有关弹簧问题的专题复习

1、有关弹簧问题的专题复习纵观历年高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当的比重，高考命题者常以 弹簧为载体设计出各类试题，这类试题涉及到静力学问题、动力学问题、动量守 恒和能量守恒问题、振动问题、功能关系问题 ，几乎贯穿于整个力学知识体系， 为了帮助同学们掌握这类试题的分析方法，同时也想借助于弹簧问题，将整个力学知识有机地结合起来，让同学们对整个力学知识体系有完整的认识，特将有关 弹簧问题分类研究如下一、弹簧中的静力学问题在含有弹簧的静力学问题中，当弹簧所处的状态没有明确给出时，必须考 虑到弹簧既可以处于拉伸状态，也可以处于压缩状态，必须全面分析各种可能性, 以防以偏概全.【例1】2002年广东省

2、高考题如下图，a、b、c为三个物块,M、N 为两个轻质弹簧,R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们均处于平衡状 态那么：A. 有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态B. 有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态C. 有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态D. 有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态【解析】研究a、N、c系统由于处于平衡状态,N可能处于拉伸 状态，而M可能处于不伸不缩状态或压缩状态；研究a、M、b系 统由于处于平衡状态,M可能处于压缩状态或处于不伸不缩状态，而N可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.综合分析，此题只有A、D正确.【例2】.如下图，重力为G的质点M与三根相同的轻质弹簧相连,静止时，

3、相邻两弹簧间的夹角均为 120 :,弹 簧A、B对质点的作用力均为2G,那么弹簧C对质点的作用 力大小可能为A. 2G B.G C.0 D.3G【解析】弹簧a、b对m的作用力有两种情况：一是拉伸时对M的拉力，二是压缩时对M的弹力.假设A、B两弹簧都被拉伸，两弹簧拉力与质点M重力的合力方向一定竖直向下, 大小为3G,此时弹簧C必被拉伸,对M有竖直向上的大小为3G的拉力，才能使M 处于平衡状态.假设A、B两弹簧都被压缩，同理可知弹簧C对M有竖直向下的大小为 G的弹 力.A、B两弹簧不可能一个被拉伸，一个被压缩，否那么在题设条件下M不可能平衡. 故此题选B、D.【例3】1999年全国高考题如下图，两

4、木块的质量分别为mi和m2,两轻质 弹簧的劲度系数分别为k1和k2,上面木块压在上面的弹簧上但不拴接，整个系 统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧.在这过程中 下面木块移动的距离为A.migkim2gkiC.migk2m2gk2【解析】原来系统处于平衡态那么下面弹簧被压缩 xi那么有：k2X mi m2 g ;当上面的木块刚离开上面的弹簧时，上面的弹簧显然为原长，此时对下面的木块 m2那么有：k2X2二m2g，因此下面的木块移动的距离为二x = Xi -X2二匹？，故此题选C.k2【注意】缓慢向上提，说明整个系统一直处于动态平衡过程二弹簧中的动力学问题有关弹簧问题的动力

5、学问题，同学们应注意以下几个问题：一是因弹簧的弹力是变力，物体在弹簧弹力通常还要考虑物体的重力作用下做变加速运动，掌握这类问题的动态情景分析是解答这类问题的关键 二是要注意弹簧是弹性体，形变 的发生和恢复都需要一定的时间，即弹簧的弹力不能突变三是要注意弹簧问题的 多解性.i.在弹簧弹力作用下瞬时加速度的求解【例4】一个轻弹簧一端B固定,另一端C与细绳的一 端共同拉住一个质量为m的小球，绳的另一端A也固定, 如下图，且AC、BC与竖直方向夹角分别为宀、二2, 那么A. 烧断细绳瞬间,小球的加速度a =gsinRB. 烧断细绳瞬间，小球的加速度a二C.在C处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度a =g

6、sin 齐sin 片 ID.在C处弹簧与小球脱开瞬间，小球的加速度a = gsin可【解析】在绳子烧断前，小球受力平衡，据拉密原理可知：F b _ Fa _ mg 故 f = mg sinf = mg sin 日2sin 片 sin 二2sin 片 2， B sin 宀 二2， A sin二2烧断细绳瞬间,Fa消失，而F b尚未变化弹簧形变需时间，认为这一瞬间不变，此时合力与Fa等大反向，加速度为a二旦 整口 ；弹簧与球脱开时，Fb消msin 廿i +廿2 失,Fa发生突变，此时重力与绳子拉力的合力为:F合工mg sin方向与AC垂直,所以a = gsin R .故此题选B、D.【说明】解答这

7、类题型的关键要注意细绳和轻弹簧两种模型的区别：细绳的张力可以发生突变，弹簧的弹力不能发生突变.；但当弹簧的一端不与有质量的物体 连接时，轻弹簧的形变也不需要时间，弹力也可以发生突变因轻弹簧的质量为零, 其加速度为无穷大【例5】如下图，物块B和C分别连接在轻弹簧的两端，将其静置于吊篮A的 水平底板上，A、B、C三者质量相等且为m.那么将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间, 吊篮A、物块B和C的瞬时加速度分别为A.g、g、gB.g、g、0C. 1.5g、1.5g、0 D.g、2g、01度相等.研究A、B、C系统,由牛顿定律可知：【解析】对物块C在轻绳烧断的瞬间，其受力情况不变，故其瞬时 加速度为零而对于吊篮A

8、和物块B,由于它们是刚性接触，它们之 间的相互作用力可发生突变，因此在轻绳烧断的瞬间A和B的加速3mg = 2ma . aA = aB = 1.5g因此此题的正确选项为C.【说明】注意两物体“刚性接触 和“弹性接触 的区别【例6】如下图，竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两物块 P、Q,它们的质量均为2kg,均处于静止状态.假设突然将一个大小为 10N、方向竖直向下的力施加在物块 P上，那么此瞬间,P对Q压力的 大小为g取10m/s2A.5N B.15NC.25ND.35N.【解析】在物块P上突然施加一个竖直向下的力的瞬间 P和Q的加速度相等.研究P、Q系统，据F =2ma . aP二aQ=2

9、.5m/s2研究 P 物块，据 mg F - N -m-25 N .因此P对Q的压力大小为25N.故此题正确选项为C【练习】如下图，绳子OO挂着匣子C,匣内又用绳子挂 着A球,A的下方用轻弹簧挂着B球,A、B C三个物体的质量 都是m,原来都处于静止状态，当绳子OO被烧断瞬间，试求三 个物体的瞬时加速度.aB=0;aA=ac=1.5g2.物体在弹簧弹力作用下的动态分析【例7】2001年上海市高考试题如下图，一只升降机在箱底装有假设干个 弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力,那么升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中A ,升降机的速度不断减小B. 升降机的加速度不断

10、变大C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负 功大于重力做的正功D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值. 【解析】升降机从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程可分为三个阶段：mgN N为弹簧的弹力，据a =吏匚理二mg -kx可知,加速度a随着形变量x的增大而减小，故此阶段升降mm机做加速度减小的加速运动；mg=N时,速度到达vm ；mgN,据a二二= kx mg可知,加速度a随着形变量x的增大而增大，故此阶段升降 mm机做加速度增大的减速运动，最低点时v=0,由 以上分析知A、B错,由动能定理可知选项 C 正确.做出升降机全过程的速度图象如下图， 由图易知选项

11、D也正确.3.物体在弹簧弹力作用下的运动分析【例8】如下图，一劲度系数为k=800N/m的 轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B.物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平面上，现要施加一竖直向上的力F作用在上面物体A上,使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s,物体B刚要离开地面，设整个过程弹簧均处于弹性限度内 求：此过程中所加外力F的最大值和最小值： 此过程中外力F所做的功.JXL【解析】设物体A刚要开始运动时弹簧的压缩量为 xi,尚未施加外力F时，研究 物体A,那么有kx mg .当施加外力F物体A刚要做匀加速运动时，外力F为最小, 此时对物体 A 有： F1 kx1 - mg

12、= ma .即 F1 = ma设物体B刚要离地时，弹簧的伸长量为X2,此时所施加的外力F2最大.此时研究 物体B,那么有kx2 =mg 此时地面弹力恰为零.、 1 2研究物体 A,贝U有 F2 - kx2 - mg = ma , X1 X2 = ?at .代入数据可得：xx0.15m . F1 =45N . F2 =285N .由于物体A刚要开始运动时弹簧的压缩量X1和物体B刚要离地时弹簧 的伸长量X2相等，可知这两个状态弹簧的弹性势能相等，因此此过程中外力F所做 的功为:【例9】一名宇航员抵达一个半径为最低点时，绳的拉力大小分别为F!和F2 ,速度大小分别为 V和V2.设圆运动1 2W =

13、mg X! x2 m at 49.5J .r的星球外表，为了测定该星球的质量 M, 他做了如下实验：取一根细线穿过光 滑的细直管，细线的一端拴一个质量 为m的小球，另一端连接在一固定的 测力计上，手握细直管转动小球，使 之在竖直平面内做完整的圆周运动，并观察测力计的读数发现：小球运动 至V圆周的最高点和最低点时测力计的 示数差为厶F.万有引力常量为G, 试求出该星球的质量M【解析】假设设小球在圆周的最高点和半径为R2那么在最高点时有：F!，mg二m,R2在最低点时有：F2 - mg =m也，R又:F -F2 -F1,小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒由此可=mg ?2R又据Mmmg由可得F

14、r6 Gm11【例10】两个质量不计的弹簧将一金属块支在箱子 的上顶板与下底板之间，箱子只能沿竖直方向运动， 如下图，两弹簧原长均为0.80m,劲度系数均为60N/m.当箱以a=2.0m/s2的加速度匀减速上升时， 上、下弹簧的长度分别为0.70m和0.60m(g=10m/s2). 假设上顶板压力是下底板压力的四分之一，试判断箱的运动情况.【解析】由题意可知上、下两弹簧均处于压缩状态. 不仿令下、上弹簧的弹力分别为 N和2那么据胡克 定律可得：设向下为正方向，当金属块以2.0m/s 2的加速度匀减速上升时，由牛顿第二定律得：mg N 2 - N 1 = ma .解之 m=0.75kg.因弹簧总

15、长度不变,那么丨= |2二0.70 0.60二1.30(m).上顶板压力为下底板压力的1/4时，设上、下弹簧的压缩量分别为X2和x1,那么 x1=4x2, 由 2l0-5x2=l ,. x2 = 0.06m. N2 = kx2 = 3.6N. 那么N1 =4N2=14.4N.据 mg N 2 - N 1 = ma ,得 a = -4.4m / s2.因此箱子以大小为4.4m/s 2的加速度上升或减速下降.【例11】如下图，质量为M的木块放在水平面上，一轻弹簧下端固定在木块上 上端固定一个质量为 m的小球.小球上下振动时，木块始终没有跳 起.问：在木块对地面压力为零的瞬间，小球加速度多大？在小

16、球上下振动的全过程中，木块对地面的最大压力多大？【解析】木块对地面压力为零的瞬间，显然小球振动到最高点时，此时小球的加速度向下.研究m和M系统，由牛顿第二定律可知M mg=maa二卫m在小球上下振动的全过程中，当小球运动到最低点时，木块对地面的压力最大，此时对m和M系统有：N - M m g = ma .据弹簧的对称性原理可知，小球在振动的最低点和最高点加速度大小相等 将代入到可得：N m = 2 M m g二弹簧连接体问题【例12】如下图，一轻弹簧连接两滑块 A和B,mA=0.99kg,mB=3kg,放在光滑水平面上，开始时弹簧处于原长.现滑块A被水平飞来的质量为 mc=10g、速度为400

17、m/s的子弹击中，且没有穿出，试求：子弹击中 A的瞬间A和B的速度；以后运动过程中弹簧的 最大弹性势能；B可获得的最大动能.【解析】子弹击中滑块A的瞬间,研究A和C系统,由动量守恒定律可得：mcV。- me mA va - v 4m/ s (此时由于弹簧尚未发生形变，故物块B并未参与A、C间的相互作用).子弹击中滑块A后,在弹性力的作用下做加速度增大的变减速运动，与此同时，滑块B做加速度增大的变加速运动，当它们的速度相等时，弹簧的弹性势 能最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律可得：mA me Va =：mA me mB vv =1m/sEpEP =6J .1 2 1 2= 2mA me v2m

18、A me mBv当它们的速度相等后，在弹性力的作用下，滑块a和子弹e将做加速度 减小的变减速运动当它的速度减为零后，可向相反方向做变加速运动,而滑块 B将做加速度减小的变加速运动，当弹簧恢复原长时，设滑块B的最大速度为vb, 此时滑块A和子弹的速度为VA.根据系统动量守恒定律和系统能量守恒定律从 子弹击中滑块A到弹簧重新恢复原长的过程相当于一个完全弹性正碰过程得：mA me Va = mA me Va， mBVB，1 21212-(mA +mc 丹人=一心人 +mc VA，+ mBVB，.代入数据可得 Vb，=2m/s2 2 21 2因此B获得的最大动能为E kbmBvB =6J .2从子弹击

19、中滑块A到弹簧重新恢复原长的全过程可用速度图象表示，其速度图象如下图.关于速度图象的几点说明：由速度图象可知，当t=t1时，弹簧压缩量最短，此时系统内各物体有相同的速度, 并且系统的动能总和最小而弹簧的弹性势能最大.当t=t2时,弹簧第一次恢复原长 此时滑块B有最大速度，而此时滑块A包括子弹C有负向的最大速度；当t=t3时, 弹簧伸长量最大，当t=t4时,弹簧再一次恢复原长.此后再周期性的循环往复的变 化.的正余弦曲线.由滑块B的速度图象可知，它的最大速度为2m/s.【例13】如图所 示，木块A、B的质量分别为m1、m2,由轻弹簧连接，置于光滑水平面上，用一轻绳把两木块拉至最近，使弹簧处于最大

20、压缩状态后绑紧，两木块 一起以恒定的速度 V。向右滑动,突然轻绳断开，当弹簧伸长至本身的自然长度时, 滑块A的速度恰为零,求： 此时木块B的速度;轻绳断开前弹簧的弹性势能；里如果在以后的运动过程中，木块B有速度为零 时刻,那么木块A、B的质量mi、m2应满足的关系 什么？【解析】由动量守恒定律可知：m1 m2Vo = m2v2.mi - m2Vom212i 2由系统能量守恒定律可知：5(mi+m2Vo+EpoUmV2，故Epom1 m1 m222m2 V0由速度图象可知，当mj _m2时,木块B有速度为零的时刻弹簧连接体模型中假设轻绳断开后，滑块A和B的速度图象如下图:【 说 明 在两物体的质

21、量不相等，在速度图象中只是速度的最大值、最小值不同，不需定量计 算时，可粗略画出速度的最大值，应特别注意：质量小的物体的速度最大值较大【练习】如下图,轻弹簧的两端与两物块(质量分别为m、m)连在一起时,mi静 止在A点,m2靠墙,现用水平力F推m使弹簧压 缩,mi=1kg,m2=2kg,将它们放在光滑的水平面上，弹 簧自然压缩一段距离后静止，此过程中力F的功为 4.5J.当F撤去后,求：m在运动过程中的最大速度，(3m/s)m在运动过程中的最大速度，(2m/s)m在越过A点后速度最小时弹簧的弹性势能.(2.25J)【解析】m 在弹开过程中，回到A点时速度最大，设为vi,那么有：Wfm1v1 .

22、2Vi=3m / s.(2).mi越过A点后,m2开始向右加速,mi开始减速，弹簧被拉长，当其伸长到最大长 度时,二者具有共同速度v,此过程对系统有：m1v1 = m1 m2 v； 2mv12m1 m2 v1 2Epm由、解得:v=1m/s. EPm =3J(3).m1全过程的速度图象如下图，由图可知m越过A点后速度最小为零，不是-1 m/s.越过A点 后由伸长 至H最长至 第二次恢 复原长过 程的某一 时刻速度 第一次最 小,且为零. 据四、弹簧功能关系综合题例析【例14】如下图，质量为M的L型长木板静止在光滑水平面上，在木板的右端 有一质量为m的小铜块,现给铜块一个水平向左的初速度 v。,

23、铜块向左滑行并与 固定在木板左端的长度为I的轻弹簧相碰，碰后返回 且恰好停在木板的右端，求：铜块与弹簧作用过程中 M涪弹簧获得的最大弹性势能._喝【解析】尤其要注意对此题隐含条件的挖掘，铜块与力弹簧相碰，碰后返回恰好停在木板的右端，说明此时 铜块与木板存在着相同的对地速度 ，因此，全过程铜 块与木板的碰撞相当于完全非弹性正碰，因此木板的上外表必存在摩擦力.运动 的全过程可分为以下两个阶段：第一阶段为从铜块开始运动到弹簧压缩最短，此时铜块与木板具有相同的速度V1,由系统动量守恒定律和能量守恒定律可得：mv 0二M m v1 ;1 2 1 2W f E P mv0 M m v12 2第二阶段为从弹

24、簧压缩最短到铜块运动到木板的最右端，此时它们具有相同的速度V2,由系统动量守恒定律和能量守恒定律可得：1(M +m Vi =(M + m V2；EP Wf = (M + m Jvf -vf ).2可解之：v1 =v2EpMmv 04 m M【例15】如下图，光滑水平面上，质量为m的小球B连接着轻弹簧处于静止状 态,质量为2m的小球A以大小为vo的初速度向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B 运动,经过一段时间A与弹簧别离.当弹簧压缩最短 时，弹簧的弹性势能Ep多大？ 假设开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板，在A球 与弹簧未别离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤去设B球与挡板 的碰撞时间极

25、短，碰撞时机械能没有损失，欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹簧的 弹性势能EP能到达第问中Ep的2.5倍,必须使B球在速度多大时与挡板发生 碰撞？【解析】当弹簧压缩到最短时,A、B的速度相同，设为v12根据系统动量守恒定律可得：2mv =3mv1解得v1vo.3对A、B以及弹簧所构成的系统机械能守恒，所以有：111mv0 3mv； E P 解得 E P mv0223弹簧被压缩到最短时,A、B的速度相同，设为v2.由于B与挡板相碰后动能没有1 151损失，故有：一 2mvo= 一 3mv； E P .将 E P 二 2.5E P= - mv0代入可得：v2= -v0 或2 2631v2Vvo用vA、

26、vB分别表示B与挡板相碰前瞬间A、B的速度，根据系统动量守恒定律可得：2mv0 =2mvA mvB ； 2mvA -mv B = 3mv2将v 3V0代入、可得:Va31丁0，v2v。.由于vAvB，说明此时弹簧仍处于压缩状态.又由于22mvA1 mv2B冷2亦故该情况是可以实现的.1将v2二亍0代入可得:Va13蔦vo,v_2vo.由于此时有1 2 12 122mvAmvB2mv故该情况是不可能实现的.2 2 2【例16】(2003年江苏省高考题)(1)如图1,在光滑水平长直轨道上，放着 个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成 现突然给左端小球一个向右的速度uo,求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度.(2)如图，将N个这样的 振子放在该轨道上，最左边的振子被压缩至弹簧为某一长 度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为