平行关系的判定定理

1、baa在空间中直线与平面有几在空间中直线与平面有几种位置关系？种位置关系？1、直线在平面内直线在平面内2、直线与平面相交直线与平面相交3、直线与平面平行直线与平面平行aaa. .PaaP/a文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 怎样判定直线怎样判定直线与平面平行呢？与平面平行呢？ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点但是，直线无限延长，定直线与平面有没有公共点但是，直线无限延长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？a 在生活中，注意到门扇的两边是平行的当门扇在

2、生活中，注意到门扇的两边是平行的当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象以平行的印象三、线面平行判定定理的探究三、线面平行判定定理的探究将课本的一边将课本的一边AB紧靠桌面，并绕紧靠桌面，并绕AB转动，观察转动，观察AB的对边的对边CD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？面平行？从中你能得出什么结论？从中你能得出什么结论？A AB BC CD DCD是桌面外一条直线是桌面外一条直线， AB是

3、桌面内一条是桌面内一条直线，直线， CD AB ，则，则CD 桌面桌面直线直线AB、CD各有什么特点呢？各有什么特点呢？它们有什么关系呢？它们有什么关系呢？猜想猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的判定定理直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 bab a ba a 1、定理三个条件缺一不可。、定理三个条件缺一不可。注明：注明：

4、五、讨论定理中的条件缺失的情况：五、讨论定理中的条件缺失的情况： 判断下列命题是否正确，若不正确，请用图形语言或模型加以表达（1）（2）（3）,/,/aaba若则,/aba若则,/,/aba若 b则五、讨论定理中的条件缺失的情况：五、讨论定理中的条件缺失的情况： 判断下列命题是否正确，若不正确，请用图形语言或模型加以表达（1）（2）（3）,/,/aaba若则,/aba若则,/,/aba若 b则（1）、定理三个条件缺一不可）、定理三个条件缺一不可注：注：(2)该定理作用：该定理作用：“线线平行线线平行线面平行线面平行”空间问题空间问题“平面化平面化”(3)定理告诉我们定理告诉我们：要证线面平行，

5、只要在要证线面平行，只要在面面内找一条线，内找一条线，与已知与已知直线直线a平行平行。二.直线与平面平行判定定理的证明：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行那么这条直线和这个平面平行 。l ，m ,lml 已知已知:求证：求证：证明：lm l和m确定一平面，设平面， 则=m如果l和平面不平行，则l和有公共点设l =P，则点Pm于是l和m相交，这和lm矛盾 l 六、理论提升六、理论提升（1）判定定理的三个条件缺一不可简记为：线线平行则线面平行线线平行则线面平行（平面化） （空间问题）/abaab线面平行线线平行 b

6、a（2）实践：（口答） 如图：长方体ABCDABCD六个表面中， 与AB平行的平面是 _ 与AA平行的平面是 _ 与AD平行的平面是 _ C D B A C D A B平面ABCD和平面DCCD平面BCC B和平面DCCD平面ABCD和平面BCCB判断下列命题是否正确，若正确，请简述理判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例由，若不正确，请给出反例. .( 1 )如果如果a、b是两条直线，且是两条直线，且ab,那么那么a 平行于经平行于经过过b的任何平面；的任何平面；( )（2）如果直线）如果直线a和平面和平面 满足满足a ,那么那么a 与与内的任内的任何直线平行何直线平

7、行;( )（3）如果直线）如果直线a、b和平面和平面 满足满足a ,b ,那么那么a b ;( )( 4 )过平面外一点和这个平面平行的直线只有一过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条条.( )（5）若直线）若直线a a平行于平面平行于平面 内的无数条直线，内的无数条直线，则则/l()七、典例精析：七、典例精析：例1 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别 是AB、AD的中点。求证：EF 平面BCD 分析：分析：EFEF在面在面BCDBCD外，要证明外，要证明EFEF面面BCDBCD，只要证明只要证明EFEF和面和面BCDBCD内一条直线平行即可。内一条直线平行即可。EFEF和面和面BCDB

8、CD哪一条直线平行呢？连结哪一条直线平行呢？连结BDBD立立刻就清楚了。刻就清楚了。ABCDEF例例1 1 已知：空间四边形已知：空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是 ABAB，ADAD的中点的中点 求证：求证：EFEF/平面平面BCDBCD证明：连接证明：连接BDBD. .因为因为AEAE= =EBEB, ,AFAF= =FDFD, ,所以所以EFEF/BDBD（三角形中位线定理）（三角形中位线定理）因为因为 ,EFBCD BDBCD平 面平 面由直线与平面平行的判断定理得由直线与平面平行的判断定理得: :EFEF/平面平面BCD.BCD.ABCDEF小结：小结：在平

9、面内在平面内找找(作作)一条直线与平面外的直线平行时可以通过一条直线与平面外的直线平行时可以通过 三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。等来完成。八、变式强化:如图,在空间四面体中,E、F、M、N分别为棱AB、AD、DC、BC的中点 【变式一】 （1）四边形EFMN , 是什么四边形？NMFEDCBA平行四边行【变式二】（2）直线AC与平面EFMN的位置关系是什么？为什么？AC与平面EFMN平行【变式三】 （3）在这图中，你能找出哪些线面平行关系？ NMFEDCBA直线BD与平面EFMN直线AC与平面EFMN直线EF与平面BCD直线FM与

10、平面ABC直线MN与平面ABD直线EN与平面ACD九、演练反馈九、演练反馈l判断下列命题是否正确：判断下列命题是否正确：（1）一条直线平行于一个平面，）一条直线平行于一个平面， 这条直线就这条直线就与这个平面内的任意直线平行。与这个平面内的任意直线平行。（2）直线在平面外是指直线和平面最多有一个）直线在平面外是指直线和平面最多有一个公共点公共点. （3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行。面平行。 （4）若直线）若直线 平行于平面平行于平面 内的无数条直线，内的无数条直线，则则（5）如果）如果a、b是两条直线，且是两条直线，且 ，那么，那么a平平行

11、于经过行于经过b的任何平面的任何平面. /lba/()()()()()ABA BCDCD 2如图，正方体如图，正方体 中，中，E为为 的的中点，试判断中点，试判断 与平面与平面AEC的位置关系，并说明理的位置关系，并说明理由由DCBAABCDDD DB EO证明：连接证明：连接BD交交AC于点于点O,连接连接OE,在在DDB 中，中，E，O分别是分别是BDDD, 的中点的中点DBEO/ACEEO平面ACEBD平面AECBD平面/ 两个全等的正方形两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同不在同 一平面内一平面内,M、N是对角线是对角线AC、BF的中点的中点求证：求证：MN 面面BCEDANMCB

12、FEPQ M、N 是是AC，BF上的点且上的点且AM=FN，求证：求证：MN 面面BCEDANMCBFEDANMCBFEp关键：在平面内关键：在平面内找找(作作)一条直线与平面外的直线平行一条直线与平面外的直线平行,在寻找平行直线时可以通过在寻找平行直线时可以通过三角形的中位线、梯形的三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质中位线、平行线的性质等来完成。等来完成。十、总结提炼十、总结提炼1 1证明直线与平面平行的方法：证明直线与平面平行的方法：（1 1）利用定义；）利用定义；（2 2）利用判定定理）利用判定定理线线平行线线平行线面平行线面平行直线与平面没有公共点直线与平面没有公共点2数学思想

13、方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题 b Pab./,:baba且已知/:a求证假设直线假设直线a不平行于平面不平行于平面，则，则a = P。定理定理:如果不在平面内的一条直线如果不在平面内的一条直线 和平面内的和平面内的一条直线平行一条直线平行,那么这条直线那么这条直线 和这个平面平行和这个平面平行.证明证明:(用反证法用反证法);/,矛盾这和则如果baPbabP;/,矛盾这和异面和则如果bababP平面/a课外阅读课外阅读已知：已知：P是平行四边形是平行四边形ABCD所在平面外一点，所在平面外一点，M为为PB的中点的中点. .求证：求证：PD/平面平面M

14、AC. .APBCDMO2。已知已知E、F分别为正方体分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱棱BC、11的中点，求证的中点，求证:EF 平面平面BB1D1 D.DABCA1C1D1B1 取取BD中点中点O，则，则OE为为 BDC 的中位线的中位线.1为平行四边形为平行四边形EF EF 1 EF 平面平面BB1DD1 又又 EF平面平面BB1DD1，1 平面平面BB1DD1EFO DC,1 11 1 21=21=证明证明:平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定（1）平行）平行（2）相交）相交1. 平面与平面有几种位置关系？平面与平面有几种位置关系？b/ab没有公共点没有公共点有一条公共直线有

15、一条公共直线复习引入复习引入问问1：两个平面平行，那么其中一个平面的直线与另一：两个平面平行，那么其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系如何个平面的位置关系如何? 平行平行问问2：如果一个平面内的所有直线，都与另一个平面：如果一个平面内的所有直线，都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系如何平行，那么这两个平面的位置关系如何? 平行平行结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题个平面平行的问题.当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行，那当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行，那么么需要几条直线需

16、要几条直线才能说明问题呢？才能说明问题呢？复习引入复习引入2.问题：还可以怎样判定平面与平面平行呢？问题：还可以怎样判定平面与平面平行呢？(1)若 内有一条直线 与 平行，则 与 平行吗？abb（两平面平行）（两平面平行）ba（两平面相交）（两平面相交）balABCDABCD探究探究（两平面平行）（两平面平行）bab(2),若 内有两条直线 、 分别与 平行 则 与 平行吗？abbb（两平面相交）（两平面相交）bablABCDABCDEF直线的条数不是关键直线的条数不是关键!探究探究1若时，则 与 平行？情况吗.a / bbabPb2ab.Pb若时情况，则 与 平行吗？ABCDBCD直线相交才

17、是关键！直线相交才是关键！(2),若 内有两条直线 、 分别与 平行 则 与 平行吗？abbb探究探究, /, /aabbabAbbbabPb线不在多，线不在多，重在相交！重在相交！2.平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理若一个平面内若一个平面内两条相交直线两条相交直线分别平行于另一个平面，分别平行于另一个平面，则这两个平面平行则这两个平面平行. .(1)该定理中，该定理中，“两条两条”，“相交相交”都是必要条件，缺一不可：都是必要条件，缺一不可： (2)该定理作用：该定理作用：“线面平行线面平行面面平行面面平行”(3)应用该定理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一应用该定

18、理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一平面内两条直线平行即可平面内两条直线平行即可.判断下列命题是否正确，并说明理由判断下列命题是否正确，并说明理由（1）若平面）若平面 内的两条直线分别与平面内的两条直线分别与平面 平行，则平行，则 与与 平行；平行；（2）若平面）若平面 内有无数条直线分别与平面内有无数条直线分别与平面 平行，则平行，则 与与 平行；平行；（3）平行于同一直线的两个平面平行；）平行于同一直线的两个平面平行；（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行；行；（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平）过已知平面外

19、一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面行的平面bbbb1111111例 正方体中，证明平面平面ABCDA B C DC BD /AB D .证明：证明：因为因为ABCDA1B1C1D1为正方体，为正方体， 所以所以D1C1A1B1，D1C1A1B1 又又ABA1B1，ABA1B1， D1C1AB，D1C1AB， D1C1BA是平行四边形，是平行四边形， D1AC1B，又因为又因为D1A 平面平面C1BD，CB 平面平面C1BD.由直线与平面平行的判定，可知由直线与平面平行的判定，可知同理同理 D1B1平面平面C1BD.又又 D1AD1B1=D1，所以，平面所以，平面ABAB1 1D D1 1

20、平面平面C C1 1BD.BD.D1A平面平面C1BD，1DD1AA1CCB1B平行四边形对边平行是平行四边形对边平行是常用的找平行线的方法常用的找平行线的方法.拓展：如果一个平面拓展：如果一个平面内有两条相交直线与内有两条相交直线与另一个平面内的两条另一个平面内的两条相交直线分别平行，相交直线分别平行，那么这两个平面平行那么这两个平面平行练练2: 正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，若中，若M、N、P、Q分别是棱分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，求证：平面的中点，求证：平面AMN/平面平面C1QP.ABCA1B1C1D1DMNEF练练1: 正方体正方体ABCD-A1B1C1

21、D1中，若中，若M、N、E、F分别是棱分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证的中点，求证:平面平面AMN/平面平面EFDB.ABCDA1B1C1D1MNPQK变式变式练习练习C1ACB1BMNA1F证明：证明：取取A1C1中点中点F，连结，连结NF，FCN为为A1B1中点，中点，M是是BC的中点，的中点，NFCM为平行四边形，为平行四边形， 故故MNCF21B1C1NF又又BCB1C1，即即MCNF MN平面平面AA1C1C.例例 如图，三棱柱如图，三棱柱ABC- -A1B1C1中，中，M、 N分别是分别是BC和和A1B1的中点，求证：的中点，求证：MN平面平面AA1C1C

22、MC B1C112练习练习练练1：三棱柱：三棱柱ABC- -A1B1C1中，中，E是是AC1上的点，上的点，F是是CB1上的中点，上的中点，求证：求证：A1B/平面平面ADC1 .ABCA1B1C1DEF法一：线面平行判定定理法一：线面平行判定定理连接连接BC1，则，则DE为为ABC1中位线，中位线，所以所以EF/AB,又又EF 平面平面ABC ，AB 平面平面ABC，故故EF/平面平面ABC.法二：由面面平行判定线面平行法二：由面面平行判定线面平行取取CC1的中点的中点G，连接，连接GE和和GF，则则GE为为ACC1中位线，中位线，所以所以GE/AC,又又GE 平面平面ABC ，AC 平面平

23、面ABC，故故GE/平面平面ABC.G同理可证同理可证GF/GF/平面平面ABC.ABC.又又GEGF=G，所以面，所以面GEF/面面ABC.EFGEFEF/ABC.又面面例例 如图，四棱锥如图，四棱锥P- -ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，M，N分别是分别是AB，PC的中点的中点,求证：求证：MN/平面平面PAD.MNPABCDHG法二：法二：取取DC的中点的中点G，连接，连接GN，GM ，往证面往证面GMN/面面PAD即可即可.证明：证明：取取PD的中点的中点H，连接，连接HN，AH ，在三角形在三角形PDC中，中，HN为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以HN/DC且且 HN= DC又因为底面为正方形，且又因为底面为正方形，且M为为AB中点，中点，所以所以AM/DC且且 AM= DC AM/HN且且 AM=HN即即AMNH为平行四边形，故为平行四边形，故MN/AH又又AH 平面平面PAD ，MN 平面平面PAD，故故MN/平面平面PAD.1212练：如图，四棱锥练：如图，四棱锥P- -ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PAD是正是正三角形，三角形，E，F分别是分别是PC，BD的中点，求证：的中点，求证：EF/平面平面PAD.证明：证明：分别取分别取PD，AD的中点的中点G，H ，连接，连接GE，HF ，GH在在PDC中，中，GE为