初等数论潘承洞答案

1、初等数论潘承洞答案【篇一：初等数论与中学数学】摘要：?初等数论?是数学与应用数学、数学教育专业的一门专业根底课,主要研究整数的性质,历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂,容易引起人的兴趣,但是解决它们却非常困难.近年来,数论在中学数学中的运用越来越多,特别是在中学的数学竞赛中运用极为广泛.本文主要介绍初等数论在中学数学中的应用以及初等数论与中学数学教学的相关问题.关键词：初等数论中学数学数学竞赛中学数学教学正文：一、初等数论在中学数学中的应用在中学数学中,整数是最为常用的一种数之一,而初等数论是研究整数最基本的性质,与算术密切相关的一门学科,初等数论可以说是算术问题的延深.

2、初等数论中的整除性质,抽屉原理等一直是中学数学竞赛最热门的话题,由此可见初等数论在中学数学中的应用是极为广泛的.一中学数学中与初等数论相关的几个问题1、整除问题在小学的时候我们就知道,要知道一个数能不能被令一个数整除,可以用长除法来判断,但当被除数位数较多的时候,计算量增大,问题就变得非常麻烦了.但在学习了初等数论之后问题会得到大大的简化.1.1整除的概念及其性质定义1整除设a、b是整数,b*0,如果存在整数q,使得a=bq成立,那么称b整除a,或a能被b整除,记作：bIa.定理1传递性bla,cIb=cIa定理3mIal,mIan,q1,q2,qnz=>mI(a1q1+a1q2+anq

3、n)定理4设a与b是两个整数,b0,那么存在唯一的两个整数q和r,使得a=bq+r,0<rb(1)并称q为a被b除所得的不完全商；r叫做a被b除所得的余数；(2)式称为带余数除法.1.2下面举几个例子：例1证实3In(n+1)(2n+1),这里的n是任意整数.证法一：根据题意,n可以写成n=3q+r,这里r=0,1,2,q为整数,对取不同的值进行讨论,得出结论.证法二：根据整数定义,任何连续三个整数的乘积必是3的倍数.证实三：根据1八2+2八2+n八2=1/6n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n+2)=6(1八2+2八2+n八2)得出6In(n+1)(n+2)即3In(n+1)(2

4、n+1)证实四：利用数学归纳法进行证实.例2设a、b、c为正整数,且满足a+b+c=9,求证a八3+b八3+c八3中100.证实：假设aA3+bA3+cA3=100,于是(aA3-a)+(bA3-b)+(cA3-c)=91由于3I(aA3-a),3I(bA3-b),3I(cA3-c)于是3I(aA3-a)+(bA3-b)+(cA3-c),但是3不能整除91,假设是错误的,因此aA3+bA3+cA3中100得证【注】数论中的整除理论有如下结论：连续n个整数中必然存在唯一的一个数属于模n同余于0的剩余类(即该集合中包含了所有n的倍数),那么任意连续n个整数之积必是n的倍数,对于任意整数a,均有aA

5、3-a=a(a-1)(a+1),而连续三个整数中必然有一个数是三的倍数,所有3I(aA3-a)例324I62742ab,求a、b.故此题往往习惯于利用整除特征加以解决.但是利用整除特征解答有两个弊端,即解题过程比较繁琐,且假设干非特殊数无法解,可利用整除的因式分解法得出一般的解法.【注】对于特殊数的整除规律要求能掌握其一般定理的证实,并熟记一些特殊数(如2,3,5,9等)的整除规律.例4试证nA(n-1)1能被(n1)八2整除.证实：nA(n-1)1=(n-1)+1A(n-1)-1=(n-1)A(n-1)+c(1,n-1)*(n-1)A(n-2)+c(n-2,n-1)*(n-1)+1-1=(n

6、-1)A(n-1)+(n-1)A(n-1)+(n-1)A2由于上式的每一项都能被(n-1)A2整除,所以nA(n-1)-1能被(n1)八2整除.【注】这里利用的是组合数c(k,n)是整数,我们知道,在二项式(a十b)An的展开式中其系数是组合数,它是一个整数,利用它的性质,有助于解决整除性的问题.例5证实：假设n是大于i的正整数,那么f(n)=2A3n-7n-1那么能被49整除.证实：(1)当n=2时,f(2)=2A(3*2)-7*2-l=49能被49整除.(2)假设n=k时f(k)=2A(3k)-7k-1能被49整除.当n=k+1时,要证f(k+1)=2A3(k+1)-7(k+1)-1能被4

7、9整除.事实上,f(k+1)=8*2A3k-8*7k-8-49k二8(2八3k-7k-1)+49k显然,f(n+1)能被49整除.综上可知,对于大于l的任意正整数n,f(n)都能被49整除.总结：竞赛中关于数论的论证题,根本上都是讨论整数性和整数解,证实方法通常有：直接法,间接法(反证法).2、公因数与公倍数问题和整除性一样,两个数的最大公因数也可以通过等号来定义,把它化作等式问题.下面用一个例子进行简单说明：例1(2000年全国高中数学联赛)在平面上的整点到直线y=5x/3+4/5的距离中最小的是()a.34/170b.34/85c.1/20d,1/30解：首先整理直线方程为整数系数方程25

8、x-15y+12=0,设平面上的整点px0,y0到直线的距离为：d=I25x0-15y0+12I/534根据初等数论中的公因式理论,在x0,y0为任意整数时,25x0-15y0便是了5的所有倍数,于是d=I25x0-15y0+12I/534=I5k+12I/534在5k=10的时候,距离d取得最小值34/85,所以b答案正确【注】数论中的相应理论为：设d是整数a、b的最大公约数,那么存在唯一确定的整数m、n,使得d=am+bn成立,而且d的所有倍数可以写成ax+by的形式,其中x、y为任意整数.3、抽屉原理抽屉原理又称为鸽巢原理,它是组合数学的一个重要原理,最先由德国数学家狄利克雷明确的提出来

9、的,因此,也有人把它成为狄利克雷原理.用一个简单的例子来说明抽屉原理,桌子上有十个苹果要放到九个抽屉里,无论怎么放,始终有一个抽屉里至少会出现两个苹果.这就是抽屉原理在日常生活中最简单的表达,利用抽屉原理我们可以解决很多看似复杂的排列组合问题.原理1:把多于n+1个的物体放到n个抽屉里,那么至少有一个抽屉里的东西不少于两件.原理2:把多于mnm乘以n个的物体放到n个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体.原理3:把无穷多件物体放入n个抽屉,那么至少有一个抽屉里有无穷个物体.原理5:把mn1个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有m1个物体.下面举一个例子：例1:从2、4、6、3

10、0这15个偶数中,任取9个数,证实其中一定有两个数的和是34.分析与解答：题目中的15个偶数制造8个抽屉.此抽屉特点：但凡抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点：这两个数的和是34.现从题目中的15个偶数中任取9个数,由抽屉原理由于抽屉只有8个,必有两个数可以在同一个抽屉中符合上述特点由制造的抽屉的特点,这两个数的和是34.例2:从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数.分析与解答：根据题目所要求证的问题,应考虑根据同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原那么制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组,看成10个抽屉显然,它们具有上述性质：1,2,4,8

11、,16,3,6,12,5,10,20,7,14,9,18,11,13,15,17,19.从这10个数组的20个数中任取11个数,根据抽屉原理,至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数.4、中学竞赛中的数论问题与初等数论的联系和区别竞赛中很多数学问题的解法都来源于高等数学.数学就其方法而言,大体可以分为分析和代数,即就是连续数学和离散数学.奥赛试题来自数论,组合分析,近世代数,函数方程等.其中数论只是局部,来源于初等数论的概念与性质.但是竞赛数学中的数论问题,又区别于初等数论.初等数论追求的是一般的理论和方法,竞赛数学的

12、目的却在于解题,是对一种题型的快速解答,多倾向于运用总结出来的一般的理论和方法的演算性质.前者注重知识理论,后者注重解题方法.二、初等数论与中学数学教学中学数学学习过程中,初等数论的知识和思想方法是常见的.教师在日常教学中要给予足够的重视.随着新课程改革的逐步深入,初等数论知识和思想方法,一方面出现在日常教学中,另一方面是以竞赛的形式出现的,后者更为突出.对于前者?课标?是这样要求的,该专题是为对数学有兴趣和希望进一不提升数学素养的学生而设置的,所涉及的内容反映了某些重要的数学思想方法,有助于学生进一不打好数学根底,提升应用意识,有助于学生终身的开展,有助于扩展学生的数学视野,有助于提升学生对

13、数学的科学价值、应用价值、文化价值的熟悉.【篇二：初等数论教学大纲】t课程编号：总学时：36总学分：2开课学期：第6学期适用专业小学教育理一、课程性质、目的与任务本课程是针对小学教育理专业在第六学期开设的专业选修课,通过这门课的学习,使学生可以加深对数的性质的了解与熟悉,便于理解和学习与其相关的一些课程,并通过掌握数论中的最根本的理论和常用的方法,可以他们的理解和解决数学问题的水平,为今后的学习奠定必要的根底.二、课程教学的根本要求有关定义、定理、性质等概念的内容按知道、了解和理解三个层次要求；有关计算、解法、公式和法那么等方法的内容按含、掌握、熟练掌握三个层次要求.三、课程的主要内容、重点和

14、难点一、整数的整除性理论一教学内容1、整除性、公因数、公倍数：两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因子的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法.2、素数与整数的素因子分解：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法筛法.3、函数x、x及其应用：函数x与x的概念、性质、n!的素数分解、组合数为整数的性质.4、抽屉原理：抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应用.重点：整除、公因子、素数的概念及性质,剩余定理,求最大公因子的方法,整数的素数分解定理.难点：函数x、x的概念及其应用.二教学根本要求1、理解整数整除、公因子

15、、公倍数的概念及相关性质,理解剩余定理,熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法.2、理解素数与合数的概念、素数的性质,理解整数的素数分解定理,会用筛法求素数.3、了解函数x与x的概念、性质,n!的素数分解、组合数为整数的性质.4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数.二、不定方程一教学内容1、二元一次不定方程：二元一次不定方程的形式,二元一次不定方程解的形式,二元一次不定方程有整数解的条件,利用剩余定理辗转相除法求二元一次不定方程的解.2、多元一次不定方程：多元一次不定方程的形式,多元一次不定方程有解的条件,求简单的多元一次不定方程的解.3、不定方程：不

16、定方程整数解的形式,fermat大定理的简单介绍,重点：二元一次不定方程解的形式,二元一次不定方程有整数解的条件,利用剩余定理辗转相除法求二元一次不定方程的解.二教学根本要求1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件,熟练掌握利用剩余定理辗转相除法求二元一次不定方程的方法.2、知道多元一次不定方程有解的条件,会求解简单的多元一次不定方程.3、知道不定方程整数解的形式.三、一元同余理论一教学内容1、同余的概念及性质：整数同余的概念、同余的根本性质,整数具有素因子的条件,利用同余简单验证整数乘积运算的结果.2、剩余系、完全剩余系：剩余系、完全剩余系的概念,判断剩余系的方法,欧

17、拉函数的定义及性质.3、欧拉定理及其应用：欧拉定理、fermat小定理,循环小数的判定条件.4、一次同余式：同余式的定义,一次同余式有解的条件,求解同余式.5、中国剩余定理：中国剩余定理,中国剩余定理的应用,求解同余式方程组.6、高次同余式：判断高次同余式的解个数,解高次同余式的方法,模整数同余式与模素数同余式的关系,求解简单的3、4次同余式.7、素数模的高次同余式：素数模同余式的次数化简,wilson定理,同余式的次数与解数的关系,n次同余式有n个解的条件.重点：剩余系的判定,欧拉函数的定义及性质,中国剩余定理,求解三次以下的同余式.难点：剩余系的判定,中国剩余定理,模整数同余式与模素数同余

18、式的关系.二教学根本要求1、理解整数同余的概念及同余的根本性质,熟练掌握整数具有素因子的条件,会利用同余简单验证整数乘积运算的结果.2、理解剩余系、完全剩余系的概念,熟练掌握判断剩余系的方法,理解欧拉函数的定义及性质.3、了解欧拉定理、fermat小定理,掌握循环小数的判定方法.4、理解同余式的定义,掌握一次同余式有解的条件,熟练掌握求解一次同余式.5、理解中国剩余定理,掌握中国剩余定理的简单应用,掌握求解简单同余式方程组的方法.6、了解高次同余式解的个数的判断方法,知道解高次同余式的方法,了解模整数同余式与模素数同余式的关系,掌握求简单的3、4次同余式解的方法.7、了解素数模同余式的次数化简

19、、wilson定理,了解同余式的次数与解的个数的关系,知道n次同余式有n个解的条件.四、学时分配五、本课程与其它课程的联系本课程的先修课为高等代数及后续课为抽象代数、代数学等,与抽象代数有着密切的联系.同时又为学习计算机以及离散数学打下必要的理论根底.六、考核方式该课程是测试课,测试的形式是闭卷,评分标准：平时占百分之三十、期末占百分之七十.七、教材与主要参考书?初等数论?第三版,闵嗣鹤、严士健编,高等教育出版社.?初等数论?,潘承洞、潘承彪主编,北京大学出版社出版.?数论简明教程?,叶景梅等著,宁夏人民出版社.1998年8月第1版八、有关说明教学建议初等数论是一门抽象、理论性较强、内容较杂的

20、数学学科.学好初等数论的关键是把握好概念.把握好概念就要讲清概念,多做练习.由于课时较少标注章节,不作本课程教学和测试要求,仅供学生自学或向更高层次开展需要.【篇三：初等数论、】一哥德巴赫猜测你能看懂下面的这些式子吗？6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11,18=7+11,20=3+17,22=5+17,24=5+19,26=13+13,9=3+3+311=3+3+513=3+3+715=3+5+717=3+7+719=3+5+11,21=3+7+11,23=3+3+17,看了这些式子,也许你会认为轻视了你,这些连小学生都能看懂的式子,难道你还看不懂？

21、每个人都能看懂这些式子,可是,并不是所有的人都能看懂其中的奥秘：上面所有等式右边的加数都是奇素数,第一类等式左边的偶数大于或等于6都是两个奇素数的和；第二类等式左边的奇数大于或等于9都是三个奇素数的和.世界上有一个人第一个发现了这个现象.1742年6月7日,住在圣彼得堡的德国中学教师哥德巴赫给当时住在俄国圣彼得堡的大数学家欧拉写了一封信,在信中向欧拉请教两个问题：第一,是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇素数之和？如6=3+3,14=3+11等.第二,是否每个大于7的奇数都能表示为3个奇素数之和？如9=3+3+3,15=3+5+7等.实际上第一个猜测是根本的,第二个猜测可以由第一个猜测推导出来

22、.由于每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和.多么简单,多么朴实的猜测！这就是著名的哥德巴赫猜测,它是数论中的一个著名问题,常被称为数学皇冠上的明珠.这位中学老师一封具有划时代意义的信提出的问题,把当时最杰出的数学家欧拉难住了.他在回信中写道：尽管我不能证实它,但我相信这是一条完全正确的定理.在这以后的150多年里,数学家们在哥德巴赫猜测面前显得无能为力.毫无疑问,肯定或否认哥德巴赫猜测,是对数学家智慧与水平的挑战,也是对未来数学家的挑战,这道人人都能明白的数学问题,难倒了每一位聪明过人的数学家.1900年在巴黎召开的世界数学家大会上,大权威希尔伯特发表了著名演说,向世界数学家

23、建议了23个待解的数学问题,哥德巴赫猜测是其中的第八个问题.1912年在英国剑桥举行的又一次数学家大会上,具有崇高威望的兰岛又一次提出哥德巴赫猜测问题,说哥德巴赫猜测是素数研究中四大难题之一.1922年,在哥本哈根的数学家大会上,又一位数学大师再次强调证实哥德巴赫猜测的难度可以和数学中任何未解决的问题相比较.二百多年来,各个时期最伟大的数学家都非常重视哥德巴赫猜测,虽然他们没能证实它,但都期待着后来人能征服这座数学顶峰.在数学大师们的号召下,许多数学家一次又一次向哥德巴赫猜测发起攻击,事情终于出现了转机.在二十世纪20年代,英国数学家哈代和李特伍德,在广义黎曼猜测的前提下,证实了大奇数是三个素

24、数的和,几乎所有的偶数是两个素数的和.但是这个前提的真实性还有待证实,它的证实或许与证实哥德巴赫猜测同样困难,或许更加困难.1937年,前苏联伟大的数学家维诺格拉多夫利用他独创的主角和方法证实了每个充分大的奇数可以表示为3个奇素数之和,根本上解决了第二个问题.但是第一个问题仍未解决.由于问题实在太困难了,数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为素因数个数分别为m、n的两个自然数之和,简记为“m+n'.1920年,挪威数学家布伦证实了“9+9；1924年,雷德玛琪证实了“7+7'；1932年,依斯特曼证实了“6+6；1938年,布赫塔布证实了“5+5'；19

25、40年,两位前苏联数学家证实了“4+4；1955年一1957年,我国数学家王元证实了“3+4与“2+3；1962年,我国数学家潘承洞证实了“1+5；这是一个突破.随后,潘承洞和王元又独立证实了“1+4；1965年,布赫塔布、小维诺格拉多夫、邦比尼分别独立证实了“1+3'：1966年,我国著名数学家陈景润宣布证实了“1+2；1973年发表了证实全文.这一结果被称为陈氏定理工至今仍是最好的结果.陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉,不仅仅是由于陈氏定理使中国在哥德巴赫猜测的证实上处于领先地位,更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难,不畏艰险,永攀高峰的精神将鼓舞和鼓励有志青年为

26、使中国成为二十一世纪世界数学大国而奋斗！哥德巴赫猜测只剩下“1+1'没有证实了,如同登山一样,最后一步肯定会最艰难.在新世纪,也许数学家们另辟蹊径能够解决这个问题,也许不能解决,原因是哥德巴赫猜测反映自然数的本质,太深刻了,太难了！【附录】一、【陈景润简介】陈景润1933年1996年中国数学家、中国科学院院士.1933年5月22日生于福建省福州市.1953年毕业于厦门大学数学系.被分配到北京当中学教师.1954年回厦门大学任图书资料员.在此期间,写出数论方面的论文多篇,因而受到华罗庚的重视,被调到中国科学院数学研究所工作,先任实习研究员、助理研究员,再越级提升为研究员,并中选为中国科学

27、院数学物理学部委员.陈景润是世界著名解析数论学家之一,他在50年代即对高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题与华林问题的以往结果,作出了重要改良.60年代后,他又对筛法及其有关重要问题,进行广泛深入的研究.他证实了每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和工被誉为筛法的光芒顶点.这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖.他对哥德巴赫猜测的研究至今仍然在世界上遥遥领先.陈景润出生在一个小职员的家庭,上有哥姐、下有弟妹,排行第三.由于家里孩子多,父亲收入微薄,家庭生活非常拮据.因此,陈景润一出生便似乎成为父母的累赘,一个自认为是不受欢送的人.上学后,由于瘦小

28、体弱,常受人欺负.这种特殊的生活境况,把他塑造成了一个极为内向、不善言谈的人,加上对数学的痴恋,更使他养成了独来独往、单独闭门思考的习惯,因此竟被别人认为是一个怪人.令人难以置信的是,外国数学家在证实“1+3'时用了大型高速计算机,而陈景润证实“1+2却完全靠纸、笔和头颅.如果这令人费解的话,那么他单简化“1+2这一证实就用去的6麻袋稿纸,那么足以说明问题了.陈景润于1978年和1982年两次收到国际数学家大会请他作45分钟报告的邀请.这是中国人的自豪和骄傲.他所取得的成绩,他所赢得的殊荣,为千千万万的知识分子树起了一面不凋的旗帜,辉映三山五岳,召唤着亿万的青少年发奋向前.二、【陈景润的故事】陈景润成了国际知名的大数学家,深受人们的敬重.但他并没有产生骄傲自满情绪,而是把功绩都归于祖国和人民.为了维护祖国的利益,他不惜牺牲个人的名利.1977年的一天,陈景润收到一封国外来信,是国际数学家联合会主席写给他的,邀请他出席国际数学家大会.这次大会有3000人参加,参加的都是世界上著名的数学家.大会共指定了10位数学家作学术报告,陈景润就是其中之一.这对一位数学家而言,是极大的荣誉,