工程测量常用数学知识和计算公式总结范本

1、Fb匕.纵轴为X轴且表示南北方向，向北为正，N f X向南为负。横轴为丫轴且表示东西方向，向东为正, 向西为负。象限分布为顺时针。为了避免测区内的坐标出现负值，可将坐 标原点选择在测区的西南角上(可将测区 坐标原点加一个大数)O六位数(如:566666.00 ):(施工坐标、测图坐标) AOB为施工坐标系，XOI为测图坐标系。 设II为建筑基线上的f 主点，它在施 工坐标系中为AII,BII ,在测图坐标系中 的坐标为XII,YII ,XO,YO为施工坐标原 点在测图坐标系中的坐标提为X轴与A轴 之间的夹角。将II点的施工坐标换算成 测图坐标,其计算式为(见下图)XII =XO+A II co

2、sa-B II sinaYII =Y0+A II sina-B II cosa将测图坐标换算成为施工坐标，其计算式为:AII=(XII-X0 ) cosa+ (YII-YO ) sina BII=(XII-X0 ) sina+ (YII-YO ) cosa矗E瓦惹钮)当制归苧亶驱VU!S+L人=£人/sot+lX=£XVWtP/(3A-L人)=VWS 暮困骂三 nmi_c在平面内,已知A点,B点坐标,亮点见得距离公式 仃.:恕冬点；:骚，则:角度=COS-1(y2-y1)/(x2-x1)A(三角函数)| AB |= Jxl-x2)2 +(yl + y2)2b = 7a2 +

3、C2设:A点(y1,y1)B点(x2,y2)I口 _、几何基础知识1、换算角度的表示通常有角度值和弧度制两种。1 圆周=360° 1°=60z r =60 360°=2tt弧度180。=tt 弧度1 ° = & 弧度1 弧度=(孩)=206265"loU兀 TTTi学基础知识二、三角形(1 )三角形内角和等于180。(2)三角形面积等于;x(底X高)三角形的面积遍aA(3)在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。= / + 歹C =+ 歹b J二2 _ # J(-功(c + 功 a= _ 歹-J(:_ /)(,_/)(4 )已

4、知:正长和角度，求斜长。斜长=正长除以cosa=正长增量(斜长)cos3、在圆中，圆心角的度数等于它所对弧的度数如图弧长ACB = R a 式中:R-半径a-弧度AM = y?sin 2一 一 .aAB= 2 AM = 2y?sm 2aaMC=R-刀cos 力=4(1 cos -)增量(坐标正算)X2 = Xl + D12cosaY2 = Yl + D12sina(二)三角函数基础知识与测量直角坐标系如图为测量直接坐标系，数学上的三角和解析几何中的有关公式，可以直接应用 到测量计算中来。1、三角函数的定义，角a的三角函数正弦(sina )余弦(cosa )正切(tana)余切(cota )正割

5、(seca )余割(coseca )分别定义如下:A ksmf *斜边 IA2邻边 zxl2 cot a=,对边Ay 12邻边 Axl2cos a =斜边 IA2斜边sec <7 =邻边 zxl2nn邻边 Axl2coseca斜边nn对边Ay 12角a的反三角函数分别用以下符号表示:arcsina (反正弦)arccosa (反余弦)arctana(反正切)arccota (反余切)2、坐标正算。如图已知x1 , y1 a D12求 x2 , y2。Ax12=D12cosaAy12=D12sinax2=x1 + Ax12y2=y1 +Ay123、坐标反算。如图已知x1 , y1 ；x2,

6、 y2求D12和aD 12=J(x2xl)+(y2+yl) =xl22+Ayl22Ayl2a=arctanAxl2坐标反算时，角度a的象限确定见下图和表，角度a是从X轴 顺时针旋转到直线01.02.03.04形成的夹角。Ax+.+Ay+.a090°90° 180°180°270°270°360°例题:如图所示，MN为场地两控制点，欲建立以AB , CD为主车由线的施工方格网.(建筑工程测量)P124-125页 解:测设步骤如下:(1 )在施工总平面上布设方位格控制网，计算出各点坐标(注意，控制点 坐标与方格网的坐标必须是同一

7、建筑坐标系，用X,Y表示)。各点坐标如 下xm=533.200 xn=574.830 xo=700.00xa=700.00ym=275.420 yn=556.750 yo=450.00 ya=250.00xb=700.00xc=800.00xd=600.00yb=650.000yc=450.000yd=450.000CASiO冬4850P型计算器数值转换成角度步骤按| SHIFT |+tan-1 | 输数值 | SHIFT | =>DMS2l 1ocosSHIFT | | ANS | EXE (=角度)坐标基线(2 )计算测设数据。确定以N点位极角的计算式为a 二 arctan AXN&

8、#176; = arctanl. 172553 二 49。32'28” AYNoSN0 二 Vax2no +Ay2NO = 164.509m(N oAXnm-.p 二 arctan二 arctanO. 147976 = 8。25'2AYnmO = a + P = 49。32'28 + 8。25'2 = 57。57'30O LO C-'-J8001sco3TOOcAhl:ll:loA1911L-1-11主轴线交点法测方格网(3)实测1) 在N点安置经纬仪，后视M点，以正镜，倒镜顺时针测057°57z 30角，定出NO方向 线，从N点起量1

9、64.509m定出。点，这时主轴线交点就测出来了。2) 移仪器于。点，后视N点，逆时针测a=49°32z 28 (顺时针测a1 310°27, 32正倒镜 取中，定出OB方向线，从O点起量200m,定出B点，正倒镜180°,定出OA方向线，从。点 起量200m定出A点，这样方格网基线即测完。转90°定出OC方向，从o点起量100m,顶出C 点。再倒镜180°,定出OD方向，从。点起量100m,定出D点，纵横两条主轴线测设完毕， 纵横轴线直角误差不赢超过5 o_、点在平面直角坐标系的表示方法平面直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴所组成的。两条轴线

10、的交点称坐标原点，与原点相交的两坐标轴值为零.如下图所示，在平面上任意一点至丫轴的垂直距离叫做该点的纵坐标用X表示。至X 轴的垂直距离叫做该点的横坐标，用丫表示。地面上任意一点的平面位置，在图纸上通常用A ( x , y )表示。图中A点坐标 X=150m , y=170m ,可写成(150 , 170) o二、坐标增量两点的坐标之差叫坐标增量，纵坐标差叫纵坐标增 量,用 x表示。横坐标之差叫横坐标增量，用 y表示。在图中，若A点坐标为A ( xa , ya ),B点坐标为B ( xb , yb )，则A点对B点的增量为A x=xa-xbA y=ya-yb三、计算两点间的距离+ Ar2X1 1

11、1A (xa, ya)Ax /Vi AyyB (xa； ya) 11iii_abo b a二角关系坐标增量从右图中看出，用为 x与Ay互相垂直，就组成以八 x和A y为直角边的直角三角形，AB距离L是三角形 的斜边，所以AB两点距离.1111*?s胡#<«川WW86 H C。寸C.W+C。寸S*寸书 H 舄 + Hs 槌LHJ最EEo 寸 zogno KCXILZogwco9znqAeAn> v Eo 寸co.寸甲09CXICO孚Oo9z9*qxexnxv 。"_!槌sgIME"Av "X 、( olzcxilzea、09CXICO孚 Ex

12、) 。(0gwco9z%>、。9|<9*殳)( $ )四、直线与坐标轴的夹角在图中，如果过B点作两条坐标轴不限，从图形中可以得出这样的三角关系:AB两点斜线对横轴的夹角aAx少 -ctga -sma =Ayz/rpA yZx ctga -sm a -A x41)Ax84 .340-=1.66220Ay50 .740tga =ABtg P(tga =AxA.r cos a =Aykysin /3 =z/xcos a =Lzr_ 50.740艾一 98.427= 0.51551a = 58。58'6"Q = 31°1'54”二角关系坐标增量以上是由已

13、知两点坐标来计算距离和角度，利用 公式也可以用已知距离和角度来计算坐标增量即:Ax = Lsina Zy = L*cosax = Lcosa Zy = LsinagH 印咨 ABa汕SMLH98.427m>Ba汕悉烯 mBg带»*58。58、6、SA汕以B 汕sft 卿 Axn 2、Ayn 2鹭Sm*sm58o58、6、no.85688COS*COS58。58、60.5452 A xnLs-n*98.427 X 0.85688n83.340mA XHLCOS*98.427 X 0.255kH50.740mn>*feBKB五、求两条直线的夹角已知ABC三点，求以C点位极角的

14、a=?，线段AC=?,BC=?三点坐标分别为:xa=337.200 ya=312.100xb=310.700 yb=325.400 xc=272.300 yc=157.300 解:k画图1 )根据已知点坐标，吧点位大致标在坐标平面上(点位的上下左右关系是，纵轴大者在上，横轴大者在右)2 )过C点(极角作纵横坐标补线，这时两条直线间的角度关系就明朗化了。2 ,计算坐标增量(1 ) A点对C点的增量Axac=xa-xc=337.200-272.300=64.900mA yac=ya-yc=312.100-157.300=154.800m(2 ) B点对C点的增量A xbc=xb-xc=310.70

15、0-272.300=38.400mA ybc=ya-yc=325.400-157.300=168.100m3、计算对坐标轴(横轴)的夹角1 ) AC斜线对横轴的夹角4、求线段长八 txac 67.900_ ._tgQ = 0.41925yac 154.8000 = 22。44'45"2 ) BC斜线对横轴的夹角Bn We 38.400 cccc, tgB = 0.22844Kybe 168.100Q =12。52'3"3)两条线AC、BC的夹角a = e - p = 22。44'45” 12。52'3" = 9。52'42A

16、C= Ja&c+A"次=V64.9002 +154.8002 = 167.854/7?BC= 3 或 bc+或 be = a/38.4002 +168.1002 = 172.430/求联直蛹魁ABA'. : IL7ya=774.700yb=657.680yc=734.000E:ACCJO§-YanAyac 40.700 八“八八 tga = = 0.74000Axac 55.000a = 36。30'5"2 BCt 邸=至如=76320 =1.59000Axbc 48.0004)、已知ABC三点，求以C点为极角的” ?三点坐标为: xa=6

17、33.000 xb=626.000 xc=578.000解:1、画图根据三点坐标,吧点坐标在坐标平面上。过极角作坐标 轴补线。如图:2、计算坐标增量1 ) A点对C点的增量Axac=xa-xc=633.000-578.000=55.000Ayac=ya-yc=774.700-734.000=40.7002 ) B点对C点的增量Axbc=xb-xc=626.000-578.000=48.000Aybc=yb-yc=657.680-734.000=-76.3203)计算两条线直线对坐标轴的夹角e坐标的解析计算”a三点坐标为:xa=439.120ya=932.450xb=362.640yb=854.

18、300xc=417.300yc=877.200解:1、回匿I过极角作坐标纵横轴补线，吧点标在坐标平面上2、计算坐标增量1 ) A点对C点的增量Axac=xa-xc=439.120-417.300=21.820(例5 )已知ABC三点，求以C点位极角 的 0=?AC=?BC=?=0.39493Axac 21.820 tga =Ayac 55.250a = 21°33'2”2 BCpn Aybc 22.900 . tgB = = 0.41895Axbc 54.6602 =22。43'52” 30 = a + fi + 90° = 21。33'2"

19、; + 22。43'52" + 90。= 134。16'54”mm应用注意如下几个问题-小结首先要建立以纵，横坐树曾量为直角边而组成直角三角形的概念;否则了其 它计算江无从卞手。计算直线与坐标轴的夹角都是锐角，计算三角函数时，直线与丫轴的夹角对应 边为#直线与X轴夹角对应边为勺。换算过程注意不要弄错。计算两条直线夹角(称极角)时，要先分别算出两个锐角，然后再相加(如 例4 )或相减(如例3 )算出夹角。在坐标平面上标点(画图)时，要注意点位上下左右关系，防止相对位置标 错，误将两角相加变相减(或相减变相加)造成错误。两控制点钟任意一点都可以做为极角(观站点),其计算结

20、果是一样的，但 认定一点后，现场施测时必须用这一点作为测站。否则因极点不同，原计算 数据部能使用必须使用同一坐标值，建筑坐标或测量坐标；施工坐标或测图坐标；小坐标或大坐标两者不能混用导佳节(332监)XAn50p9。 XBU505.4 二 cM-监节 XCU520OO35 呆汁监节 XDU525W46YAH42L296Y?77.l4Ycn4q9.685YDK75.503q ) (渲岳、ei+wc、=Dr( ) 蔓馨s源囹rmMeSHIFTpol (52。835 5。9。宁 419 685 42L 296) EXE WEMr H 19, 99998865>mCDH4 620183071 a

21、例1 )将B点大坐标换成小坐标祥k=500. 900 y=421.296x=520. 835 y=419.685k=505.41:y=4TT. 11D念k=525. 346)y=475. 503解:设A点小坐标(原点)xa=0.000 , ya=0.0001、B点对A点的增量AxBA=505.411-500.900=4.511AyBA=477.114-421.296=55.8182、转换为极坐标(二 ? 0=? ) BA对纵轴夹角及距离SHIFTpol(4.511,55.818)EXEr=55.999984330=85.37961296 3、加角度差a (后视与测站点对X轴角度差)3 =85.

22、37961296+4.620183071 =89.99979603=90.0004、转换为直角坐标(B点小坐标)X=?,Y=?SHIFT rec ( 55.99998433,90.000 )Xb 小=0.000yb 小=55.999彗捋5. 3461 D 爵A、=Dr(渲薯、B )fiwA XDAn525.346&0p900n24.446A yDAn475.503KN 296H54 2072，拂潜苛滞收节(rn 2 * 2 ) DAa芸焉曲泞 SH-FTPO- ( 24.446、54.2。7 ) EXE T59.46432346MH5 吕 9OCZI节捋pB35 1S-夥cn町-4 捋

23、01 Bwcrn济爵而圆常5吕云111- 114*65.7258320 n65.725832+4.62283。7寸7。.346。274，拂潜苛W流监节(D、=Dr、底节)X" 2、yn 2 SH_FTrec ( 59.46432346、7P34600027 ) EXE Xd、/2OOOO Yd、.55.999k=525. 346Dy=475.503k=500. 900x=520. 835y=419. 685k=505.411 y=477. 114B念y=421.2961s c点对A点(原点、测站点)增量A xCA=520.835-500.900=19.935A yCA=419.685

24、-421.296=-1.6112、转换为极坐标(二?”?) CA对纵轴距离及 夹角SHIFTpol ( 19.935 , -1.611 ) EXEr=19.99998868 e=-4.620183071 3、加角度差a ( CA对x轴(纵轴)夹角 3 =-4.620183071+4.620183071 =0.0004、转换为直角坐标(C点小坐标)x= ? , y= ?SHIFTrec ( 19.99998865 , 0.000 ) EXEXc/J=19.999 Yc 小=0.000YA=421.296YC=419.685yb=55.999施工图坐标换成大地坐标 如上图:已知A点(原点，测站点)，。点(后视点)坐标(大坐标)已知B点,D点小坐标,要求把B点,D点小坐标换 算成大坐标。yd=55.999A点大坐标 XA=500.900 C点大坐标 XC=520.83