竞赛总磁学部分2013.

1、竞赛信息确认通知竞赛信息确认通知 1. 请同学认真核对个人信息，包括姓名、学号、请同学认真核对个人信息，包括姓名、学号、专业、班级、电话，要和身份证、学生证上信专业、班级、电话，要和身份证、学生证上信息一致。息一致。 2. 个人信息确认无误后请在备注栏（最后一个人信息确认无误后请在备注栏（最后一列）签字，没有确认信息并签字的同学视为自列）签字，没有确认信息并签字的同学视为自动放弃竞赛。动放弃竞赛。 5. 拓普杯拓普杯”天津市大学生物理竞赛天津市大学生物理竞赛 时间为时间为4月月12日。日。 4. 信息确认时间本周辅导上课时间，请各专信息确认时间本周辅导上课时间，请各专业同学相互转告。业同学相互

2、转告。磁力概要磁力概要1、洛仑兹力与、洛仑兹力与安培力：安培力：BvqFm BlIdFd 2、均匀磁场中一段载流导线：、均匀磁场中一段载流导线：（1）直导线：）直导线：Bl IF （2）曲导线：）曲导线：与起、止点一样的直导线受力相同与起、止点一样的直导线受力相同3、均匀磁场中载流线圈、均匀磁场中载流线圈(所受合力为所受合力为0)：（1）磁矩：）磁矩：nNISm （2）磁力矩：）磁力矩：)Bn(NISBmM 例例1.（7分）如图所示，夹角为分）如图所示，夹角为的平面的平面S1与与S2相相交于直线交于直线MN，磁感应强度为，磁感应强度为 的空间匀强磁场的空间匀强磁场其磁力线与其磁力线与S1平面平

3、行，且与直线平面平行，且与直线MN垂直。今垂直。今取半径为取半径为R的半圆周导线的半圆周导线ab，并通过以电流，并通过以电流I，将，将它整体放置在平面它整体放置在平面S2的不同部位，则它可能受到的不同部位，则它可能受到的最大安培力的大小的最大安培力的大小Fmax=_，可能受到的，可能受到的最小安培力的大小最小安培力的大小Fmin_。BIabRB 1S2SMN答案：答案：2IBR，2IBRsin简要说明：因磁场均匀，此导线受力相当于沿直简要说明：因磁场均匀，此导线受力相当于沿直径径ab的截流直导线受力。用矢量的截流直导线受力。用矢量 表示从表示从a到到b沿沿直径的线段，安培力直径的线段，安培力

4、。当此导线在。当此导线在S2面上，分别处于面上，分别处于 和和 二位置时，二位置时， 与与 间夹角为间夹角为 /2和和，相应的安培力大小分别，相应的安培力大小分别为最大和最小，其值为为最大和最小，其值为2IBR和和2IBRsin。BlIdFddMN/dMNd dB例例2. 如图所示形状的导线，通电流如图所示形状的导线，通电流I，放在一个，放在一个与均匀磁场与均匀磁场B垂直的平面上，则此导线受到磁场垂直的平面上，则此导线受到磁场力的大小为力的大小为_，方向为，方向为_可以证明，在均匀磁场中闭合电流回路所受磁场可以证明，在均匀磁场中闭合电流回路所受磁场力之和为零：力之和为零： 0 BldIBldI

5、F答案：答案：BI(l+2R); 在纸面内，竖直向上在纸面内，竖直向上简要说明：简要说明： Ibacll ROd设想添上设想添上ca、dc导线，使导线，使abca及及cd弧弧dc线分别构成线分别构成两闭合回路两闭合回路0 cabcabFFF0 dccdFF弧弧 dccabcabFFFFF cd弧弧adadcadckRlIBkdlIBBldIFF2（ 为沿纸面竖直向上的单位矢量）为沿纸面竖直向上的单位矢量）k力的大小为力的大小为IB(l+2R)，方向为沿纸面竖直向上。，方向为沿纸面竖直向上。其中其中 所表示导线所表示导线ab受磁场力，其他类似。受磁场力，其他类似。abF Ibacll ROd 带

6、电粒子在磁场中的运动：带电粒子在磁场中的运动：BvqF0vB均匀均匀0v匀直运动匀直运动匀速圆周运动匀速圆周运动BqmvR0 BqmT 2 等螺距螺旋运动等螺距螺旋运动 螺旋半径螺旋半径BqmvR 回旋周期回旋周期BqmvRT 22螺距螺距Tvh/ 例例3.（5分）设在讨论的空间范围内有匀强磁场分）设在讨论的空间范围内有匀强磁场B如图，方向垂直纸面朝里。在纸平面上有一长为如图，方向垂直纸面朝里。在纸平面上有一长为h的光滑绝缘空心细管的光滑绝缘空心细管MN，管的，管的M端内有一质量端内有一质量为为m、带电为、带电为q0的小球的小球P。开始时。开始时P相对管静止。相对管静止。而后如图所示，管带着而

7、后如图所示，管带着P朝垂直于管的长度方向朝垂直于管的长度方向始终以匀速始终以匀速u运动。那么，小球运动。那么，小球P从从N端离开管后，端离开管后，在磁场中做圆运动的半径为在磁场中做圆运动的半径为R=_。在此不必。在此不必考虑重力及各种阻力。考虑重力及各种阻力。 NMBuhP答案：答案：muqBhqBmu21 简要说明：带电小球简要说明：带电小球P以以u运动后，受与运动后，受与u，B垂直垂直的洛仑兹力，由的洛仑兹力，由M指向指向N方向，此力将使小球方向，此力将使小球P在在管中加速管中加速h距离。距离。f=quB，a=f/m=quB/m小球离开小球离开N点时相对管点时相对管MN的速度大小为的速度大

8、小为mquBhahv222 其方向与其方向与u垂直，故小球离开垂直，故小球离开N点进入磁场点进入磁场时，其相对与磁场的速度大小满足时，其相对与磁场的速度大小满足222uvv 总总muqBhqBmuqBmvR21 总总muqBhuv21 总总例例4. 下图所示是用磁聚焦法测定电子荷质比的实下图所示是用磁聚焦法测定电子荷质比的实验装置。从阴极验装置。从阴极K发射出来的电子被加速电压发射出来的电子被加速电压V加加速，穿过阳极速，穿过阳极A上的小孔，得到沿轴线运动的、上的小孔，得到沿轴线运动的、速度相同的电子束，再经平行板电容器速度相同的电子束，再经平行板电容器C，到达荧，到达荧光屏，平板电容器至荧光

9、屏的距离为光屏，平板电容器至荧光屏的距离为l (平板线平板线度度)。在电容器两极板间加一交变电压，使电子获。在电容器两极板间加一交变电压，使电子获得不大的横向分速度，电子将以不同的发散角离得不大的横向分速度，电子将以不同的发散角离开电容器。开电容器。BlCVAK.8222lBV 答案：答案：今在轴线方向加一磁感应强度为今在轴线方向加一磁感应强度为B的均匀磁场。的均匀磁场。调节调节B的大小，可使所有电子汇聚于荧光屏的同的大小，可使所有电子汇聚于荧光屏的同一点一点(磁聚焦磁聚焦)。令。令B从零连续增大，记下出现第一从零连续增大，记下出现第一次聚焦的次聚焦的B值，根据值，根据V、B和和l的数值可测得

10、电子荷的数值可测得电子荷质比质比e/m= 。BlCVAKmeVv2 eBmvh 2第一次磁聚焦时第一次磁聚焦时 ，故，故hl meVeBml22 .lBVme2228 由此得出电子荷质比为由此得出电子荷质比为电子被加速后获得的速度为电子被加速后获得的速度为各电子由于在电容器中获得横向速度而在纵向各电子由于在电容器中获得横向速度而在纵向磁场磁场B的作用下作螺旋运动，其螺距为的作用下作螺旋运动，其螺距为简要说明：简要说明：例例5. 被电势差被电势差U加速的电子从电子枪口加速的电子从电子枪口T发射出来，发射出来，其初速度指向其初速度指向x方向。为使电子束能集中目标方向。为使电子束能集中目标M点，点，

11、(直线直线TM与与x轴间夹角为轴间夹角为 )，在电子枪外空间加，在电子枪外空间加一均匀磁场，其方向与一均匀磁场，其方向与TM平行，如图，已知从平行，如图，已知从T到到M的距离为的距离为d ，电子质量为，电子质量为m，带电量为，带电量为e。为。为使电子恰能击中使电子恰能击中M点，应使磁感应强度点，应使磁感应强度B= 。BMTxU电子绕一周所需时间为：电子绕一周所需时间为：meUv2 cos/vv vvsin ) 1 (cos/1vdvdt ) 2(sin22vrvrT 为整数为整数kemUdk,2cos2答案：答案：简要说明：简要说明：电子速率为电子速率为电子从电子从T到到M所需时间为：所需时间

12、为：电子速度与电子速度与 平行的分量为平行的分量为B电子速度与电子速度与 垂直的分量为垂直的分量为B电子转圈的半径电子转圈的半径电子击中电子击中M点的条件是：点的条件是：由由(1)、(2)、(3)、(4)式联立解得式联立解得3sin( )mvreB 1 2 34(, , ,)( )tkTkemUdkB2cos2 磁场概要磁场概要1、利用、利用B-S定律或运动电荷磁场公式定律或运动电荷磁场公式20rrlId4Bd 20rrvq4B 2、利用安培环路定理、利用安培环路定理 iioLIl dB 4、平板电容器中总位移电流：、平板电容器中总位移电流：dtdESdtdUCI0d板板 3、Maxwell位

13、移电流假说：位移电流假说：实质：实质：变化电场变化电场 磁场磁场dtdIDd tDJd 5、典型场：、典型场：直直电电流流一段导线一段导线)cos(cosa4IB210 无限长无限长a2IB0 导线所在直线上导线所在直线上圆圆电电流流轴线上轴线上2/32220)xR(2IRB 圆心处圆心处R2IB0O 弧电流弧电流 圆心处圆心处 2R2IB0O 长直载流密绕螺线管长直载流密绕螺线管载流密绕细螺绕环载流密绕细螺绕环0B 电流分布电流分布磁场分布磁场分布无限大平面电流无限大平面电流2/0 BnIB0 内内0 外外BnIB0 内内0 外外B304rrlIdBd 304rrlIdBL 例例6. 试判断

14、能否产生一个磁感应强度试判断能否产生一个磁感应强度 形形式的磁场（式的磁场（ 是场点的位置矢量，是场点的位置矢量，f ( r )为为r的函的函数），并说明理由数），并说明理由_rrfB)( r答案：否答案：否简要说明简要说明:由毕萨定律，电流元的磁感应强度为由毕萨定律，电流元的磁感应强度为而任意磁场又是由电流元的磁场所构成，整个电而任意磁场又是由电流元的磁场所构成，整个电流产生的磁感应强度为流产生的磁感应强度为 sdSB0可见磁感应强度可见磁感应强度 不是沿不是沿 方向的，故不可能产生方向的，故不可能产生一个一个 形式的磁场。况且若有这种磁场的形式的磁场。况且若有这种磁场的话，其话，其 线呈辐

15、射状而不闭合，就不能满足任意线呈辐射状而不闭合，就不能满足任意磁场都适用的高斯定理磁场都适用的高斯定理 了。了。rrfB)( rBB例例7.（11分）半径分）半径R，电荷面密度为，电荷面密度为 常量的薄圆常量的薄圆板，在北京地区一个竖直平面上以恒定角速度板，在北京地区一个竖直平面上以恒定角速度绕着它的中心轴旋转，中心轴自西向东放置，如绕着它的中心轴旋转，中心轴自西向东放置，如图所示，中心轴上与圆板中心图所示，中心轴上与圆板中心O相距相距l处有一原水处有一原水平指北的小磁针，因又受到圆板电流磁场的作用平指北的小磁针，因又受到圆板电流磁场的作用而朝东偏转而朝东偏转角后到达新的平衡位置，试求该处地角

16、后到达新的平衡位置，试求该处地磁场磁感应强度的水平分量磁场磁感应强度的水平分量B/。Cauauauduu2222232232注：可参考用不定积分公式：注：可参考用不定积分公式： 东东西西北北南南ORl小磁针小磁针解：将薄圆板分割成半径为解：将薄圆板分割成半径为r，宽度为，宽度为dr的圆环，的圆环，其上的电量为其上的电量为 dQ=2 rdrrdrdQdI /2此电流在点此电流在点P的磁感应强度为的磁感应强度为23223023222022lrdrrdIlrrdB 此电荷因以此电荷因以旋转而形成的电流强度为旋转而形成的电流强度为东东OdrrPOl整个薄圆板因旋转在点整个薄圆板因旋转在点P的磁感应强度

17、为的磁感应强度为0222222200232230RlrlrlrdrrdBBR cot222cot22220/llRlRBBllRlR22222220 如图所示，薄圆板在点如图所示，薄圆板在点P的的 朝东，地磁场的朝东，地磁场的 朝北，磁针平衡时与朝北，磁针平衡时与 同向，故有同向，故有B/B合合B东东西西北北南南ORl小磁针小磁针304 rrlIduBd （第一空）（第一空）解：解： 毕奥毕奥萨伐尔定律为萨伐尔定律为RIIIIII例例8. 据稳恒电流磁场的毕奥据稳恒电流磁场的毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律 _，最终可以求得右图三个相互正交的，最终可以求得右图三个相互正交的圆环电流公共中心处的磁感应强

18、度大小为圆环电流公共中心处的磁感应强度大小为B=_。 Bd将毕奥将毕奥萨伐尔定萨伐尔定律用于图律用于图（a）中中圆电流的圆心圆电流的圆心O得得RIuB20 RIuBBBBB23302232221 （第二空）（第二空）RIB )(a2B 1B 3B O)(b将图（将图（b）中的）中的 、 、 相加便是中心相加便是中心O处处磁感应强度磁感应强度 ，其大小为，其大小为1B 2B 3B B 例例9. (10分分)半径为半径为R无限长半圆柱导体上均匀地流无限长半圆柱导体上均匀地流过电流过电流I，求半圆柱轴线，求半圆柱轴线(原圆柱体的中心轴线原圆柱体的中心轴线)处处的磁感应强度的磁感应强度B。 221RI

19、j .22RI rdrdRIdrrdjdI22 解：依题意可知，该半圆柱导体中的电流密度为解：依题意可知，该半圆柱导体中的电流密度为d在半径为在半径为r处取厚度为处取厚度为dr的薄层的薄层(如图示如图示)，在其中圆心角为，在其中圆心角为 的窄条中流过的电流为的窄条中流过的电流为 dr dOr在垂直于原圆柱体的中在垂直于原圆柱体的中心轴的平面心轴的平面(即半圆柱体即半圆柱体的横截面的横截面)内建立坐标系内建立坐标系如图示，如图示，则由毕奥则由毕奥-萨伐尔定律知，关于萨伐尔定律知，关于x轴对称的小窄条轴对称的小窄条电流电流dI1、dI2激发的磁场在半圆柱体中心轴上的激发的磁场在半圆柱体中心轴上的磁

20、感应强度分别为磁感应强度分别为dB1、dB2。由对称性知，相。由对称性知，相同大小的同大小的dI1、dI2 分别激发的分别激发的dB1、dB2的矢量和的矢量和沿沿Oy方向，并且方向，并且 dB1、dB2的大小为的大小为drdRIrdrdRIrrdIdB22020101222 xy1dI2dI1dB2dBOr RydrdRIBB020220cos2 RdrRI02202RI202 方向：沿方向：沿Oy 方向。方向。drdRIdB2201 xy1dI2dI1dB2dBOr例例10.（10分）如图所示，电流强度分）如图所示，电流强度为为I的直流电通过一根无限长直导线的直流电通过一根无限长直导线流到半

21、径为流到半径为R的金属半球面下方端的金属半球面下方端点，而后均匀地流过半球面到达半点，而后均匀地流过半球面到达半球面的上方端点，在经过另一根半球面的上方端点，在经过另一根半无限长直导线流向无穷远处，设这无限长直导线流向无穷远处，设这两根半无限长直导线恰好在半球面两根半无限长直导线恰好在半球面的直径延长线上，试证球心的直径延长线上，试证球心O处磁处磁感应强度的大小为感应强度的大小为B=0I/2 R。RIIO解：上下两根半无限长直流对解：上下两根半无限长直流对O点点的的B无贡献，半球面俯视为半圆，无贡献，半球面俯视为半圆，取取+d圆弧，如图所示，圆弧，如图所示，xydBdOr+d圆弧对应半球面上一

22、窄条西瓜皮形（中圆弧对应半球面上一窄条西瓜皮形（中间宽，两头细）的部分，其中电流为：间宽，两头细）的部分，其中电流为：dIdI 大小：大小：方向：指向方向：指向y轴正方向轴正方向 ydBB0B将将dBy=dBsin代入后，可得：代入后，可得： 0002sin4RIRIdBxydBdOrdI对对O点点 的贡献相当半圆电流对其圆心磁场的的贡献相当半圆电流对其圆心磁场的贡献，记为贡献，记为 ，其大小为，其大小为BdBRIdRdIdB 4/4/00 Bd由对称性可知，各由对称性可知，各 在在x方向相互抵消，故合方向相互抵消，故合成成 为：为：B例例11. (6分分) 图示为一内半径为图示为一内半径为a

23、，外半径为，外半径为b的均的均匀带电薄绝缘环片，该环片以角速度匀带电薄绝缘环片，该环片以角速度绕过中心绕过中心O、并与环片平行垂直的轴旋转，环片上总电量、并与环片平行垂直的轴旋转，环片上总电量为为Q，则环片中心，则环片中心O处的磁感应强度值处的磁感应强度值B= 。abO)(20baQ 简要说明：简要说明：答案：答案：面电荷密度为面电荷密度为)(22abQ abOrdrr idr环对应电流为环对应电流为)ab(rdrQ/drri2222 因各电流元在圆心处产生的磁场同向：因各电流元在圆心处产生的磁场同向：badr)ab(rrQdBB2202 )ab()ab(Q2202 )(20baQ 磁介质概要

24、磁介质概要HB 对各向同性磁介质：对各向同性磁介质：r 0 2r 略略1，顺磁质，顺磁质3r 略略u时，波前的几何形状为时，波前的几何形状为圆锥面。圆锥面。svvsu例例25.（6分）图中边长为分）图中边长为a的等边三角形的等边三角形ABC区区域内有匀强磁场域内有匀强磁场B，方向垂直纸面朝外，边长为，方向垂直纸面朝外，边长为a的等边三角形导体框架的等边三角形导体框架ABC在在t=0时恰好与磁场时恰好与磁场区域的边界重合，而后以周期区域的边界重合，而后以周期T绕其中心沿顺时绕其中心沿顺时针方向匀角速度转动。于是在框架针方向匀角速度转动。于是在框架ABC中有感应中有感应电流。规定电流按电流。规定电

25、流按ABCA方向流动时电流方向流动时电流强度取为正，反向流动时取为负。强度取为正，反向流动时取为负。设框架设框架ABC的电阻为的电阻为R，则，则从从t=0到到t1 = T/6时间内的平时间内的平均电流强度均电流强度 =_。从。从t=0到到t2 =T/2时间内的平均电流时间内的平均电流强度强度 =_。1I2IBABCRTBaIRTBa32/31;2/3212 答案：答案：简要说明简要说明: t=0到到t1=T/6时间内，时间内，ABC中中A、B、C分别转到分别转到1，2，3处，这一时间间隔内线圈中磁处，这一时间间隔内线圈中磁通量变化为：通量变化为：BaaBSB22123)43(3131 TBaB

26、atT23123262 02321 RTBaRI 其流动方向与题中规定的正方向一致。其流动方向与题中规定的正方向一致。123BABC 同理，同理，t=0到到t2=T/2时间内，线圈中磁场时间内，线圈中磁场变化仍为变化仍为 即即 = = ，但，但t =T/2=3=T/2=3t0323212RTBaII其流动方向与题中规定的正方向一致。其流动方向与题中规定的正方向一致。例例26. 一球形电容器中间充有均匀介质，该介质一球形电容器中间充有均匀介质，该介质缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场为为Bc ，位移电流产生的磁场为，位移电流产生的磁场为Bd，则，

27、则 ( ). 0, 0 dcBB. 0 dcBB. 0, 0 dcBB. 0 dcBB(A)(B)(C) (D) 答案：答案：(D) 简要说明：漏电过程电容器中传导电流和位移简要说明：漏电过程电容器中传导电流和位移电流都是沿径向的，并且都具有球对称性，只电流都是沿径向的，并且都具有球对称性，只是两者方向相反。是两者方向相反。 显然显然BA、 BB在在P点叠加的总效果为零。由此点叠加的总效果为零。由此推广，对推广，对OO对称的所有元电流在对称的所有元电流在P点产生的总点产生的总B为零，又为零，又P点在点在 OO上的位置可任意选取，上的位置可任意选取， OO轴对球形电容器来说也不具有特殊性，所以轴

28、对球形电容器来说也不具有特殊性，所以传导电流产生的磁场传导电流产生的磁场Bc=0 以传导电流为例，取如以传导电流为例，取如图的两个元电流图的两个元电流iA 、iB，OO为其对称轴，为其对称轴， iA在在P点产生点产生 BA 其方向为垂直纸面向里，其方向为垂直纸面向里， iB在在P点产生点产生BB ，其方向为，其方向为垂直纸面向外。垂直纸面向外。AiBiOO P 位移电流产生的磁场位移电流产生的磁场Bd=0 （分析略）。分析略）。例例27. 一半径为一半径为a的小圆线圈，电阻为的小圆线圈，电阻为R，开始时，开始时与一个半径为与一个半径为b(ba)的大线圈共面且同心，固的大线圈共面且同心，固定大线

29、圈，并在其中维持恒定电流定大线圈，并在其中维持恒定电流I，使小线圈，使小线圈绕其直径以匀角速绕其直径以匀角速 转动如图转动如图(线圈的自感可忽线圈的自感可忽略略)。 求求(1)小线圈中的电流；小线圈中的电流； (2)为使小线圈保持匀角速度转动，需对它施为使小线圈保持匀角速度转动，需对它施加的力矩大小；加的力矩大小； (3)大线圈中的感应电动势。大线圈中的感应电动势。Iba解解：(1)因为因为 ba，所以小线圈处的磁场近似看，所以小线圈处的磁场近似看成均匀。小线圈转动时，通过小线圈的磁通量成均匀。小线圈转动时，通过小线圈的磁通量为：为：)(tcosabIcosBSSB1220 ( 为大线圈平面与

30、小线圈平面间的夹角或两线为大线圈平面与小线圈平面间的夹角或两线圈平面法线间的夹角圈平面法线间的夹角)小线圈中感应电动势小线圈中感应电动势tbaIdtdsin2201 小线圈中感应电流的大小小线圈中感应电流的大小tbRaIRisin2201 小线圈中的感应电流的方向由楞次定律确定小线圈中的感应电流的方向由楞次定律确定(该该处从略处从略)。(2)要保持小线圈匀速转动，对线圈施加的外力要保持小线圈匀速转动，对线圈施加的外力矩必须等于线圈所受的磁力矩。矩必须等于线圈所受的磁力矩。 BmMM磁外外力矩的大小外力矩的大小tbaIRtiSBM 2220sin)2(sin 外外两线圈的互感两线圈的互感tbaI

31、Mcos220 小线圈有电流，通过大线圈的磁通量小线圈有电流，通过大线圈的磁通量tbRIatbaMi sin2cos22020 tRbIa 2sin824220 故大线圈中的感应电动势故大线圈中的感应电动势tRbIadtd2cos4224220 (3)由式（由式（1）知，通过小线圈的磁通量）知，通过小线圈的磁通量tIba cos220 例例28. 一无限长圆柱，偏轴平行地挖出一圆柱空间，一无限长圆柱，偏轴平行地挖出一圆柱空间，两圆柱轴间距离两圆柱轴间距离 图中所示为垂直于轴线的图中所示为垂直于轴线的截面，用截面，用表示两圆柱间存在的均匀磁场的方向，表示两圆柱间存在的均匀磁场的方向，设磁感应强度

32、设磁感应强度B随时间随时间t线性增长，即线性增长，即B=kt(k为常为常数数)，现在空腔中放一与，现在空腔中放一与 成成60 角，长为角，长为L的金的金属棍属棍 求沿棍的感生电动势求沿棍的感生电动势 。,dOO OO ,BOA ABBAOO 解法一：解法一： 将空腔部分视为磁感应强度分别为将空腔部分视为磁感应强度分别为B和和-B的均匀分布磁场的叠加，于是整个磁场可视为的均匀分布磁场的叠加，于是整个磁场可视为圆柱圆柱O内的均匀磁场内的均匀磁场B和在空腔内的均匀磁场和在空腔内的均匀磁场-B的的叠加。叠加。21EEE dtdBrEdtdBrE2,22211 22112211rE,rE,rE,rE 且

33、且PCDPOO 11rdEE,OOPC,PCE 由图可知由图可知由于由于B是变化的，是变化的，B=kt，所以空间有感应电场，所以空间有感应电场，在空腔内任意点在空腔内任意点P的感应电场强度的感应电场强度dtdBdErdE211 kLdcosLdtdBddlEBAAB43302 E即空腔内为匀强电场，即空腔内为匀强电场， 方向如图。方向如图。dtdBjrirjrir)cos2sin2()cos2sin2(2211 jdtdBd2说明空腔内为一方向向上的匀强电场。说明空腔内为一方向向上的匀强电场。 OPr ,dtdBrE 1112POr ,dtdBrE 222221EEE )cossin()cos

34、sin(2211 jEiEjEiE 以下同解法一，从略。以下同解法一，从略。解法二：解法二： 按叠加原理求解，叙述同解法一从略。按叠加原理求解，叙述同解法一从略。例例29. (14分分)假定自然界存在类似于电荷的磁荷，假定自然界存在类似于电荷的磁荷，且存在与电荷密度相当的荷密度，与电流密度和且存在与电荷密度相当的荷密度，与电流密度和电流强度相当的磁流密度与磁流强度。存在磁荷电流强度相当的磁流密度与磁流强度。存在磁荷后，麦克斯韦方程组中电场环流的表达式修改成后，麦克斯韦方程组中电场环流的表达式修改成 SdjSdtBl dESmSL 0式中式中 为磁流密度，为磁流密度， 为闭合路径所圈围为闭合路径

35、所圈围的磁流强度的代数和。的磁流强度的代数和。 SdjSm mj（1）今有一自感系数为）今有一自感系数为L的理想电感，由的理想电感，由N砸导砸导线绕成，通过电感的似稳电流线绕成，通过电感的似稳电流i=i（t），通过每），通过每砸导线所圈围砸导线所圈围面积的磁流强度为面积的磁流强度为Im m，试求处理想，试求处理想电感两端电压的瞬时值的表达式。电感两端电压的瞬时值的表达式。（2）今有一真空的环形管道，上面绕有）今有一真空的环形管道，上面绕有n砸线圈，砸线圈，其自感系数为其自感系数为L，线圈的两端相连构成闭合回路，线圈的两端相连构成闭合回路，如图所示，如图所示，起初线圈中无电流，今有一磁量为起初线

36、圈中无电流，今有一磁量为qm m的磁单极，在管道内绕行的磁单极，在管道内绕行v此后，求闭合线圈中此后，求闭合线圈中的最大电流（设线圈的电阻看忽略不计）的最大电流（设线圈的电阻看忽略不计）解：解：（1）理想电感电阻为零，则两端电压为理想电感电阻为零，则两端电压为 dSjdStBdlEUSmLSL 0dtdiLdStBL msmINdSj mLNIdtdiLU0 （2）闭合线圈无电阻的电路方程为）闭合线圈无电阻的电路方程为00 mnIdtdiLdtLnIdim0 dtILndtLnLitmtm 0000磁荷绕磁荷绕v次后有次后有mmvqdtI 最大电流最大电流mmvqLni0 由此得由此得例例30

37、.（3分）在长直载流导线附近平行放置两根分）在长直载流导线附近平行放置两根金属导轨，三者在同一平面内。在导轨上有两根金属导轨，三者在同一平面内。在导轨上有两根可沿导轨平行滑动的金属棒可沿导轨平行滑动的金属棒ab和和cd。今以力。今以力 拉拉cd棒向右运动，则棒向右运动，则ab棒将棒将_ （A）不动）不动 （B）向右运动）向右运动 （C）向左运动）向左运动 （D）转动）转动FabcdF简要说明：简要说明：如图所示，力如图所示，力 拉拉cd棒向右运动，则处于长棒向右运动，则处于长直线载流导体磁场中的回路直线载流导体磁场中的回路abdca内就有磁通内就有磁通量变化，由楞次定律可知，即有感应电流量变化

38、，由楞次定律可知，即有感应电流i从从a流向流向b。在长直电流。在长直电流I 产生的垂直于纸面向产生的垂直于纸面向里的磁场的作用下，棒受的力方向向右，故里的磁场的作用下，棒受的力方向向右，故ab棒向右运动。棒向右运动。FabcdF Bi答案答案：（：（B）v abxy例例34. 一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分别与别与x,y轴平行，边长分别为轴平行，边长分别为a和和b，以初速，以初速v0 沿沿x正方向运动，当正方向运动，当t=0时进入磁感应强度为时进入磁感应强度为B的均匀的均匀磁场，磁场方向如图，充满磁场，磁场方向如图，充满x0的空间，设线圈的空间，设线圈

39、的自感为的自感为L，质量为，质量为m，并设，并设b足够长，求线圈的足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电阻不运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电阻不计）。计）。）（方向反产生变变LIvvBaIaBF maF tvmIaBdd线框进入磁场后，动生电动势线框进入磁场后，动生电动势有电流产生，方向沿有电流产生，方向沿y方向沿方向沿 -x即：即：所受的安培力：所受的安培力： 0IRLLvBatItILvBadd0ddvmLaBtv2222dd由全电路欧姆定律，线圈由全电路欧姆定律，线圈R=0由以上两式得：由以上两式得： （谐振动二阶微分方程）谐振动二阶微分方程）vmLaBtv2222

40、dd （谐振动二阶微分方程）谐振动二阶微分方程）mLaB222)cos(tAv)sin(tAx0, 0,0, 00vAvvxt时)0() tsin(vx0 x由初始条件：由初始条件：例例35. 如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两板，其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相连，金属板和导线的电阻可忽略不计。金属板相连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为今有电阻率为的水银流过矩形管，流速为的水银流过矩形管，流速为v0. 设设管中水银的流速与管两端压强差成正比，已知流管中水银的流速与管两端压强差成正比，

41、已知流速为速为v0时的压强差为时的压强差为P0。在垂直于矩形管上下平。在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感应强度为面的方向上加均匀磁场，磁感应强度为B。求加。求加磁场后水银的流速磁场后水银的流速v 。Bva BvblRIvablBBIaF2解：设加磁场后水银的流速为解：设加磁场后水银的流速为v，水银的电阻：水银的电阻：感应电流：感应电流：水银所受磁场力水银所受磁场力与流速反向与流速反向水银中产生感生电动势水银中产生感生电动势blaR vlBabFP2PP0管两端附加压强差：管两端附加压强差：管两端实际压强差：管两端实际压强差：vPlBPPPvv02000102001PlBvvv据题设

42、据题设 A o 七、在光滑水平桌面上，有一长为七、在光滑水平桌面上，有一长为L质量为质量为m的的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的另一端匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的另一端在半径为在半径为L的光滑金属圆环上滑动，接触良好。的光滑金属圆环上滑动，接触良好。旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻R（不影（不影响棒转动），若在垂直桌面加一均匀磁场响棒转动），若在垂直桌面加一均匀磁场B，当，当t=0，起始角，起始角=0处，金属棒获得初角速度为处，金属棒获得初角速度为0。求：（求：（1）任意时刻）任意时刻t 金属棒的角速度金属棒的角速度 ；（；（2）金属棒停下来时转

43、过的角度金属棒停下来时转过的角度=？（其它电阻、摩？（其它电阻、摩擦力不计）。擦力不计）。2010年年“拓普杯拓普杯”天津市大学生物理竞赛天津市大学生物理竞赛 212B L22B LIRRdFIBdrMdIBrdr24200124LLB LMdMIBrdrIBLR解：（解：（1）某时刻）某时刻 t ，棒的角速，棒的角速度为度为 ，此时，棒切割磁力线，此时，棒切割磁力线获得电动势：获得电动势：棒中（棒中（r-r+dr）所受安培力为：）所受安培力为：dr所受的磁力矩：所受的磁力矩：合力矩：合力矩：棒中电流：棒中电流： A o tRmLB42d4dt42tRmLB0d4d0tRmLB04322edd

44、dtdt0430ded22ttRmLB02234LBRm0分离变量：分离变量：积分：积分：（2）tJMddtmLRLB42dd3142由刚体转动方程：由刚体转动方程：231mLJ （转动惯量（转动惯量 ） A o 九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度为保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度为L，内外半径为内外半径为a、b，极化强度矢量，极化强度矢量p=kr/r2 (k为常为常数，介质内部无极化电荷数，介质内部无极化电荷)，相对介电常数为，相对介电常数为r、相对磁导率为相对磁导率为r，求：（，求：（1）圆筒内外的电

45、场强度）圆筒内外的电场强度E、电位移矢量、电位移矢量D分布；（分布；（2）若圆筒绕其中心轴）若圆筒绕其中心轴以匀角速以匀角速转动，圆筒内外的磁场强度转动，圆筒内外的磁场强度H、磁感、磁感应强度应强度B分布。分布。111()()0 kDpr prr rr rr0 ar ar ar akkp np rrabkb212aaak 212bbbk 解：极化体电荷密度：解：极化体电荷密度：极化面电荷：极化面电荷： 0.5分圆筒表面单位长度的极化电荷：圆筒表面单位长度的极化电荷： 1分0.5分1分0.5分E000()()20() arakEarbrrrb00()()0()rakEEarbrrb 由高斯定理求

46、极化电荷产生附加场由高斯定理求极化电荷产生附加场 分布：分布： 00E 0 EEEE由于由于 ，故，故 ，故介质内外，故介质内外电场分布：电场分布： 0.5分1分000()()0()0()rakkDarbrrrb222aajkk 222bbjkk0DEP0E 0P 由由 ，求，求D分布，介质外分布，介质外 ， ，故：故：,ab筒旋转，内外表面异号极化电荷形成流向相反的筒旋转，内外表面异号极化电荷形成流向相反的载流长直螺线管，单位长度圆筒面电荷载流长直螺线管，单位长度圆筒面电荷 旋转形成电流密度：旋转形成电流密度：1分1分1分0,(),()0,()raHkarbrb00,(),()0,()rra

47、Bkarbrb HnIj螺线管内部，螺线管内部， ，外部为，外部为0，磁场叠加：，磁场叠加： 0BH 由由 ，求得，求得B的分布：的分布： 1分1分四、通有电流四、通有电流I的长直导线（视为无限长）弯曲成的长直导线（视为无限长）弯曲成如图所示。弯曲部分为圆，半径为如图所示。弯曲部分为圆，半径为 ，问圆心处，问圆心处的磁感应强度的磁感应强度 的大小和方向如何？的大小和方向如何？解法：圆心出的磁场可以看作解法：圆心出的磁场可以看作长直导线和圆电流产生的磁场长直导线和圆电流产生的磁场的叠加的叠加. .RIB201长直导线的磁场长直导线的磁场 方向垂直纸面向外；方向垂直纸面向外；圆电流的磁场圆电流的磁

48、场 方向垂直纸面向里；方向垂直纸面向里； RIB202故圆心处的磁场故圆心处的磁场方向垂直纸面向里；方向垂直纸面向里； 112012RIBBB2011年年“拓普杯拓普杯”天津市大学生物理竞赛天津市大学生物理竞赛 B十设有一均匀磁场十设有一均匀磁场 分布在半径为分布在半径为R的圆柱形的圆柱形区域内，并以速率区域内，并以速率 变化。有五段长度均为变化。有五段长度均为R的的金属细棒串联按如图所示的形式放置。求各段的金属细棒串联按如图所示的形式放置。求各段的感应电动势（注意标明电动势的方向）。感应电动势（注意标明电动势的方向）。BdtdB解：变化的磁场在其周围会激发起解：变化的磁场在其周围会激发起涡旋

49、电场。感生电动势为涡旋电场。感生电动势为iLSdBEdlSdtt 当当Rr 022idBErrdt2ir dBEdt odcba 当Rr 22idBErRdt22iR dBEr dt（1）oa、do这两段导体电动势这两段导体电动势 、 。由于。由于 垂直这两段导体，垂直这两段导体，oadoE所以所以0dooa odcba 同理同理224cdR dBdt （2）联结）联结ob、oc，所以，所以15docaob30boc oaabbooabodtdl dEl dEl dEl dE 可得可得20024abR dBdt 即即224abR dBdt 1215360dS BdBRdtdt odcba 方向：方向：a b。方向：方向：c d。 obbccdobcodt