通信原理第3章-随机过程

1、 通信原理通信原理北京邮电大学北京邮电大学n3.1 引言n3.2 随机过程的统计（概率）特性n3.3 平稳随机过程n3.4 高斯随机过程（正态）n3.5 平稳随机过程通过线性系统n3.6 高斯白噪声n3.7 窄带平稳随机过程n3.8 余弦波加窄带平稳高斯随机过程n3.9 匹配滤波器n3.10 循环平稳随机过程第三章第三章 随机过程随机过程n通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和噪声的波形更是随机的、不可预测的。称其为随机干扰和随机噪声随机干扰和随机噪声。n虽然随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的，但它们具有一定的统计规律性。3.1 引言引言随机过程X(t)在每个时刻t是一个随机变量。n 不

2、同的时刻对应不同的随机变量，它们的分布函数可能不同，记为t的函数：F(x,t)=PX(t)x , 称作随机过程X(t)的一维分布函数一维分布函数。n如果对应的概率密度p(x,t)存在，称为X(t)的一维一维概率密度概率密度。1. 随机过程的分布函数和概率密度随机过程的分布函数和概率密度3.2 随机过程的统计（概率）特性随机过程的统计（概率）特性对于t时刻的随机变量X=X(t)，有如下数字特征(1) 数学期望数学期望(统计平均值统计平均值)：EX(2) 二阶矩二阶矩：EX2(3) 方差方差：扣除均值后的二阶矩就一般随机过程而言，以上数字特征都是t的函数。2.随机过程随机过程X(t)的数字特征的数

3、字特征对于t1和t2时刻的两个随机变量X1=X(t1)， X2=X(t2)：(1) 相关值EX1X2一般是t1和t2的二元函数，称为自自相关函数相关函数，记为RX(t1,t2)。(2)自协方差函数自协方差函数：扣除均值后的自相关函数。(3) 归一化协方差函数归一化协方差函数(相关系数相关系数)：扣除均值，再使方差归一化为后的自相关函数。12121212XXXXXXEEn对X(t)在n个时间点t1,t2,tn上采样将得到n个随机变量，也即一个随机向量，其联合分布函数为随机过程的多维分布函数随机过程的多维分布函数 1111,; ,nnnnF xx ttP X txX tx12121112,., ,

4、 ,.,., ,.,.nnnnnF x xx t ttp xx ttx xx 联合密度n对随机过程X(t)在n个时间点t1,t2,tn上采样，对随机过程Y(t)在m个时间点t1,t2,tm上采样，将得到n+m个随机变量：X(t1),X(t2),X(tn),Y(t1),Y(tm)。其联合分布函数定义为3. 两个随机过程的联合分布两个随机过程的联合分布 11111111, ,; , ,),; (),mmnmnnmnF xx tt yyP X txYX tYyxytttt独立性n称两个随机事件A和B独立，若其联合概率可分解为各自概率之积：P(A,B)=P(A)P(B)n称两个随机变量X和Y独立，若其

5、联合分布函数可分解为各自的分布函数之积：FXY(x,y)=FX(x)FY(y)n称两个随机过程X(t)和Y(t)独立，若其联合分布函数可分解为各自的联合分布函数之积：FXY(x,y)=FX(x)FY(y)n互相关函数互相关函数：对任意时间t1和t2，随机变量X(t1)和Y(t2)的相关值是二元函数： R(t1,t2)=EX(t1)Y(t2)n互协方差函数互协方差函数：扣除均值后的互相关函数两个随机过程的相关性两个随机过程的相关性n如果对于任意n和t1,t2,tn以及t有3.3 平稳随机过程平稳随机过程12121212,., , ,.( ,.,)nnnnp x xx t ttp x xx ttt

6、ttt则称X(t)为严平稳随机过程严平稳随机过程宽平稳随机过程宽平稳随机过程若对于随机过程X(t)，一元函数E X(t)与t无关，且二元函数EX(t1)X(t2)可以化成一元函数 R(t2t1) ，则称X(t)为宽宽平稳随机过程（广平稳随机过程（广义平稳）义平稳）。也即：均值是常数，自相关函数只与时间差有关。宽平稳与严平稳的关系宽平稳与严平稳的关系l宽平稳不一定是严平稳：宽平稳只涉及二维分布，不包含多维分布的信息。l严平稳一定是宽平稳，除非该随机过程的均值或自相关函数不存在。联合宽平稳随机过程联合宽平稳随机过程若X(t),Y(t)都是宽平稳随机过程，且互相关函数RXY(t1,t2)=EX(t1

7、)Y(t2)可化为一元函数RXY(t2t1)，则称X(t),Y(t)为联合宽平联合宽平稳随机过程稳随机过程复平稳过程复平稳过程复随机过程X(t)在任意时刻t是一个复随机变量自相关函数定义为RX(t1,t2)=EX*(t1)Y(t2)若EX(t)、EX*(t)X(t+t)与t无关，则为宽平稳若还有EX(t)X(t+t)与t无关，则其实部Xc(t)与虚部Xs(t)是实平稳过程 csjX tXtXt *c1Re2XtX tX tXt ccc*,141414XXXXR t tX t X tX tX tX tX tX t X tX t X tX t X tX t X tRRRRttttttttttttE

8、EE XX t X tRtt设： E各态历经性（遍历性）各态历经性（遍历性）令x(t)是X(t)的某一个样本函数，若X(t)的某个数字特征可以通过x(t)的对应时间平均得，则称该随机过程的该数字特征具有遍历性遍历性。 一个样本函数可以代表全体样本函数！ 概率平均等价于时间平均： E1( )( )d2limTTTx tx ttTn均值遍历均值遍历：X(t)的样函数x(t)的时间平均值以概率1等于 EX(t):n自相关遍历自相关遍历：样函数x(t)的时间自相关函数以概率1等于随机过程X(t)的自相关函数X(t1r)P(x tE ( ) (Pr)1x t x tX t X tttEn宽遍历过程：宽遍

9、历过程：均值和自相关都具有遍历性n严遍历过程：严遍历过程：所有数字特征都遍历n遍历过程遍历过程默认指宽遍历过程宽遍历过程遍历过程一定是平稳过程遍历过程一定是平稳过程( )( )x tX tE说明EX(t)与t无关( )( )x t x tX t X tttE说明EX(t)X(t+t)与t无关n若X(t)是平稳随机过程，且n则X(t)是遍历过程。 0;( ) dtRXttE无直流分量的平稳过程是遍历过程无直流分量的平稳过程是遍历过程其中FT(f)是X(t)截短到T之后的傅氏变换 2limXTxTFfPffTPE=E随机过程随机过程X(t)的功率谱密度的功率谱密度PX(f)是所有样是所有样本本x(

10、t)的功率谱密度的功率谱密度Px(f)的数学期望的数学期望n随机过程的功率谱密度是平均自相关函数平均自相关函数的傅立叶变换 2( )edjfXXRPf ttt ( )XX t X tX t X tRtttEE维纳维纳-辛钦定理辛钦定理 2222( )( )ededed) ()( ) ()edXjfxjfjfjfXxPfx t x tx t x tPRRf t t t tttttttttEEEE j2j2j2j2ed( )()ed( )ed( )edfXffxXfxxRX t X tRfRPfP t t t tttttttttEEn遍历过程的功率谱密度是一个样本的功率谱：n平稳随机过程的功率谱密

11、度： j2j2j2j2ed( )()ed( )ededfXffXfXXPfRX t X tRR t t t tttttttttE随机过程功率谱密度的性质随机过程功率谱密度的性质非负性： 2lim0TxTXXTffPPfE=E 2(d)0XXXXtRPPffE功率是电压平方的平均值，是0时刻的自相关值，也是功率谱密度的面积：随机过程功率谱密度的性质随机过程功率谱密度的性质实随机过程的平均自相关函数及功率谱密度都是实偶函数： )( )()()u tXXRX t X tX uX uRttttt EE实偶函数的傅氏变换是实偶函数n若从随机过程X(t)中任意采n个点，所得n个随机变量总是服从联合高斯分布

12、，则称X(t)为高高斯随机过程斯随机过程。3.4 高斯随机过程（正态）高斯随机过程（正态）1)对于高斯过程，宽平稳=严平稳： 对于宽平稳高斯过程，两个随机变量之间的协方差只与时间差有关。将式(3.4.1)左边的t1,t2,tn统一偏移t时，协方差矩阵B不变，即(3.4.1)右边不变2)对于正态随机过程的任何两个时刻的随机变量，不相关也就是统计独立。 在式(3.4.1)中代入n=2和b21=b12=0，右边可分解为两个一维概率密度函数的乘积n一维正态概率密度表示式为 2221()( )exp22xap x图3.4.1 正态概率密度曲线erfc函数和Q函数22erfc( )ed22txxtQx22

13、1( )ed2txQ xtPr( )XxQ x 1Pr=erfc2Xxx1Pr=erfc22xxXxQ0,1X若N10,2X若N20,X若Nn若X(t)是高斯过程，则联合高斯随机变量的线性组合还是高斯高斯过程通过线性系统还是高斯过程 hdiiiY tXtXh ttttttn若X(t)是高斯过程，则g(t)Y(t)也是高斯过程。高斯过程乘以确定函数g(t)还是高斯过程对任意n，若X1,Xn服从联合高斯分布，则g1X1,gnXn也服从联合高斯分布( )( ) ()d( )()dY tXh th u X tuu图3.5.1 平稳随机过程通过线性系统3.5 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性

14、系统( )(0)YXYm tm Hm(0 )()dHh uu 1. 随机过程随机过程Y(t)的均值的均值(统计平均统计平均)与t无关冲激响应的面积就是直流增益12( , )( )YYR t tRt2. 随机过程随机过程Y(t)的自相关函数的自相关函数与t无关。平稳过程通过线性系统还是平稳过程平稳过程通过线性系统还是平稳过程 ( , + )( )dXYXYXRt tRuRh uuttt3. X(t)和和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度的互相关函数与互功率谱密度X(t) 和Y(t) 的互功率谱密度 j2j2j2j2eddededdedfXYXYfXfXfuXXPfRRu h uuRuh uuPf

15、h uuPf Hf t t ttttttt2()|() |()yxPfHfPf4. Y(t) 的功率谱密度的功率谱密度样本x(t) 和y(t) 的功率谱密度关系：随机过程X(t) 和Y(t) 的功率谱密度关系：22()|() |()YyxXPfPfHfPfHfPfEE平稳过程通过希尔伯特变换器：H(f)=jsign(f) H fX tX t 2XXXPfHfPfPf XXRRtt希尔伯特变换不改变功率谱和自相关函数 XXXPfHf Pf XXXRRtt希尔伯特反变换是jsign(f) XXXPfHf Pf XXXRRtt H fXXtt平稳高斯过程的解析信号等价于X(t)通过传递函数为1+jj

16、sgn(f)的线性系统，因此Z(t)是平稳高斯过程 jZ tX tX t 21 sgn4ZXXPfPffPf u f *jjjjjj2j2ZXXXXXXXXZt Z tX tX tX t XRX tX tX t X tX ttX tX t X tRRRRRRttttttttttttttEEE +jjjjj0jXXXZXXXX tXRZ t Z tX tX tX t X tX tX t XtX t X tX tRRRRtttttttttttttEEEn令nw(t)为高斯随机过程，其功率谱密度3.6 高斯白噪声高斯白噪声则称nw(t)为高斯白噪声 fNfPn20nnw(t)与能量信号g(t)的内积

17、、卷积都是均值为0、方差为N0Eg/2的高斯随机变量。 高斯白噪声性质高斯白噪声性质 w00,2dgZnNt g tEtN w0,2d0gZng tEtNtttNn白高斯噪声在正交基上的投影相互独立 则若j1t与j2t正交则X1与X2统计独立若 1w12w2ddXntttXntttjj 01122d2NtX XttjjEn3、限带高斯白噪声，功率谱密度HH002)(ffffNfPn *2(j)2XXZZt Z tRRRttttE3.7 窄带平稳高斯过程窄带平稳高斯过程窄带平稳高斯过程窄带平稳高斯过程就是白高斯噪声nw(t)通过窄带带通滤波器的输出X(t)X(t)的解析信号Z(t)是0均值复高斯

18、平稳过程：此外： )0(ZRZ t Z tttE 4ZXPfPf u f jZ tX tX tX(t)的复包络XL(t)是0均值的复高斯平稳过程 cj2Lf tXtZ t e ccLccccj2j2j2j2j2j2cc*cc*eeeee2je2cos22+2jcos2sin2sinftf tXftf tffZXXXXXXRZtZ tZt Z tRRRffRRfRRfttttttttttttttttttEE Lcccccc440XZXXPfPffPffffPffufff其他复包络的功率谱是窄带过程功率谱的正频率部分向下搬移注：当ffc时，因为是窄带信号，所以PX(f+fc)=0此外： ccLLL

19、j2j2e)e0(ftf tXRXt XtZ tZ tttttE=E因此，XL(t)的实部（同相分量）Xc(t)及虚部（正交分量）Xs(t)都是0均值高斯平稳过程。 LcsjXtXtXt ccsccos2sin2X tXtf tXtf t *cLLL1Re2XtXtXtXt *sLLL1Im2jXtXtXtXt cLLL*LLLL*1411Re42XXXXRXtXtXtXtRRRttttttE sLLL*LLLL*1411Re42XXXXRXtXtXtXtRRRtttttt E因此，X(t)的同相分量Xc(t)及正交分量Xs(t)具有相同的自相关函数，因而也具有相同的功率谱密度。 csLcc1

20、Re2cos22sinXXXXXRRRRffRttttttt=由此得到 cs000XXXRRRX(t)的功率=其同相分量Xc(t)的功率=其正交分量Xs(t)的功率，三者有相同的一维概率密度函数。另外，给定t时，Xc(t)及Xs(t)具是两个独立同分布的零均值高斯随机变量。 LLLL*LLLLc22*LLs*Im1Re1122j1=044j00XXXtXtXtXtXt XtXRtXtXtXtjR EEEE对自相关函数做傅氏变换： cscccccccc=0XXXXXXu ffu fPfPfPffPffPffPffffff其他注：当ffc时，u(fcf)=0，PX(f+fc)=0当PX(f)对称于fc时，XL(t)的功率谱是偶函数，其自相关函数是实函数，于是 cLcLLcsj2j2ccc11ReRee221Re e21cos22cos2cos2fXZXfXXXXRRRRRfRfRftttttttttttt窄带平稳高斯过程的一维概率分布窄带平稳高斯过程的一维概率分布cscs22cscscs221(,)()()exp22X XXXxxpx xpxpxnXc(t)、Xs(t)的概率密度n将Xc+jXs转换为极坐标：