误差理论-2012.10.12.

1、公邮公邮 （意：物理实验王老师（意：物理实验王老师 ） 密码：密码：123456本人邮箱本人邮箱 电话：电话(有开通飞信有开通飞信) QQ: 1137023757王宁星王宁星本次课的目的本次课的目的1、掌握误差、测量等基本概念、掌握误差、测量等基本概念2、掌握数据处理的方法、掌握数据处理的方法误差及偏差误差及偏差 误差的定义误差的定义误差误差测量值测量值 x真值真值a真值：真值：客观客观 存在的真实值存在的真实值由于由于真值的不可知真值的不可知，误差实际上很难计算，误差实际上很难计算偏差偏差：测量值与近似真实值的差值为：测量值与近似真实值的差值为偏差偏差 xxxii

2、误差误差测量值测量值 x真值真值anxxnii/ )(1 假定对一个量进行了假定对一个量进行了n次等精度测量，测得的值次等精度测量，测得的值为为xi (i =1, 2，n)，可以，可以用多次测量用多次测量的的算术平均值算术平均值作为被测量的作为被测量的最佳值最佳值(假定无系统误差假定无系统误差)近似真实值近似真实值等精度测量等精度测量：在相同条件下进行的多次测量在相同条件下进行的多次测量 测量列测量列：在等精度测量中的一组在等精度测量中的一组n 次测量的值次测量的值 用用贝塞尔公式贝塞尔公式表示表示意义意义: 表示表示某次某次测量值的随机误差在测量值的随机误差在 之间的之间的 概率为概率为68

3、.3。 f()- 0 112 nxxSniixx 贝塞尔贝塞尔公式公式 naxniix 12 注意：若分子是误差，则标准差：注意：若分子是误差，则标准差：（中学用此公式）（中学用此公式）标准偏差标准偏差 （也称（也称均方误差均方误差）2. 算术算术平均平均值值的的标准标准偏偏差差 意义意义: 测量测量平均值平均值的随机误差在的随机误差在 之间的概率之间的概率 为为 68.3%。反映了平均值接近真值的程度。反映了平均值接近真值的程度。xx f()- 0 112 nnxxnniixx 3、t 分布分布 实际中，测量次数实际中，测量次数n不可能趋于无穷。当测量次数不可能趋于无穷。当测量次数较少时，随

4、机误差服从的规律是较少时，随机误差服从的规律是t分布。分布。正态分布正态分布f()t分布分布0t分布的曲线比正态分分布的曲线比正态分布的要平坦，两者的分布的要平坦，两者的分布函数不同，布函数不同，n较小时较小时, , t分布偏离正态分布较分布偏离正态分布较多，多，n较大时较大时, , 趋于正趋于正态分布态分布 112 nnxxttniix A A 112 nxxntniiA AxSntt分布分布标准偏差标准偏差(正态分布）正态分布） 112 nnxxnniixx t分布分布 与正与正态分布的态分布的误差计算误差计算关系关系t值与测量次数有关值与测量次数有关nt /下表是当置信度下表是当置信度

5、p=0.95的的 t 值值 n34567891015100t4.33.182.782.572.452.362.312.262.141.972.481.591.204 1.050.9260.8340.7700.7150.5530.139所以对一般的教学实验，也可用所以对一般的教学实验，也可用S Sx x（贝塞尔公式）贝塞尔公式）作为作为估算误差的公式。估算误差的公式。 112 nxxntniiA AxSnt由上表可知，当由上表可知，当55n1010时，时， 接近接近1 1 A AS Sx xnt / 与与 及及t分布分布的误差估算公式的误差估算公式对比对比x x 测量列中测量列中某次某次测测量值

6、的标准偏差量值的标准偏差平均值平均值的标准偏差的标准偏差 112 nxxSniixx 112 nnxxnniixx 测量次数测量次数n为为有限次：用有限次：用t分布（也分布（也可用可用贝塞尔公贝塞尔公 式）式）计算直接测量量的误差。计算直接测量量的误差。xSnt对对t分布分布 112 nnxxttniix A A测量结果的测量结果的不确定度不确定度 22B BA Ax: 用统计方法评定用统计方法评定B : 用估算方法评定用估算方法评定 取取 仪器误差仪器误差A取取偶然误差偶然误差合成合成不确定度不确定度 因真值得不到，测量误差就不能肯定，所以用因真值得不到，测量误差就不能肯定，所以用不确定不确

7、定度度的概念对测量数据做出评定比用误差来描述更合理。的概念对测量数据做出评定比用误差来描述更合理。 不确定度不确定度：表示由于测量误差的存在而对被表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度。测量值不能确定的程度。仪器不确定度仪器不确定度一般取：最小刻度（分度值）的一般取：最小刻度（分度值）的1/10、1/5、1/2 或或最小刻度最小刻度例：用米尺测量某物的长度为例：用米尺测量某物的长度为202.5mm,仪器不确定度取仪器不确定度取0.5mm,0.5mm,即：即：L L= = 202.5 0.50.5mm（1）对仪器准确度未知的）对仪器准确度未知的（2）对非连续读数仪器（如数字仪表）对非连

8、续读数仪器（如数字仪表）取其最取其最末位末位数的一个数的一个最小单位最小单位 （3 3）已知仪器准确度）已知仪器准确度如一个量程如一个量程150m150mA，准确度，准确度0 0.2 2级的电流表级的电流表测某一次电流，读数为测某一次电流，读数为131131.2m2mA最大绝对最大绝对不确定度不确定度为为I I=150=1500.20.20 0.3m3mA测量的结果：测量的结果：I131131.2 20 0.3m3mA最大绝对不确定度：最大绝对不确定度：级级别别量量程程 I 如：电表如：电表电表板面上的符号电表板面上的符号交流交流U磁电系仪表磁电系仪表 或或 1.01.0准确度等级准确度等级为

9、为1.02绝缘强度试验电压为绝缘强度试验电压为2千伏千伏或或水平放置水平放置或或垂直放置垂直放置二级防外磁场：二级防外磁场：在在强度为强度为400AW/m(5奥斯特奥斯特)的直流的直流均匀外磁场下，仪表指示值的改变不应超过均匀外磁场下，仪表指示值的改变不应超过1.0 BU1.02B工作环境：工作环境：温度：温度：2050；湿度：；湿度：95以下以下 直流直流（2）A类不确定度类不确定度（偶然误差）（偶然误差）较大时：较大时：(1) A类不确定度与仪器不确定度类不确定度与仪器不确定度 相差不大时：相差不大时：可只取仪器可只取仪器不确定度不确定度(3)只测一次或只测一次或A类不确定度很小类不确定度

10、很小：I Ix AAx 22B BA A因因 不确定度不确定度 22B BA A x 112 nnxxtniiA A2222I IA AB BA Ax 实际中不确定度的处理原则：实际中不确定度的处理原则：xxx x 只取只取1位，下一位位，下一位0以上的数以上的数一律进位一律进位 2910 R例：例：s02.013.10 tx的的末位末位与与x所在位所在位对齐对齐，下，下1位简单采取位简单采取4舍舍5入入（1）测量值和）测量值和不确定度不确定度测量测量结果的表达：结果的表达：测量值、测量值、绝对不确定度绝对不确定度和和相对不确相对不确定度定度例：算得例：算得x2.12mm取取x3mm注：以上为

11、本教材的规定。不同的教材，有差异。注：以上为本教材的规定。不同的教材，有差异。算得算得R910.12,R1.234 算得算得t10.126s,t0.0123s%100 xEx %1000 理理理理xxxE有时候还需要将测量结果与有时候还需要将测量结果与公认值公认值或或理论值理论值进行比较进行比较（即：（即：百分误差百分误差）：）：相对相对不确定度不确定度mm5 . 00 .20002 Lmm4 . 03 .8021 L与与哪个测量不确定度小？哪个测量不确定度小？%050. 03 .8024 . 0%10011 xELL %025. 00 .20005 . 0%10022 xELL 一般取一般取

12、2位位（2）相对不确定度）相对不确定度%100 xExx %100000 xxxExxx 相对相对不确定度不确定度完整的结果完整的结果表示表示或或例例：用用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，测量，测量6次，结果如下（单位次，结果如下（单位mm）：）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10则：则：测得值的最佳估计值为测得值的最佳估计值为mm09.250 L 0 0. .0 04 4m mm m0 0. .0 03 32 2 （ )1)(12nnLLtniiL不确定度不确定度（t =2.57)mmmm05. 009.2

13、50 L%020. 009.25005. 0 LE游标卡尺的仪器游标卡尺的仪器不确定度不确定度取取0.02mm,即即I=0.02mm合成不确定度合成不确定度m mm m05. 002. 004. 02222 I IAL 例：例：用螺旋测微计用螺旋测微计(分度值：分度值：0.01mm）测某一钢丝的直）测某一钢丝的直径，径，6次测量值次测量值yi分别为：分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同时读得螺旋测微计的零位同时读得螺旋测微计的零位y0为：为：0.003, 单位单位mm，请给出测量结果。，请给出测量结果。解解：最佳值：最佳值不确定度不确定

14、度 0.247(mm)0.0030.2500 yyy0 0. .0 00 03 3m mm m ) 1()(12nnyytniiy%1 . 2247. 0005. 0 yE结果：结果：y=0.2470.005mm仪器不确定度：仪器不确定度：I I=0.004mm=0.004mmm mm m005. 0004. 0003. 02222 Iy 或取或取1/21/2分度值分度值0.005mm对于一级千分尺，一般对于一级千分尺，一般取取0.004mm0.004mm。实验室一般。实验室一般是一级千分尺。是一级千分尺。 222222)()()(zyxNzFyFxF ，zyxFN不确定度不确定度不确定度不确

15、定度 222)ln()ln()ln(zyxNNzFyFxFNE byaxN （1）22)()(yxNba （2）cbazykxN 222)()()(zcybxaNEzyxNN 完整的结果表示完整的结果表示xxx %100 xExx xExx 和相对不确定度哪个简单，先算哪个！和相对不确定度哪个简单，先算哪个！x 由准确数字和一位可疑数字组成。由准确数字和一位可疑数字组成。0 5 10 15 20mm例：例：13.7mm准确准确可疑（估读）可疑（估读）2、有效数字的、有效数字的运算规则运算规则（1）加减）加减运算的结果末位以参运算的结果末位以参与运算的与运算的小数位小数位最少者相同。最少者相同。

16、 如如 7.65+8.268=15.92 75-10.356=65（2）乘除）乘除运算结果的运算结果的有效位数有效位数多少，以参与运算的有效位数多少，以参与运算的有效位数最少的相同最少的相同或多一位或多一位。 如如 3.841 2.42=9.30 40009=3.6104 2.0000.99=2.00 7.65+) 8.268 15.918=15.92可疑可疑取一位可疑取一位可疑 3.8 4 1 2.4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 4 7 6 8 2 9.2 9 5 2 2=9.30注意：不同注意：不同 3.8 4 1 8.4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 43 0 7 2 83

17、 2.3 4 0 2 2=32.343位位4位位下划下划线表线表示可示可疑位疑位(3)三角函数、对数、指数三角函数、对数、指数运算的结果有效数字运算的结果有效数字三角函数三角函数：一般取四位：一般取四位 例：例：sin30o07(4位）位） sin30.12o=0.5018对数对数：结果的有效数字，其小数点后的位数（尾数）：结果的有效数字，其小数点后的位数（尾数） 与真数的位数相同与真数的位数相同 例：例：ln15.55=2.7441（4）自然数自然数 1,2,3,不是测量而得，可以视为无穷不是测量而得，可以视为无穷多位有效数字的位数，如多位有效数字的位数，如D2R，D的位数仅由直测的位数仅由

18、直测量量R的位数决定。的位数决定。4位位（5）无理常数无理常数的位数也可以看成很多位有效数字。的位数也可以看成很多位有效数字。例如例如L2R, 应比应比R多取一位多取一位，若，若R2.23cm（3位），则位），则取取3.142（4位）位）, 或用计算器输入或用计算器输入 。注：注：1、不用算误差时，要用上面的规定确定有效位数。、不用算误差时，要用上面的规定确定有效位数。 2、若为减少运算中出现过多位时用此规定，但中、若为减少运算中出现过多位时用此规定，但中 间过程可间过程可多取多取12位（可疑位）位（可疑位）（但不能任意减（但不能任意减 少）少），最后由不确定度决定，最后由不确定度决定。 例例

19、 已知一圆柱体的质量已知一圆柱体的质量 , 高度高度 , 用千分尺测量得直径用千分尺测量得直径D的数据如的数据如下表，求圆柱体的密度下表，求圆柱体的密度及不确定及不确定度度。)(01. 006.14g g M)mm(05. 015.67 HHD次数次数i 1 2 3 4 5 6平均平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645解：解： )mm(645. 51iDnD次数次数i 1 2 3 4 5 6平均平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645 561034.6357. 2162 nnDDtiD=0.00373

20、0.0038(mm)查表，查表，n6时的时的t值值中间过程可多中间过程可多保留保留12位位)(.DDDmm00706455 合成不确定度合成不确定度mm006300050003802222.DD I I 千分尺的分度值是千分尺的分度值是0.01mm，若仪器若仪器不确定度不确定度取取1/2分度值：分度值： I I= 0.005mm= 0.005mm)/(.HDM322cmg3663871565645014163061444 )(01. 006.14g g M)cm(005. 0715. 6)mm(05. 015.67 H)(.)(.Dcm0007056450mm00706455 比参加运算的数据

21、中最少的位比参加运算的数据中最少的位数多一位，或就用数多一位，或就用表示。表示。%19. 0 )(.%.3g/cm0200159036638190 )g/cm(02. 037. 83 222)()2()(HDMEHDM cbazykxN 222)()()(zcybxaNzyxN )cm(005. 0715. 6 H)(.Dcm0007056450 )(01. 006.14g g M22271560050564500007020614010).().().( 用附表用附表中最后中最后一行公一行公式式与不确定度所在位与不确定度所在位对齐对齐（指小数位）（指小数位）相对不确定度取相对不确定度取2位（

22、有效位（有效位，不是小数位）位，不是小数位）不确定度取不确定度取1位位HDM24 作图时要作图时要先整理出先整理出(或算出）数据表格或算出）数据表格，并，并要要用正用正规纸张作图规纸张作图。T(C0)R()15.0 20 .0 25 .0 30 .0 35.0 40 .0 45 .0 50 .0 55.0T(0C)15.724.026.531.135.040.345.0R()2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107RT 曲线曲线3.1003.0503.0002.9502.9002.8502.8000.01 为为2小格小格数据中数据中最后最后一位一位准确位准确位(即

23、数据的倒数第二位）即数据的倒数第二位）对应于对应于整数格整数格： 1 C0 为为2小格小格数字标整数，数字标整数，标到可疑位标到可疑位作者：张三作者：张三 日期：日期：2010.3.15.不当图例展示不当图例展示：n(nm)1.65005007001.67001.66001.70001.69001.6800600400玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图图图1曲线太粗，不曲线太粗，不均匀，不光滑均匀，不光滑。应该用直尺、曲应该用直尺、曲线板等工具把实线板等工具把实验点连成光滑、验点连成光滑、均匀的细实线。均匀的细实线。n(nm)1.65005007001.67001.66001.70001.6

24、9001.6800600400玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图改正为改正为：定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图图3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不图纸使用不当当。实际作。实际作图时，坐标图时，坐标原点的读数原点的读数可以可以不从零不从零开始。开始。定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.001.151.201.101.05 P(105Pa)50.090.070.020.080.060.040.030.0t()改正为：改正为： 112A nnxxtnii 误差估算公式误差估算公式做图：整数格做图：整数格对应于数据中对应于数据中最后最后一位一位准确位准确位(即数即数据的倒数第二位）据的倒数