专题复习_“隐形圆”问题

1、“隐形圆”问题江苏省通州高级中学 一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是C级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息， 而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题.二、求解策略如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下策略.策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例1 (1)如果圆(x 22)2+(丫一23)2=4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是.略解：到原点的距离为6 一-:二 a ： 05转化到此单位圆与已知1的点的轨迹是以原点为圆心

2、的单位圆,圆相交求解.(2) (2016 年南京二模)已知圆 O： x2+y2=1,圆 M： (xa)2+(ya + 4)2= 1 .若圆 M 上 存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点为 A, B,使得/ APB=60；则a的取值范 围为.解：由题意得OP = 2 ,所以P在以O为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆 M有公共点，因此有 2 -1 <OM < 2 +1= K a2 + (a _ 4)2 < 9 = 2 2 < a < 2 + 2 . 22(3) (2017年苏北四市一模)已知 A B是圆Cj x2 +y2 =1上的动点，AB= 3 , P是圆C2： (

3、x -3)2十(y 4)2=1上的动点，则 PA+PB的取值范围是 . 7,13略解：取AB的中点M,则CiM= 1 ,所以M在以Ci圆心，半径为1的圆上，且22PA+PB =2PM ,转化为两圆上动点的距离的最值.(4)若对任意 o(WR,直线 l： xcosa+ysino(= 2sin(a+ ")+4 与圆 C： (xm)2+(y 3 m)26=1均无公共点，则实数 m的取值范围是.(-1 , 5 )2 2略解：直线l的方程为：(x-1)cosa+(y- 3 )sina= 4, M(1, 3 )到l距离为4,所以l是以M为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆M与圆C内含.注：直线

4、 l: (x-xo)coso(+(y- yo)sina= R 为圆 M： (x -x 0)2 + (x -y0)2 = R2 的切线系.例2 （2017年南通市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知B, C为圆x2+y2 = 4上两点,点A（1, 1）,且ABXAC,则线段BC的长的取值范围为 解：法一（标解）：设BC的中点为M（x,y卜因为 OB2 =OM 2 +BM 2 =OM 2 + AM 2 ,所以 4 =x2 +y2 +（x 1 ） +（y -1 J ,22化简得,x _1 （ +1）=3 , 222所以点M的轨迹是以1,1 为圆心，3 2为半径的 2 22 6 - 2 6 2圆，所以

5、AM的取值范围是|，所2 2以BC的取值范围是 6 - 2 , 6 + 2 I -法二：以AB、AC为邻边作矩形 BACN,则BC = AN , 平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方yB MCAO由矩形的几何性质（矩形所在和相等)，有 OB2 +OC2 =OA2 +ON 2,所以 ON= 6 ,故N在以O为圆心，半径为6的圆上，所以BC的取值范围是一6 - 2 , 6 + 2 .P （1, 2） , M、N为圆O上两个不同的点，且PM PN=0 ,若 PQ =PM +PN ,则 PQ 的变式1（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O : x2 +y2 =16

6、,点最小值为.3 3- 5 y变式2 已知圆C1 : x 2 +y2 = 9，圆C2 ： x2 +y2 = 4 ,定点AP(1 0),动点A, B分别在圆C1和圆C2上，满足/APB = 901，则线段AB的取值范围 . 2 3 -1, 2 3 +1BO Px变式 3已知向量 a、b、c 满足 a = 3, b = 2, c =1,(a -c) (b -c) = 0 ,则 a -b 范围为. 2 3 -1, 2 3 +1策略二 动点P对两定点A、B张角是900kPA,k pb 1 ,或PA PB=0)确定隐形圆例 3 (1) (2014 年北京卷)已知圆 C: (x 3)2 +(y - 4)2

7、 =1 和两点 A(_m, 0) , B(m, 0),若圆上存在点P,使得/APB = 90'；,则m的取值范围是 . 14,6略解：由已知以 AB为直径的圆与圆 C有公共点.(2)(海安2016届高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点 P (-1, 0),Q(2 , 1),直线l: ax +by +c = 0其中实数a, b, c成等差数列，若点P在直线l上 的射影为H,则线段 QH的取值范围是 . 2,3 2解：由题意，圆心C(1, 2)在直线ax+by+ c= 0上，可得a2b+c= 0,即c=2ba. 直线 l: (2a- b)x+(2b-c)y+(2c-a) = 0,即

8、 a(2x+ y-3)+b(4-x)= 0,2x y - 3 = 0,由W,可得x= 4, y=- 5,即直线过定点 M(4, 5),4 -x = 0由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为 A(5, 2),方程为(x5)2+(y2)2=50,. |CA|= 4 2 , CH 最小为 5 2 -4 2 = 2 , CH 最大为 4 2 + 5 2 =9 2 ,线段CH长度的取彳1范围是2,9 2 .(3)(通州区2017届高三下开学初检测)设 m RR ,直线l1 ： x +my = 0与直线l2： mx -y - 2m - 4 = 0交于点 P(% , y°)，则 x02 +y。2+

9、2x0 的取值范围是. 12 4 10,12 + 4 10 略解：l1过定点0(0, 0), l2过定点A(2, -4),则P在以OA为直径的圆上(除去一点)，变式(2017年南京二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1： kx- y+2=0与直线l2： x+ ky2 = 0相交于点P,则当实数k变化时，点P到直线x- y4=0的距离的最大值为. 3 2策略三 两定点A、B,动点P满足 4，PB=九确定隐形圆例4 (1) (2017年南通密卷3)已知点A(2, 3)，点B(6 3) ，点P在直线3x 4y+ 3 = 0上,若满足等式AP BP + 2九=0的点P有两个，则实数 人的取值范围是

10、.13 j由题意2解：设 P (x, y),则 aP =(x 2, y 3) , BP = ( x- 6, y + 3),根据 AP bP +2九=0 ,有(x -4 f +y2 =13 -27/九3圆：(x42 +y2 =132 九<1：圆与直线 3x_4y+3 = 0 相交，圆心到直线的距离d =3 4 - 4 ° + 3= 3 < 13 2九，所以Z< 2 . 22'3 - 4(2) (2016年盐城三模)已知线段 AB的长为2,动点C满足CA CB1 = x (K为常数)，且点C总不在以点B为圆心，1为半径的圆内，则负数人的最大值是 _3略解：动点C

11、满足方程X2+y2 =九+1.策略四 两定点A、B,动点P满足PA2 +PB2是定值确定隐形圆例5 (1)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C： (x-a)2+(ya+2)2=1,点A(0, 2),若 圆C上存在点M,满足MA2+MO2=10,则实数a的取值范围是 . 0, 3 略解：M满足的方程为x2 +(y -1)2 =4 ,转化为两圆有公共点(2) (2017年南京、盐城一模)在 MBC中，A, B, C所对的边分别为a,b,c ,若a2 +b2 + 2c2 = 8 ,则 8BC面积的最大值为解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建系.设 A( C,0) , B( c, 0) ,

12、 C(x, y)，则由 a2 +b2 + 2c2 = 8 22得(x - c )2 y2 (x c) y2 2c2 = 8 ,即 x2 y2 = 4 -5 c2 ,224所以点 C 在此圆上，S< c r =c 4 -5 c2 =1 (4 -5 c2 ) 5 c2 < 2 52245445策略五 两定点A、B,动点P满足PA =乂九> 0,九。1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆) PB例 6 (1)略解：点P满足圆的方程为x2 +y2 =4,转化到直线与圆相交.(2) (2016届常州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O: x2+y2=1,O1： (x 4)2+y2=4,动点P

13、在直线x + 3y-b = 0上，过点P作圆O, 01的两条切线,7切点分别为A, B,若满足PB = 2PA的点P有且仅有两个，则 b的取值范围例7 (2017年南通二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l (一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东 30。方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin17定 3 ,33 比 5.7446 )6(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇

14、是否总能在领海内成功拦截？并说明理由.l领海公海B解：(1)略(2)如图乙，以船相遇，则30(例7)A为原点，正北方向所在的直线为 y轴建立平面直角坐标系3 ),设缉私艇在P(x , y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私PA= 3 ,即x2 y2PB( x- 2)2 y - 2l领海公海整理得，x -9422)2-4 3)=4,所以点P(x , y)的轨迹是以点(9 , 9 3 )为圆心, 4 460为半径的圆.图乙因为圆心(9, 9 3同领海边界线l : x = 3.8的距离为 4 4所以缉私艇能在领海内截住走私1.55,大于圆半径,船.策略六 由圆周角的性质确定隐形例8 (1)已知a

15、,b, c分别为 MBC的三个内角A, B, C的对边，a = 2 ,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC 则 Mbc 面积的最大值为略解：cos/ A= 1 , / A= 60° ,设AABC的外接圆的圆心为 O,外接圆的半径为 2 3，则 23O至ij BC的距离为 3 ,则边BC上的高h的最大值为 3 +2 3 = 3 ,则面积的最大值 333为3 .(2)(2017 年常州一模)在4ABC 中，/C=45°,O 是4ABC 的外心，若OCLmOA + nOBm,nCR),则m+n的取值范围是. 2,1)略解：/AOB = 2/C=90° ,

16、点C在以O为圆心，半径 OA的圆上(在优弧 AB上).三、同步练习1 .已知直线l : x -2y+m = 0上存在点M满足与两点 A(-2, 0) , B(2, 0)连线的斜率之积为 -1 , 则实数m的取值范围是 . -2 5,2 52 . (2016年泰州一模)已知实数a, b, c满足a2 +b2 =c2 , c丰0 ,则 b 的取值范围 a - 2c为. - 3 , 3 333 .已知 at w R ,则(cose -t - 2)2 + (sin6 -t + 2)2 的取值范围是 . 2 2 -1, 2 2 +14 . 已知圆 C : (x 3)2 +(y 4)2 =1 和两点 A(

17、F, 0), B(m, 0) (m > 0).若圆 C 上存在点 P,使 得PA PB =1 ,则m的取值范围是 . 15, 357 . (2016年无锡一模)已知圆 C : (x- 2)2 +y2 = 4,线段EF在直线l : y =x +1上运动，点P 为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A、B,使得PA PB < 0,则线段EF长度 的最大值是.14yD8 .如图，已知点 A(1,0)与点B(1,0), C是圆x2+y2=1上的 动点(与点A,B不重合)，连接BC并延长至D,使得|CD|A,0jB-1= |BC|,则线段PD的取值范围.(2,2)39 .在平面直角坐标系 x

18、Oy中，已知点A( _t , 0)(t > 0) , B(t , 0),点C满足ACt，BC= 8 ,且点C到直线l: 3x 4y + 24 = 0的最小距离为9 ,则实数t的值是.1510 . (2013年江苏卷第17题改编)在平面直角坐标系 xOy中，已知点0(0, 0) , A(0, 3)如果圆C :(x -a)2 +( y 2a + 4)2 =1上总存在点M使得MA = 2M0 ,则圆心C的横坐标a的取值范围是. 0, 12 511 .已知向量 a、b、c满足a = 2 , b =a b = 3 ,若(c 2a)(2 b -3© 旬,则b -c的最大值是.1+212 .设点A, B是圆x2 +y2 = 4上的两点，点C(1, 0),如果ZACB = 90；,则线段AB长度的取值范围为. 7 -1, 7 +113 .在 丛BC中，BC= 2, AC=1,以AB为边作等腰直角三角形 ABD (B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧).当/ C变化时，线段 CD长的最大值为 . 32214. (2016年南通二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C 1 :(x 1 ) +y = 2 ,