第五章 二次型

1、线性代数线性代数第五章第五章 二次型二次型线性代数线性代数线性代数线性代数化二次型为标准形2正定二次型3二次型及其标准形1第五章 二次型线性代数线性代数1 二次型及其标准形12二次型的概念及矩阵表示二次型的概念及矩阵表示线性变换线性变换3二次型的标准形二次型的标准形线性代数线性代数1.1 二次型的概念及矩阵表示定义定义1 1 称含有n个变量的二次齐次多项式 + + 为n元二次型，简称为二次型nnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121222,nnxxaxxaxa2232232222222nnnxajijiijniiiixxaxa212线性代数线性代数1.1 二次型的概念

2、及矩阵表示例例1 1 (1) 已知二次型 试写出f的矩阵A，并求f的秩(2) 写出矩阵 对应的二次型3222312132132),(xxxxxxxxxxf012101210B线性代数线性代数1.1 二次型的概念及矩阵表示解 (1)所以对称矩阵 由于R(A)=3，所以f的秩为3011a2112a2113a2121a222a2323a2131a2332a033a023212322121210A线性代数线性代数1.1 二次型的概念及矩阵表示(2) 令 ，由于所以 对应的二次型为321xxxX323121242xxxxxxBXXT012101210B323121242xxxxxx线性代数线性代数1.2

3、 线性变换定义定义2 2 设两组变量 和 ，关系式称为由变量 到变量 的一个线性变量替换，简称线性变换矩阵 称为线性变换的矩阵nxxx,21nyyy,21111 11221221 122221 122.nnnnnnnnnnyc xc xc xyc xc xc xyc xc xc xnxxx,21nyyy,21nnnnnncccccccccC212222111211线性代数线性代数1.2 线性变换定义定义3 3 设A，B为n阶方阵，如果存在n阶非奇异矩阵C，使得 ，则称矩阵A与B合同矩阵合同的性质矩阵合同的性质 反身性反身性：对任意方阵A都有A与A合同； 对称性对称性：如果A与B合同，则B与A合

4、同； 传递性传递性：如果A与B合同，B与C合同，则A与C合同TC ACB线性代数线性代数1.3 二次型的标准形定义定义4 4 如果二次型 ，经过非退化线性变换X=CY化为定理定理1 1 对于任一个n元二次型 ，都存在正交变换X=PY，使得AXXxxxfTn),(21YYACYCYAXXxxxfTTTTn,21AXXfTAXXfT2222211nnydydyd线性代数线性代数2 化二次型为标准形12配方法配方法初等变换法初等变换法34正交变换法正交变换法二次型的规范形二次型的规范形线性代数线性代数2.1 配方法1 1二次型中至少含有一个平方项二次型中至少含有一个平方项例例1 1化二次型 为标准形

5、，并求出所作的非退化线性变换解 先把所有含x1的项配成一个完全平方项，由),(321xxxf2221231 21 32 323444xxxx xx xx x),(321xxxf222123123234()4()4()xxx xxxxx322322432xxxx3223222321472)22(xxxxxxx线性代数线性代数2.1 配方法再把剩余的含x2项配成一个完全平方项，有线性变换X=CY，即 ，则原实二次型 化为标准形),(321xxxf222123233(22)2()5xxxxxx321321100110221yyyxxxAXXT22212325yyy线性代数线性代数2.1 配方法2.2

6、.二次型中不含平方项二次型中不含平方项例例2 2 用配方法化二次型 为标准形，并求出所作的非退化线性变换解 ),(321xxxf1 21 32 3x xx xx x11221233xyyxyyxy22121 32fyyy y321321100111111zzzxxx线性代数线性代数2.2 初等变换法由于对任何实对称阵都存在非奇异矩阵C，使 为对角阵C是可逆的，可将C表示为一系列初等矩阵的乘积.设 ，所以 ，且 (1) (2)211 2TTTTssC ACPP P APPP1 21 2ssCPPPIPPPTC AC1 2sCPPP21TTTTsCPP P线性代数线性代数2.2 初等变换法用初等变

7、换法化二次型为标准形的步骤为：(1)写出二次型的矩阵A(2)在矩阵A的下面写出单位矩阵E,构成 阶矩阵 (3)对矩阵 施行对称初等变换，即每一步先对列进行初等变换，然后对行施行同样的初等变换（注：对 只施行相应的列变换）(4)当A变成对角阵 时，E就变成可逆矩阵C,即 nn2AEAEAEC线性代数线性代数2.2 初等变换法例例3 3 用初等变换法化二次型 = 为标准形，并求出相应的非退化线性变换解 二次型 的矩阵 ),(321xxxf323121222xxxxxx323121222xxxxxx011101110A12112122311212120111112122001011011011011

8、02102102021001001001101011011011001001001001CCCCrrCCAE121231121212200000021111001rrrr12121111001C线性代数线性代数2.2 初等变换法令 原二次型 化为 11121222331111001xyxyxy323121222xxxxxx2322212212yyy线性代数线性代数2.3 正交变换法对于实对称阵，可以利用正交矩阵将其对角化由于实二次型的矩阵是实对称阵，因此可用正交矩阵将其化为对角阵，这种变换称为正交变换具体地说，用正交变换法化二次型为标准形的步骤为：(1) 由 ，求A的n个特征值 ；(2) 对

9、，求A的关于 的线性无关的特征向量 （ ）；0EAn,21iini, 2 , 1线性代数线性代数2.3 正交变换法(3) 对k（k1）重特征值 ，用施密特正交化方法，将其k个线性无关的特征向量正交化；(4) 将所求的A的n个正交的特征向量单位化；(5) 以A的正交单位化后的特征向量为列向量构成正交矩阵C，并写出相应的正交变换X=CY和二次型的标准形i线性代数线性代数2.3 正交变换法例例4 4求一正交变换X=CY，化二次型 = 为标准形解 二次型的矩阵为：),(321xxxf323121xxxxxx021212102121210A11136211111223261332330 xyxyxy23

10、22212121yyy线性代数线性代数2.3 正交变换法注意：注意：用正交变换化二次型时，得到的标准形并不唯一，这与施行的正交变换或者说与用到的正交矩阵有关但由于标准形中平方项的系数只能是 的特征值，若不计它们的次序，则标准形是唯一的线性代数线性代数2.4 二次型的规范形例例5 5 对于三元标准二次型 ，经过非退化线性变换 ， ， 必可变为 用矩阵表示为这是一种最简单的标准形，它只含变量的平方项，而且其系数是1,-1和0232221032yyyf112yz 223yz 33yz 2221zzf0000100011000000000030002100000031213121线性代数线性代数2.4

11、 二次型的规范形 定义定义1 1所有平方项的系数均为1,-1或0的标准二次型称为规范二次型由二次型化得的规范二次型，简称为二次型的规范形定理定理1 1（惯性定理）（惯性定理）任意一个n元二次型 ，一定可以经过非退化线性变换化为规范形AXXfT221221rppzzzzf线性代数线性代数2.4 二次型的规范形惯性定理的矩阵表述形式惯性定理的矩阵表述形式对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶可逆阵C，使得0kTr kEC ACE线性代数线性代数2.4 二次型的规范形定义定义2 2规范形中的p称为二次型 （或对称矩阵A）的正惯性指数，q=r-p称为负惯性指数，p-q=2p-r称为符号差定理定理2

12、 2实对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数AXXfT线性代数线性代数3 正定二次型12正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵正定二次型的判定正定二次型的判定线性代数线性代数3.1 正定二次型与正定矩阵定义定义1 1 二次型 称为正定二次型，如果当 不全为0时，一定有 如果实对称矩阵A所确定的二次型正定，则称A为正定矩阵于是A为正定矩阵当且仅当 时，有 nxxxf,21nxxx,210,21nxxxf0X0AXXT线性代数线性代数3.1 正定二次型与正定矩阵定义定义2 2 二次型 称为半正定二次型，如果当 不全为0时，一定有 如果实对称矩阵A所确定的二次型半正定，则称A为

13、半正定矩阵nxxxf,21nxxx,210,21nxxxf线性代数线性代数3.1 正定二次型与正定矩阵例例（1）二次型 是正定二次型，对应的正定矩阵 ；（2）二次型 是半正定二次型，对应的半正定矩阵 ；（3）二次型 为负定二次型，对应的负定矩阵 ；232221321),(xxxxxxf3AE2221321),(xxxxxf000010001A222123123(,)f x xxxxx 3AE 线性代数线性代数3.1 正定二次型与正定矩阵（4）二次型 为半负定二次型，对应的半负定矩阵 ；（5）二次型 为不定二次型，对应的矩阵 为不定矩阵.2221321),(xxxxxf000010001A222

14、1321),(xxxxxf000010001A线性代数线性代数3.1 正定二次型与正定矩阵例例2 2 如果A,B都是n阶正定矩阵，证明A+B也是正定矩阵证明 因为A,B为正定矩阵，所以 为正定二次型，且对 ,有 ， 因此对 ， ，于是 必为正定二次型，从而A+B为正定矩阵BXXAXXTT,0X0AXXT0BXXT0X0BXXTXBAXT线性代数线性代数3.2 正定二次型的判定定理定理1 1n元二次型 = 是正定二次型的充要条件是其矩阵A的n个特征值全大于零推论推论1 1 n元二次型 = 是正定二次型的充要条件是其规范形为推论推论2 2n元二次型 = 是正定二次型的充要条件是其矩阵A合同于单位矩

15、阵，即存在可逆矩C，使得 推论推论3 3 n元二次型 = 是正定二次型的充要条件是其正惯性指数为nnxxxf,21AXXTnxxxf,21AXXT22221nzzznxxxf,21AXXTCCATnxxxf,21AXXT线性代数线性代数3.2 正定二次型的判定方法一方法一 配方法配方法例例3 3 判断二次型 是否是正定二次型解 用配方法得到所以 的正惯性指数等于2，从而可知 不是正定二次型2332222121321422),(xxxxxxxxxxf2332222121321422),(xxxxxxxxxxf232322213)2()(xxxxx2322213213),(yyyxxxf),(32

16、1xxxf),(321xxxf线性代数线性代数3.2 正定二次型的判定方法二方法二 特征值法特征值法例例4 4 判断二次型 是否是正定二次型解 的矩阵因为 ，所以 不是正定二次型 2332222121321422),(xxxxxxxxxxf),(321xxxf120221011A11221322213303),(321xxxf线性代数线性代数3.2 正定二次型的判定方法三方法三 顺序主子式法顺序主子式法定义定义4 4 设矩阵 为一个n阶方阵，则称k阶行列式为矩阵A的k阶顺序主子式（ ）定理定理2 2 n元二次型 = 是正定二次型的充要条件是其矩阵A的各阶顺序主子式都大于零nnijaA)(kkkkkkaaaaaaaaa212222111211nk 1nxxxf,21AXXT线性代数线性代数3.2