A不定积分概念与换元PPT课件

1、1第四章第四章 不定积分不定积分第1页/共56页2本章本章重点重点 不定积分的概念与性质 不定积分的计算 第一类换元法（凑微分法） 第二类换元法（变量代换法） 分部积分法 有理函数的积分第2页/共56页31 . 不定积分不定积分的概念概念与性质性质第3页/共56页4不定积分运算不定积分运算从从导数微分运算导数微分运算从从)()()()(xfxfxfxf 互为逆运算例已知物体运动的位置函数s=s(t)，求时刻t的瞬时速度v=s(t)。微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数v=v(t)，求运动的位置函数s=s(t)。积分学解决的问题 一般，已知函数f(x),要找另一个函数F(x),使F(x)=f

2、(x)。 积分学的任务 第4页/共56页5一、原函数与不定积分的概念定义1：已知 f (x) 是一个定义在区间 I 内的函数，,)()()()(xdxfxFdxfxF 或或则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。如：,2)(2xx x 2 是 2 x 的原函数;d sin x = cos x d x, sin x 是 cos x 的原函数;, )()(tvts s (t) 是 v (t) 的原函数。如果存在函数 F (x) , 使在 I 内的任一点都有第5页/共56页6问题F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。1.是否所有的函数都具有原函数？在什么条件下，f (x

3、) 一定存在原函数？ 原函数存在定理：若 f (x) 在区间 I 上连续，则在 I 上必存在原函数。2.连续函数 f (x) 的原函数是否只有一个？设F (x) 为 f (x) 的原函数，),()(xfxF 为任意常数。为任意常数。且且CxfCxF),()( 它们之间有何关系？。定定理理推推论论：由由CxgxfxgxfL )()()()(第6页/共56页7定义2：函数 f (x) 的全体原函数就称为 不定积分。记作其中 积分号f (x) 被积函数f (x) d x 被积表达式x 积分变量例：,2)(2xx .22Cxxdx 若F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则 .)()(CxFxdx

4、f,sin)(cosxx .cossinCxxdx 第7页/共56页8不定积分的几何意义: ，由由CxFxdxf)()().()(xfCxF 即即F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线，方程为 y = F (x) . CxFxdxf)()(则则就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .它们在相同点处有相同的切线斜率。xy0 x第8页/共56页9积分号与微分号的作用相互抵消。由不定积分的定义， 的原函数，的原函数，是是)()(xfxdxf则有又 xdxfxdxF)()(,)(CxF ,)(xdxfd 或 ,)(CxFd或或）（)()(xdFdxxF 积分号与微分号的作用抵消

5、后加任意常数C。, )()(xfxdxf 第9页/共56页10例：求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的切线斜率均为 6 x 的一条曲线。解：设所求曲线方程为 y = f (x) .由题意，曲线上点(x,y)的切线斜率xdxdyxdxdy6,6 两边取不定积分：,6xdxdy ,32Cxy 为一簇积分曲线。. 132, 2|1 CCyx即有即有.132 xy所求曲线为：所求曲线为：第10页/共56页11 二、 基本积分表( P. 186 )注意：).1(11 CxxdxCxxdxxxd ln1).1( 依基本导数公式与不定积分的定义，既可得基本积分各式（15个）：（代数5个、三角6个、指

6、数4个）。第11页/共56页12例题讨论求下列不定积分：例1.xdxx321 xdxx312 xdx 3538x 83.C 例2.xdxxx 21xdxxdx 212321 x2 23x 32.C ).1(11 Cxxdx第12页/共56页13三、 不定积分的性质 性质 1.函数和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。 .)()()()( xdxgxdxfdxxgxf 性质 2.被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。)0(.)()(为常数为常数 kxdxfkxdxfk（P. 187 188）第13页/共56页14利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点：1、在分

7、项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后，简写为一个常数。2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数是否等于被积函数即可。3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代，公式仍正确。技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。第14页/共56页15例3.xdxex)sin3( xdxxdexsin3.cos3Cxex 例4.xdxxx 2324xdx 234x4 .ln2323Cx 掌握被积函数的恒等变形。.lnCaaxdaxx ,cossinCxxdx 第15页/共56页16例5.xdx 2cotxdx)1(csc2

8、xcot 同理， xdx2tanxdx)1(sec2 .tanCxx 例6.xdxx 22cossin1xdxxxx 2222cossincossin xdxx 22cscsecxtan 例7.xdxx 2cos1cos12xdxx 22cos2cos1 xdx 1sec212 .tan21Cxx .cotCx .Cx 第16页/共56页17例8.xdxxx )1()1(22xdxxxxxx )1(2)1(1222xdxx 2121xln 例9.xdxx 241(假分式= 多项式+真分式)xdxx 241 xdxxxx2222111)1( )1(xx 331.arctanCx .arctan2

9、Cx 第17页/共56页18从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。注重积分过程的正确是至关重要的。即每一步运算都要看能否还原到上一步。第18页/共56页19课外作业习题 4 1（A）1（2, 4, 6, 9, 10), 2, 3, 5习题 4 1（B）1（1, 3, 4, 6, 7, 9), 2, 4第19页/共56页202. 换元积分法第20页/共56页21一、第一类换元法如如何何积积分分？ xdx2sin是复合函数，是复合函数，xy2sin ( 凑微分法 )1.凑常数例1：)22(dxxd xdx2sin xdx2

10、sin2(2x = u) udusin21Cu cos21.2cos21Cx 第21页/共56页22例2：xdex 534 )53(453 xdex3)53(xdxd 3 udeu34)53(ux Ceu 34.3453Cex 例3： 222xxxdxdx 2)1(11( +1)(x + 1 = u)udu 211Cu arctan.)1(arctanCx 第22页/共56页23例4：)0(22 axaxd 211axxda/aa.arcsinCax )1(2 uud 229xxxd如：如： 2)1(10 xxd-1)1,10( xua.101arcsinCx )(22 uaud.arctan

11、122Caxaxaxd 同理：第23页/共56页24例5：)0(22 aaxxd xdaxaxa1121 axaxdaxaxda)()(21 Caxaxa lnln21.ln21Caxaxa 同理：)0(.ln2122 aCxaxaaxaxd 122xxxd如：如： 2)1(2xxd)1,2( xua第24页/共56页25.2121ln221Cxx 例6：tdtt 3cos5sintdtt )2sin8(sin21.2cos418cos161Ctt 例7：xdx cos11xdx 2cos212xdx 2sec212/22.2tanCx 2)1(2xxd原式原式第25页/共56页262.凑函数

12、（变量）定理 1.设 F(u) 是 f (u) 的一个原函数， 的的是是则则)()()(xxfxF 原函数，且有换元公式： xdxxf)()( )( ufudCuF )( .)(CxF 且 u = (x) 可导,证明： )()()(xxFCxF 得证。得证。 ),()(xxf uduf)(第26页/共56页27 xdxxf)()( CuF )( .)(CxF 换元公式： (x) = u uduf)(前例： xdx2sin xdx2sin2(2x = u) udusin21Cu cos21.2cos21Cx xdxxxdxcossin22sin,2sincossin2)(sin2xxxx xdx

13、)(sin (u = sin x)xdx sinsin2 Cu 2xdsin udu2 )()(xdxf )()(xdxdx .sin2Cx 第27页/共56页28例2：xdxx ln1？有无有无)()(xddxx xdxdxln1 xdxlnln1 udu 1.lnlnlnCxCu xdxxf)()( )()(xdxf .)(CxF 例3：xdxx1sin12 )1(12xdxdx xdx11sin .1cosCx 第28页/共56页29例4： xdxtanxdxx cossinxdxcoscos1 .coslnCx 同理：.sinlncotCxxdx 例5：xdx sec xdxsec(s

14、ec x + tan x)(sec x + tan x)xdxxxxx tansectansecsec2 xxxxdtansec)sec(tanCxx tansecln.42tanlnCx 第29页/共56页30Cxxxdx tanseclnsec.42tanlnCx 同理：Cxxxdx cotcsclncsc.2tanlnCx 注意：书P196例16、17关于上述公式的推导技巧：xdxxxdxx2cos1tan1cossin1 )tancos(tanlntantan12xdxdxCxxdx 第30页/共56页31例6：xdx 3sinxdxx sinsin2.coscos231Cxx xdx

15、cos)cos1(2 xxdxdcoscoscos2第31页/共56页32例7：xdxx52sincos )cos(sincos42xdxx )cos()cos1(cos222xdxx xdxxxcos)coscos2(cos642 x5cos52 x7cos71 .C x3cos31第32页/共56页33例8：xdx 2sinxdx 22cos1 xdxxd2cos212.2sin4121Cxx xdx 2cos同理，同理，.2sin4121Cxx 第33页/共56页34例9：xdx 4cosxdx 222cos1dxxx 424cos12cos21.4sin3212sin4183Cxxx

16、dxxx 84cos2cos43第34页/共56页35一般：时：时：当当0,0cossin nmxdxxnmxxxun22sin1cos,sin 令令，是奇数是奇数xxxum22cos1sin,cos 令令，是奇数是奇数22cos1cos22cos1sin22xxxxnmnm ，令令的幂的幂或或则降低则降低，是偶数是偶数或或第35页/共56页36例10：xdx 4secxdxtansec2 xdxtan)1(tan2 x3tan31 .tanCx 例11：xdxx 35sectanxdxxsecsectan24 Cxxx 532sec52sec31sec71xdxxsecsec)1(sec22

17、2 第36页/共56页37一般对：时：时：当当0,0sectan nmxdxxnmxxxun22tan1sec,tan 令令，是偶数是偶数1sectan,sec22 xxxum令令，是奇数是奇数1sectansec,22 xxxnm令令的幂的幂则减少则减少，是奇是奇是偶是偶第37页/共56页38课外作业习题 4 2（A）1, 2, 3(2, 4, 6, 7, 9, 11), 4(1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12)习题 4 2（B）1(偶数), 2(1, 3, 5, 7, 8, 10)3(1, 3, 4, 6), 4第38页/共56页39二、 第二类换元法（ 变量代换法）定理 2

18、.设 x = (t) 是单调的可导函数，, 0)( t 且且 的原函数，的原函数，是是)()()(ttft 的原函数，且有的原函数，且有是是则则)()(xfx 换元公式： tdttfxdxf)()()( 的反函数。的反函数。是是其中其中)()(txxt xdxf)(对对即即 令 x = (t)， tdttf)()( tdt)( )( t Ct )(回代： .)(Cx 第39页/共56页401. 三角代换例1： )0(22axdxa分析：目的：消去根式。利用三角恒等式：. 1cossin22 tt若令 x = a sin t , 则有反函数则有反函数取取,22 t. 0cos,arcsin ta

19、xt且且taaxa22222sin .costa 被积函数第40页/共56页41例1： )0(22axdxa解：令 x = a sin t ,d x = a cos t d t ,tdta22cos 原式原式 tdta)2cos1(22Ctta 2sin2122)arcsin(axt Sin 2t =? Cttta cossin22taxt sinxa Cxa arcsin22axaxa22 .2arcsin222222Cxaxaxaxdxa 第41页/共56页42例2：)0(22 aaxxd分析：化去根式。化去根式。利用公式利用公式tt22sec1tan 若令 x = a tan t , ,

20、22 t取取. 0sec1tan222 tataax则则解：令 x = a tan t ,d x = a sec 2 t d t .tdtata secsec2原式原式 tdtsec1tanseclnCtt axt tantxa1lnCax aax22 .ln22Cxax 第42页/共56页43)0(22 aaxxd对对也可令 x = a sh t ( t 0 )化去根式。化去根式。利用公式利用公式122 tshtch解：令 x = a sh t ，d x = a ch t d t , tdtchatcha 1原式原式1222 tshaax. tcha tdCt .Caxhsra 第43页/共

21、56页44例3：)0(22 aaxxd分析：化去根式。化去根式。利用公式利用公式tt22tan1sec 若令 x = a sec t , , 02 t取取. 0tan1sec222 tataax则则解：令 x = a sec t ,d x = a sec t tan t d t , tdttdtattasectantansec原式原式1tanseclnCtt txaxat cos122lnCaaxax .ln22Caxx 第44页/共56页45或令 x = a ch t ( t 0 ) 22axxd则则.Caxhcra .ln2222Caxxaxxd 如： 12xxxd 43212xxd.12

22、1ln2Cxxx )(21 第45页/共56页46小结：当被积函数含有因子：,22xa ,22xa ,22ax 目的： 去根号。.sintax 令令.tantax 令令.sectax 令令第46页/共56页47例题讨论例1： 222xxxd解：,sin2tx 令令,cos2tdtxd tttdtcos2sin2cos22原式原式tdt 2csc21Ct cot21tx.2212Cxx )2(sinxt 第47页/共56页48例2： 232)1(xxd解：令 x = tan t ,d x = sec 2 t d t .,sec)sec()1(33232ttx tdtt 32secsec原式原式 tdtcosCt sinx1.12Cxx t第48页/共56页492. 根式代换例1：xdxx 1分析：目的：化分数幂为整数幂。(去根号), tx 若令若令.2tx 则则解：, tx 令令.2,2tdtxdtx 则则 原式原式tdtt 123-1+1 tdttt11122tdttt212 第49页/共56页50Ctttt 1ln3121232回代.1ln)