究方法与质点力学进行类比。在类比中体会它们的联系与区别，从而加深对物比中体会它们的联系与区别，从而加深对物理规律内在一致性的理解。理规律内在一致性的理解。第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 教学要求教学要求 1. 理解角位移、角速度、角加速度等概理解角位移、角速度、角加速度等概念；掌握线量与角量的关系。念；掌握线量与角量的关系。 2. 理解力矩和转动惯量的概念；掌握刚理解力矩和转动惯量的概念；掌握刚体转动定律并能进行简单计算。体转动定律并能进行简单计算。 3. 掌握刚体转动动能的概念，能正确应掌握刚体转动动能的概念，能正确应用转动动能定理。用转动动能定理。 4. 了解角动量的概念，

5、掌握角动量定理了解角动量的概念，掌握角动量定理和角动量守恒定律。和角动量守恒定律。第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 3-1 刚体运动的描述刚体运动的描述一、刚体一、刚体 Rigid Body1）理想模型；）理想模型；2）在外力的作用下，任意）在外力的作用下，任意 两点均不发生相对位移两点均不发生相对位移, ,即即 3）内力无穷大的特殊质点系。）内力无穷大的特殊质点系。 刚体力学是质点力学的应用和发展，刚体力学是质点力学的应用和发展，所有研究质点、质点系的方法均可应用。所有研究质点、质点系的方法均可应用。 在任何外力作用下，其形状在任何外力作用下，其形状和大小均不发生改变的物体。和大小

6、均不发生改变的物体。说明：说明： mi mjcrji 第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 二、刚体运动学二、刚体运动学1. .刚体的平动刚体的平动 刚体上所有点的运动轨迹都相同。刚体上所有点的运动轨迹都相同。 刚体相对于刚体相对于某一惯性系（如地某一惯性系（如地面）固定不动的直线的转动面）固定不动的直线的转动。2. .刚体定轴转动刚体定轴转动3. .刚体的一般运动刚体的一般运动平动和转动的合成运动。平动和转动的合成运动。第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 三、描述刚体定轴转动的物理量三、描述刚体定轴转动的物

7、理量转动平面转动平面: :在刚体中选取垂直于在刚体中选取垂直于转轴的平面转轴的平面S。建立坐标轴。建立坐标轴1. .角坐标与角位移角坐标与角位移)(t 是标量，规定逆是标量，规定逆时针方向转动时，角时针方向转动时，角坐标为正。坐标为正。第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 xivim ir os固定轴固定轴z)()(ttt 2.角速度角速度 Angular Velocitydtd 22dtddtd 3.角加速度角加速度 Angular Acceleration4. .角量角量与线量与线量的关系的关系 第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.1 刚

8、体运动的描述刚体运动的描述 )(22102022000 ttt5.角量角量运动学运动学方程方程 2 iiniiiirararv何其相似乃尔何其相似乃尔!3-2 转动定律转动定律 一、力矩一、力矩 torqueFrMFrFdM sin的方向由右手法则确定的方向由右手法则确定M第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 几个力同时作用同几个力同时作用同一刚体，合力矩为一刚体，合力矩为 1.定轴转动定轴转动, ,力矩的方向力矩的方向可用正、负号表示。可用正、负号表示。 iiMM2. .内力对转轴的力矩为零内力对转轴的力矩为零结论：刚体内结论：刚体内力不产生力矩力不产生力矩z

9、FrdPo二、转动定律二、转动定律 Law of Rotation of a Rigid Body考察刚体上任意质元：考察刚体上任意质元： iirmiiFf在在 和和 的作用下作圆的作用下作圆周运动，由牛顿定律：周运动，由牛顿定律：)1(iiiiamfF ) 2(coscos:iniiiiiamfFn )3(sinsin: iiiiiiamfFifi iFi irO第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 法向分力产生的力矩为零。法向分力产生的力矩为零。ir )3(切向分力的力矩为：切向分力的力矩为： 2sinsiniiiiiiiiiiirmramfrFr iiiii

10、iiiiiiiiirmramfrFr2)sinsin(对组成刚体的质点系来说：对组成刚体的质点系来说：因为内力产生的力矩为零，于是总力矩：因为内力产生的力矩为零，于是总力矩： iiimrM2令令 iiimrJ2第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 dtdJJM 刚体所受合外力矩等于刚体刚体所受合外力矩等于刚体转动惯量和角加速度的乘积。转动惯量和角加速度的乘积。 iiirmJ2 mdmrJ2适用于质量离散分布刚体适用于质量离散分布刚体适用于质量连续分布刚体适用于质量连续分布刚体描述刚体转动惯性大小的物理量。描述刚体转动惯性大小的物理量。三、转动惯量三、转动惯量 Mo

11、ment of Inertia 刚体转动惯量的大小与下列因素有关：刚体转动惯量的大小与下列因素有关： （1）形状大小分别相同的刚体，形状大小分别相同的刚体，质量质量大的大的转动惯量大；转动惯量大； （2）总质量相同的刚体，总质量相同的刚体，质量分布质量分布离轴越离轴越远，转动惯量越大；远，转动惯量越大； （3）对同一刚体而言，转轴位置不同，转动对同一刚体而言，转轴位置不同，转动惯量的大小就不同。惯量的大小就不同。 第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 x1. .转动惯量的计算转动惯量的计算1.1 均匀细棒均匀细棒a.转轴过中心与杆垂直转轴过中心与杆垂直取质元：取质

12、元：dxlmdm 22222121mldxlmxdmrJll dmdxO第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 b. .转轴过棒一端与棒垂直转轴过棒一端与棒垂直202231mldxlmxdmrJl xOdmdx1.2 均匀细圆环均匀细圆环转轴通过圆心并与环面垂直转轴通过圆心并与环面垂直解：解：质元质元dlRmdm 2 220222RmdlRmRdmRJR ROmdm第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 一般物体的转动惯量要由实验确定。一般物体的转动惯量要由实验确定。2.平行轴定理：平行轴定理：2mdJJc JC为通过质心的转轴的为通过质

13、心的转轴的转动惯量转动惯量, ,另一轴与该轴相另一轴与该轴相互平行，相距为互平行，相距为 d，m为刚为刚体的质量。体的质量。CdzCz第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 3.转动惯量具有可加性。转动惯量具有可加性。 思考：下列物体的转动惯量思考：下列物体的转动惯量C2121mlJc l41? J? J241mRJc 实心圆盘实心圆盘有空洞圆盘有空洞圆盘例例3-1 质量为质量为mA的物体的物体A初始时初始时静止在光滑的静止在光滑的水平面上，它和一轻绳索相连接，此绳索水平面上，它和一轻绳索相连接，此绳索跨过半径为跨过半径为R、质量为、质量为mC的园柱形滑轮的园柱形滑

14、轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB的物体的物体B 上，滑轮上，滑轮与轴承间的摩擦力矩为与轴承间的摩擦力矩为 。 MABC 1）这两物体的加速度为多少）这两物体的加速度为多少? 水平和铅直两段绳索的张力为多少？水平和铅直两段绳索的张力为多少？y2）B物体下落距离物体下落距离 y 时速率为多少？时速率为多少？第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 解：解：隔离物体，受力分析隔离物体，受力分析) 1 (:1amTAA 2TBP分别根据分别根据牛二定律牛二定律和转动定和转动定律列方程律列方程1T)(amTgm:BBB22 )(JMRTRT:C412 2T1TNRA

15、CB)()ay(v3221 )(Ra5 滑轮视为均匀圆盘，滑轮视为均匀圆盘，221RmJC 联立求解方程（联立求解方程（1）（）（5）即可。）即可。第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 解：解：受力分析受力分析取任一状态，由转动定律取任一状态，由转动定律 JmglMsin21外外231mlJ sin23lg例例3-2 一长为一长为l 质量为质量为m 的匀质细杆竖直放置的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链，其下端与一固定铰链o 相连，并可绕其转相连，并可绕其转动。由于此杆处于非稳定平衡状态动。由于此杆处于非稳定平衡状态, ,当其受当其受到扰到扰动时动时, ,细杆将

16、在重力的作用下由静止开细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链始绕铰链o 转动。试计算细杆转到与铅直线转动。试计算细杆转到与铅直线成成 角时，杆的角加速度和角速度。角时，杆的角加速度和角速度。 mgo第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 sin23lgdtddddtd 00sin23dlgd3sin2gddl :0, 0,0:00得得时时由由初初始始条条件件 t)cos1(23 lg mgo第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 转动定律转动定律 一、质点的角动量定理和角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律方向：右手定则确定方向：右手定则确定1.

17、质点的角动量质点的角动量O Oxyz大小：大小：OABSmrvL 2sinvmrL 定义：质点定义：质点m 相对于相对于参考点参考点O 的角动量为的角动量为注意：注意：1） 是矢量是矢量LrBvmA12: skgm单位单位L 3-3 角动量守恒定律角动量守恒定律 Law of Conservation of Angular Momentum第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 rv2）角动量与参考角动量与参考点的选取有关点的选取有关0 L JmrmrvL 2oromv sinmrvLr mvov m第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动

18、量守恒定律角动量守恒定律 2.质点的角动量定理质点的角动量定理第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 dtLddtJddtdJM )( 反映了反映了力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 质点的角动量定理质点的角动量定理 2112ttLLdtMLddtM或或3.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律恒矢量vmrL0 M有有心心力力通通过过参参考考点点合合力力F远远远远近近近近rmvrmv r二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律iriviiiirvmL J方向：沿方向：沿OZ轴轴 JL矢量式：矢量式：刚体对刚体对Z

19、轴的角动量为：轴的角动量为：任取质元任取质元 imo o1. .刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量iLim iiiiiiiiiizrmrmrvmL22 Z第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 2.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理)( JdtddtLdM 2112ttJJdtM恒恒矢矢量量时时，外外 JLM03.刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律00 JJ 由角动量定理由角动量定理)( JdtddtLdM 第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 4.注意：注意：4.1 对

20、一般刚体运动对一般刚体运动, ,该定理对通过质心的转该定理对通过质心的转轴的转动也是成立的轴的转动也是成立的. .即合外力对通过质心的轴的力矩即合外力对通过质心的轴的力矩恒为零时恒为零时, ,则对该轴的角动量守恒则对该轴的角动量守恒. .21CCJJ(0)CM CCCCFFF常常平平架架陀陀 螺螺 仪仪mgC第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 4.2 角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚体也成立非刚体也成立. .一般有三种情况：一般有三种情况：A：J不变，不变， 也不变，保持匀速转动。（常也不变，保持匀速转动。（常

21、平架上的回转仪）。平架上的回转仪）。B：J发生变化，发生变化， 要发生改变，要发生改变，但但J 不变。不变。F F 第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 C：开始不旋转的物体，当其一开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。朝另一反方向旋转。4.3 一些实际现象的讨论一些实际现象的讨论芭蕾舞演员的旋转动作芭蕾舞演员的旋转动作艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合直升飞机的尾浆直升飞机的尾浆双浆直升飞机双浆直升飞机1L2LC例例3-4 质量为质量为M、半径为、半径为R的转台，可绕通

22、过中的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为心的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？求对地而言，人和转台各转动了多少角度？已知：已知：0 ,R,m,M求：求：台台人人 ,解：解：以以M、m为研究对象为研究对象 0外力矩外力矩M故角动量守恒故角动量守恒以地面为参照，建立轴以地面为参照，建立轴的正方向如图的正方向如图+MXm第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 )(JJ10 台台人人02122 台台人人MRmR)(m

23、M22台台人人 ttdtmMdt002台台人人人和台原来都静止，人和台原来都静止，故角动量故角动量台台人人 ,+MXm若人和转台的角速度分别为若人和转台的角速度分别为人台第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 ttdtmMdt002台台人人)(mM32台台人人 )(42 台台人人mMm 4台台mMM 2人人AAm人台第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 3-4 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理一、力矩的功一、力矩的功 Work Done By a Torque研究力矩的空间累积效应，由功的定义式：研究力矩的空间累积效应，由功的定义式： MddAMrFrdFdsFsdFdA ？力力矩矩刚刚体体功功力力质质点点角角位位移移位位移移 AMsdFAFdsd MdA力矩的功：力矩的功：第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3. 4动能定理动能定理 1）M 恒定时，恒定时， MA2）几个力矩同时作用时，几个力矩同时作用时， iiMM iidMA3）刚体）刚体内内力矩做功之和为零力矩做功之和为零说明：说明：第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3. 4动能定理动能定理 二、力矩的功率二、力矩的功率 MdtdMdtdWN三、转动动能三、转动动能刚体分