三角形直角等腰中垂线PPT教案

1、三角形直角等腰中垂线三角形直角等腰中垂线（1）按边的大小分）按边的大小分三角形的分类三角形的分类（2）按角的大小分）按角的大小分第1页/共41页（1）三角形的角平分线）三角形的角平分线三角形中的特殊线段三角形中的特殊线段（2）三角形的中线）三角形的中线（3）三角形的高线）三角形的高线（4）三角形的中位线）三角形的中位线第2页/共41页若（1）三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值的情况怎样？ 若（2）直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值的情况怎样？ 第3页/共41页三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路：AASASA找任一边找夹边已知两角SSSHLSAS找另一边找另一边找直角找直

2、角找夹角找夹角已知两边已知两边第4页/共41页AASASASASAAS找边的对角找夹角的另一角找夹角的另一边边为角的邻边找任一角边为角的对边已知一边一角第5页/共41页例例1：如图，：如图，D在在AB上，上，E在在AC上，且上，且B =C，那么补充下列一具条件后，那么补充下列一具条件后，仍无法判定仍无法判定ABE ACD的是的是( )AAD=AE B AEB=ADCCBE=CD DAB=ACB第6页/共41页例例2：已知：如图，：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为，垂足分别为D、E，BE、CD相交于相交于O点，点，1=2，图中全，图中全等的三角形共有等的三角形共有( )A1对对 B2对

3、对 C3对对 D4对对 D第7页/共41页例例3：如图，在：如图，在ABC 中，中，AD BC，CE AB，垂足分别，垂足分别为为D、E，AD、CE交于点交于点H，请，请你添加一个适当的条你添加一个适当的条件：件： ，使，使AEH CEB。BE=EH第8页/共41页例例4：在：在ABC和和ADC中，下列三个论断：中，下列三个论断：AB =AD；BAC=DAC；BC=DC。将。将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：一个命题，写出一个真命题： ABC和和ADC中，若中，若AB =AD， BC=DC， 则则BAC=DAC。CABD

4、第9页/共41页例例5：如图，点：如图，点A、F、E、C在同一直线上，在同一直线上，AFCE，BE = DF，BEDF，求证：，求证：ABCD。第10页/共41页 例例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是ABC 的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：证明：延长AD到E，使DEAD，连结BEEDBADC AD是ABC 的中线BDCD又 DEAD ADC EDB AC = EB在ABE中，AE AB+BEAB+AC即 2AD AB+AC)(21ACABAD第11页/共41页在直角在直角ABC中，中，AB=AC,A=900，点，点D为为BC边上任一点，边

5、上任一点，DFAB与点与点F，DEAC与点与点E，M为为BC的中点试判断的中点试判断MEF是什么三角形？并说明理由？是什么三角形？并说明理由？ABCDEFM第12页/共41页第四章第三课时：第四章第三课时： 等腰三角形及等腰三角形及 直角三角形直角三角形 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练第13页/共41页 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.等腰三角形的性质定理及推论等腰三角形的性质定理及推论 1)1)定理：等腰三角形的两个底角相等定理：等腰三角形的两个底角相等( (等边对等角等边对等角).). 2) 2)推论推论1 1：等腰三角形的顶

6、角平分线平分底边并且：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且 垂直于底边垂直于底边( (即等腰三角形三线合一即等腰三角形三线合一).). 推论推论2 2：等边三角形的各角都相等，并且每个角：等边三角形的各角都相等，并且每个角 都等于都等于6060. . 第14页/共41页2.2.等腰三角形的判定定理及推论等腰三角形的判定定理及推论(1)(1)定理：等角对等边定理：等角对等边).).(2)(2)推论推论1 1：三个角都相等的三角形是等边三角形：三个角都相等的三角形是等边三角形. . 2 2：有一个角是：有一个角是6060的等腰三角形是等边三角的等腰三角形是等边三角形形 3 3：在直角三角形中，如果一

7、个锐角等于：在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一半，那么它所对的直角边等于斜边的一半. .3.3.勾股定理：勾股定理：c c2 2=a=a2 2+b+b2 2(c(c为斜边为斜边).).4.4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a a、b b、c c，有下面关系：有下面关系：a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形. .第15页/共41页 课前热身课前热身BC1.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，那么这个三角

8、形是那么这个三角形是( ) A.等腰三角形等腰三角形 B.直角三角形直角三角形 C.锐角三角形锐角三角形 D.钝角三角形钝角三角形2.一个直角三角形两边的长分别为一个直角三角形两边的长分别为15、20，则第三边，则第三边的长是的长是( ) A.57 B.25 C.57或或25 D.无法确定无法确定第16页/共41页3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角为个等腰三角形的顶角为( ) A.30 B.60 C.150 D.120D4.在下列四个命题中，正确的命题的个数是在下列四个命题中，正确的命题的个数是( ) 等腰三角形两

9、腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等 等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等 等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 A.1 B.2 C.3 D.4D第17页/共41页5.在在ABC中，如果只给出条件中，如果只给出条件A=60，那么还不，那么还不能判定能判定ABC是等边三角形，给出下列四种说法：是等边三角形，给出下列四种说法：如果再加上条件：如果再加上条件：AB=AC，那么，那么ABC是等边三角是等边三角形形如果再加上条件：如果再加上条件：tanB=tanC，那么，那么ABC是等边是等

10、边三角形三角形如果再加上条件：如果再加上条件：D是是BC的中点，且的中点，且ADBC，则，则ABC是等边三角形是等边三角形如果再加上条件：如果再加上条件：AB、AC边上的高相等，那么边上的高相等，那么ABC是等边三角形是等边三角形其中正确的说法有其中正确的说法有 (把你认为正确的序号全把你认为正确的序号全部填上部填上).第18页/共41页 典型例题解析典型例题解析(1)OA=OB=OC. 【例例1】 (2003广东省广东省)如图如图4-3-1所示，在所示，在RtABC中，中，AB=AC，BAC=90，O为为BC中点中点.(1)写出写出O点到点到ABC的三个顶点的三个顶点A、B、C的距离的关系的

11、距离的关系 .(不要求证明不要求证明)(2)如果点如果点M、N分别在线段分别在线段AB、AC上移动，在移动中保上移动，在移动中保持持AN=BM，请判断，请判断OMN的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论.(2)OMN是等腰直角三角形是等腰直角三角形. 第19页/共41页【例例2】如图如图4-3-2所示，在四边形所示，在四边形ABCD中，中，AB=AD=8，A=60，D=150已知四边形的周长为已知四边形的周长为32，求四边，求四边形形ABCD的面积的面积. S四边形四边形ABCD=16 +24. 3第20页/共41页【例例3】已知：如图已知：如图4-3-3所示，等腰所示，等腰ABC的底边

12、长的底边长8cm，腰，腰长长5cm，一动点，一动点P在底边上从在底边上从B向向C以以0.25cm/秒的速度运动，当点秒的速度运动，当点P运动到运动到PA与腰垂直的位置时，求点与腰垂直的位置时，求点P运动的时间运动的时间?P运动的时间为运动的时间为7秒或秒或25秒秒.第21页/共41页【例例4】 (2003苏州市苏州市)如图如图4-3-4所示，已知所示，已知ABC中，中，AB=AC，BAC=90，直角，直角EPF的顶点的顶点P是是BC中点，中点，两边两边PE、PF分别交分别交AB、AC于点于点E、F，给出以下四个结，给出以下四个结论：论：AE=CFEPF是等腰直角三角形是等腰直角三角形S四边形四

13、边形AEPF=1/2SABCEF=AP当当EPF在在ABC内绕顶点内绕顶点P旋转时旋转时(点点E不与不与A、B重重合合)，上述结论中始终正确的有，上述结论中始终正确的有( ) A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个C第22页/共41页方法小节方法小节1.1.对等腰三角形的性质和判定未能很好理解，造成性对等腰三角形的性质和判定未能很好理解，造成性质和判定混淆质和判定混淆. .事实上，事实上，“性质性质”指的是边相等得出角指的是边相等得出角相等，即相等，即“等边对等角等边对等角”；而；而“判定判定”指的是根据一些条指的是根据一些条件来判断三角形是不是等腰三角形，件来判断三角形是不是等腰三角

14、形，“边相等边相等”是推出是推出的结论，应写在后面，即的结论，应写在后面，即“等角对等边等角对等边”. .2.2.直角三角形中有时会把斜边与直角边弄错直角三角形中有时会把斜边与直角边弄错. .第23页/共41页 课时训练课时训练D1.(2003重庆市重庆市)如图如图4-3-5所示，所示，ABP与与CDP是两是两个全等的等边三角形，且个全等的等边三角形，且PAPD，有下列四个结论：，有下列四个结论：PBC=15ADBC直线直线PC与与AB垂直四边形垂直四边形ABCD是轴对称图形，其中正确结论的个数为是轴对称图形，其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4第24页/共41页A2.设

15、设M表示直角三角形，表示直角三角形，N表示等腰三角形，表示等腰三角形，P表示等边表示等边三角形，三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是示它们之间关系的是( )第25页/共41页B3.(2003河南省河南省)用两块完全重合的等腰直角三角形纸用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：片拼下列图形：(1)平行四边形平行四边形(不是特殊的不是特殊的)(2)矩形矩形(3)正正方形方形(4)等边三角形等边三角形(5)等腰直角三角形，一定能拼成的图等腰直角三角形，一定能拼成的图形是形是( ) A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(

16、5) C.(2)(3)(5) D.(1)(3)(4)(5) 4.(2003黑龙江省黑龙江省)矩形一个角的平分线分矩形一边为矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和和3cm两部分，则这个矩形的面积为两部分，则这个矩形的面积为 . 4或或12cm2第26页/共41页5(2003年年山东省山东省)2002年年8月在北京召开的国际数学月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方勾股圆方图图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形拼成的一个大正方形(如图如图4-3-6所示所示).如果

17、大正方形的面如果大正方形的面积是积是13.小正方形的面积是小正方形的面积是1，直角三有形的较短直角边，直角三有形的较短直角边为为a，较长直角边为，较长直角边为b，那么，那么(a+b)2的值是的值是( ) A.13 B.19 C.25 D.169C第27页/共41页6.(2003贵阳市贵阳市)有六根细木棒，它们的长度分别是有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为( ) A.2、4、6 B.4、8、10 C.6、8、10 D.8、10、12

18、C第28页/共41页第四章第四课时：第四章第四课时： 角平分线定理和角平分线定理和 中垂线定理中垂线定理 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练第29页/共41页 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.角平分线的性质定理和逆定理角平分线的性质定理和逆定理 (1)(1)点在角平分线上点在角平分线上 点到这个角的两边的点到这个角的两边的距离相等距离相等. . (2) (2)用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理. .如如图图4-4-14-4-1所示所示. .性质定理：性质定理：P P在在AOBAOB的平分线

19、上，的平分线上，PDOAPDOA，PEOBPEOBPD=PEPD=PE逆定理：逆定理：PD=PE,PDOA,PEOBPD=PE,PDOA,PEOB点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .判定定理性质定理第30页/共41页(3)(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集合合. .(4)(4)互逆命题与互逆定理互逆命题与互逆定理. .2.2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线的性质定理及逆定理(1)(1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等端点的距离相等.

20、.(2)(2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上. .(3)(3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定理理. .如图如图4-4-24-4-2所示所示. .性质定理：性质定理：PCPC是线段是线段ABAB的中垂线的中垂线PA=PBPA=PB逆定理：逆定理：PA=PBPA=PB点点P P在在ABAB的中垂线上的中垂线上. .第31页/共41页(4)(4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合点的集合. .

21、 第32页/共41页2.如图如图4-4-3所示，直线所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有离相等，则可供选择的地址有( ) A1处处 B.2处处 C.3处处 D. 4处处 课前热身课前热身CD1.下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A.每个定理都有逆定理每个定理都有逆定理 B.直角都是邻补角直角都是邻补角 C.若若1/a=1/b则则a=b. D.真命题的逆命题是真命题真命题的逆命题是真命题.图图4-4-3第33页/共41页4.如图所示，在如图所示

22、，在ABC中，中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC于于D，交，交AB于于E，DB=10cm，则，则AC=( C ) A.6 B.8 C.5 D.10第34页/共41页5.如图如图4-4-6所示，在所示，在RtABC中，中，C=90，AB的垂的垂直平分线交直平分线交BC于于D，CAD DAB=1 2，则，则B= . 36第35页/共41页 典型例题解析典型例题解析AB+AD=BC 【例例1】 如图如图4-4-7所示，在所示，在ABC中，中，A=90，AB=AC，BD是是ABC的平分线，请你猜想图中哪两条的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正

23、确性线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证证明你的猜想需用题中所有的条件明你的猜想需用题中所有的条件)第36页/共41页方法小节方法小节1.1.全等运用的干扰全等运用的干扰角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍. .2.2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段的两个端点距离相等，就下结论的两个端点距离相等，就下结论过这一点的直线是过这一点的直线是这条线段的中垂线，实际上由直线公理：这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一两点确定一条直线条直线”，还要再找出一个这样的点，还要再找出一个这样的点. .第37