带电粒子在电磁场中运动问题 协变形式下的作用量原理.

1、带电粒子在电磁场中运动问题带电粒子在电磁场中运动问题协变形式下的作用量原理协变形式下的作用量原理物理科学学院物理科学学院2012级伯苓班级伯苓班杨杨麒麟麒麟 12102612014年年01月月12日日理论力学期末报告理论力学期末报告u1、重温经典力学体系下带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数u2、协变形式下的作用量原理和拉格朗日函数推导及规范变换u3、量子力学中正常Zeeman效应1,2,.,dTTQsdtqq拉格朗日方程LL01,2,.,dsdtqq如若广义力都是保守力洛伦兹力F0洛伦兹力不是一个保守力，固不可以写出一般形式下的拉格朗日方程。需要求出广义势能。dpq EvBdt 带电粒子在电磁场

2、中的拉格朗日函数带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数由麦克斯韦方程组我们引入电磁场的矢势AA0 B=A0AEt电磁场的标量函数AEt0000EE+0B0BtEBJt vv dpqvvdtt （6）洛伦兹力可以表示为dpvdtt v因为 算符不作用 的函数上dtdxxAd 由于电子运动，在时间 里有位移，所以矢势 有增量由以上两式可得：因此，作用于粒子上的矢势总变化率为dvdtt dpqqvdt dpqvvdtt 得到：Uqv 定义广义势能 综合以上几式可知由广义势能和拉格朗日函数的定义L=T-V21v2Lmqv 非相对论条件下非相对论条件下相对论条件下相对论条件下LPmveAq21()2Hp qL

3、PeAem22021vLm cqvc 22240Pqcm cq 拉格朗日函数和哈密顿函数拉格朗日函数和哈密顿函数根据相对论力学，粒子的四位坐标可以看成原时 的函数，故其协变形式的最小作用量原理可以表示为： L,xxx存在一个四维的标量函数，粒子的真实运动轨迹是使作用量积分的取极值 21L, 0 xxd，即变分为零2x xc 协变形式下的作用量原理协变形式下的作用量原理因为四维速度矢量的模总是和光速相等，所以有约束条件利用拉格朗日不定乘数法求变分。故引入辅助函数 22LLx xc 210L d对新函数取变分求极值由欧拉方程可知：LL0dxdx将以上各式代入协变形式下的作用量原理协变形式下的作用量

4、原理2LLLL-0dxdcuuuux用广义速度u 表示,并对上页等式左右两侧分别乘以u2LLddcddxuuu对两侧积分，可得2L=-Lcuu协变形式下的协变形式下的欧拉方程欧拉方程2LLLL-0dxdcuuuu协变形式下的作用量原理协变形式下的作用量原理2LLLL-Pcuuuuu广义动量广义动量运动方程运动方程dPLPdx我们容易得到，对于自由粒子20Lm c 自由粒子的拉格朗日函数自由粒子的拉格朗日函数0Pmu四维动量11LdLdtLdt即可得到经典形式下的拉氏量212021vLLm cc 讨论222200021 12vLm cm cm vc c在非相对论条件下v 带电粒子在电磁场中运动时

5、，粒子与场之间发生相互作用。故需要在自由电子的拉格朗日函数上加一个补充项，以描述这种作用。2200222021 =1ivLLLm ceA ucvm cqvc 四维动量四维动量02LLLL-PeAmcuuuuuu粒子在电磁场中的拉格朗日函数粒子在电磁场中的拉格朗日函数粒子在电磁场中粒子在电磁场中的哈密顿函数的哈密顿函数20Hp qLm ce用广义动量表示2222()Heem cPAcc22240Pqcm cq 哈密顿函数哈密顿函数SSP-H-t用代替 ， 代替 ，得到哈密顿 雅克比方程哈密顿哈密顿雅克比方程雅克比方程222221S( S)+0teAem ccc （）, iAAc电磁势 规范变换f

6、 ,AAAx带电粒子的拉格朗日函数中作规范变换 得到的新拉格朗日函数和原的势 函数等价22021vLm ceA uc 221122021vSLdm ceA udc（）变换前, iAAc满足洛伦兹条件, iAAc电磁势 规范变换220222021() =1vfLm ce Aucxvdfm ceA ucd 221121220221(1) =vSm ceA u ddfcLdff变换后在边界点上，变分为零2211L=Ldd LL所以 和 是等价的 原子中的电子，可近似看成在一个中心平均场中运动，能级一般有m简并。实验发现,把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条,此即正常Zeema

7、n效应。 在原子大小范围内,实验室里常用的磁场可视为均匀磁场,不依赖于电子的坐标。设磁场为B ，则相应的矢势A可取为 12ABr取磁场方向为 z 轴方向，则12xABy BxAy210zA 对碱金属原子，每个原子中只有一个价电子，在原子核及内层满壳层电子所产生的屏蔽库仑场中运动，价电子的Hamilton量可表示为2222222221( )2221()( )24xyzzeBeBHPyPxPV rcceBe BlxyV rccP21H=()2qPAqc哈密顿函数iizyxlxpypxyyx 其中zlz是角动量的 分量22282 () (10 cm)xya原子中22242104e BcaceB2BB项项5 ( 10 Gs)B 实验室中的磁场强度【对上式讨论】因此可略去B2 项哈密顿量简化为21( )22zeBHV rlcP2zzelc 最后一项可视为轨道磁矩与外磁场的相互作用加加外外磁场前后对比磁场前后对比属性外加磁场前加均匀磁场(沿z方向)后哈密顿量对称性球对称球对称性破坏，但有绕z轴的旋转对称性能量本征值简并度 m简并 2l+1能级m简并全部消除，分裂成2l+1条能级21( )2HV rP21( )22zeBHV rlcPlnrEmceBElnr2( , , )( )Y ( , )rrn lmn llmrRr ,0,1,2,rn l ,1,ml ll相应的能量本征值为2rrrn l