高等数学随堂讲义复合函数微分法

1、一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则二、复合函数的全微分二、复合函数的全微分 凡是学过一些微积分凡是学过一些微积分的人的人, , 没有一个会对复合函数没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑微分法的重要性产生怀疑. .可可以毫不夸张地说以毫不夸张地说, , 谁不懂得复谁不懂得复合微分法合微分法, , 谁就会在计算导数谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行或偏导数时寸步难行. .2 2 复合函数微分法微分法数学分析 第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容设函数设函数( , )( , )xs tys t 与与(1)定义在定义在st平面的区域平面的区域 D 上上, ( , )z

2、f x y(2)定义在定义在 xy 平面的区域平面的区域 _D上上. _( , )( , ),( , ),( , ),x yxs tys ts tDD 则可构成则可构成复合函数复合函数:( , )( , ),( , ) ) , ( , ).zF s tfs ts ts tD (3)其中其中 (1) 为为内函数内函数, (2)为为外函数外函数, ( s, t ) 为为自变量自变量.2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 复合函数的求导法则 后退 前进 目录 退出函数函数若若( x, y ) 为为中间变量中间变量, 定理17.3下面将讨论复合函数下面将讨论复合函数 F 的可微性的可微

3、性. ( , )zf x y( , )( ( , ),( , )x ys ts t 在点在点可微可微, 且关于且关于 s 与与 t 的偏导数分别为的偏导数分别为 ( , ),( , ) )zfs ts t ( , )s t则复合函数则复合函数在点在点可微，可微，( , )( , )( , )( , )( , ),s tx ys tx ys tzzxzysxsys (4)公式公式 (4) 也称为也称为链式法则链式法则.2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 ( , ),( , )xs tys t ( , )s tD 在点在点可可微，微，若函数若函数( , )( , )( , )(

4、, )( , ).s tx ys tx ys tzzxzytxtyt22,yyyststst (6)( , ),( , )xs tys t ( , )s t证证 由假设由假设 在点在点 可微可微, 于是于是11,xxxststst (5),zzzxyxyxy (7)(,)(0,0)st 1122(,)(0,0,0,0) . 其中其中 时时( , )zf x y( , )x y又由又由在点在点可微可微, 故有故有 (,)(0,0)xy ( ,)(0,0), 其中其中 时，时，0 xy 0.定义定义: 当当时时, 2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 并可补充并可补充 现把现把 (

5、5), (6) 两式代入两式代入 (7) 式，得到式，得到 11zxxzststxst 22.zyyststyst 整理后又得整理后又得 zxzyzsxsys (8)2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 ,zxzytstxtyt 并求得并求得 z 关于关于 s 和和 t 的偏导数公式的偏导数公式 (4)( ,)(0,0), 从而从而 1122(,)(0,0,0,0). 以及以及 于是在于是在 (9), (10) 两式中两式中, 当当 (,)(0,0)st 时时, 有有 其中其中2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 都连续，都连续，(,)(0,0) .xy (,)

6、(0,0)st 即当即当时，时，(,)(0,0). 故由故由 (8) 式推知复合函数式推知复合函数 (3) 可微，可微，能轻易省略的能轻易省略的, 否则上述复合求导公式就不一定成否则上述复合求导公式就不一定成 立例如立例如 注注 如果只是求复合函数如果只是求复合函数( , ),( , ) )fs ts t 关于关于 s 或或 t 的偏导数的偏导数, 因为以因为以 s 或或t 0s 0,t 除除 (7) 式两边式两边, 然后让然后让或或但是对外函数但是对外函数 f的可微性假设是不的可微性假设是不 2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 须具有关于须具有关于 s 或或 t 的偏导数就

7、够了的偏导数就够了. 到相应的结果到相应的结果. ( , ),( , )xs tys t 只只则上述定理中则上述定理中 也能得也能得 2222222,0,( , )0,0.x yxyxyf x yxy ( )( , )2,zF tf t tt(4),若若形形式式地地使使用用法法则则将将得得出出错错误误结结论论: :为内函数，为内函数，(0,0)(0,0)0,xyff( , )f x y由由 1 习题习题 6 已知已知 但但 ( , )f x y,xt yt 若以若以为外函数为外函数, 000(0,0)(0,0)ddddddtttzzxzytxtyt2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的

8、全微分 在点在点 (0,0) 不可微不可微. d1.d2zt有有则得到以则得到以 t 为自变量的复合函数为自变量的复合函数 0 10 10. 这说明：在使用链式法则时这说明：在使用链式法则时, 必须注意外函数可微必须注意外函数可微 这个条件这个条件. 则复合函数则复合函数11,(,)(,)mmf uuuu一一般般地地 若若在在点点可可微微, ,1(,)(1,2,)kknugxxkm1(,)(1,2, ),nixxxin在点具有对于的偏导数在点具有对于的偏导数11211(,),(,),(,)nnmnf gxxgxxgxx1(1,2, ).mkkikiuffinxux 关于自变量关于自变量 (1,

9、2, )ixin 的偏导数为的偏导数为 2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 函数组函数组 多元函数的复合求导一般比较复杂，必须要区分哪些多元函数的复合求导一般比较复杂，必须要区分哪些是中间变量，哪些是自变量，是中间变量，哪些是自变量，法则求出正确的结果法则求出正确的结果.zxyststzxzyxsxtysyt可以按照各变量间的复合关系可以按照各变量间的复合关系,画如图那样的树形画如图那样的树形图图.首先从因变量首先从因变量 z 向中间变量向中间变量x, y 画两个分枝画两个分枝, 别从中间变量别从中间变量 x, y向自变向自变量量 s, t 画分枝画分枝, 分枝上写上对应的偏

10、导数分枝上写上对应的偏导数.2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 这样才能正确使用链式这样才能正确使用链式为了便于记忆，为了便于记忆，然后再分然后再分并在每个并在每个zzss例例如如，求求时时，只只要要把把从从 到到 的的每每条条路路径径上上的的各各个个 .zzxz ysxsy szzxz ytxtyt 2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 zxyststzxzyxsxtysyt偏导数相乘，偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得然后再将这些乘积相加即得类似地类似地, 考察从考察从z到到t的路径的路径,得得.zzxy求与求与解解 所讨论的复合函数以所讨论的复合函数以

11、 (u, v) 为中间变量为中间变量, (x, y) 为为 自变量自变量, 并满足定理并满足定理 17.5 的条件的条件. 222ln(),e,1,xyzuvuvxy 而而例例设设试试22,zuuuv 22e,2 e,xyxyuuyxy2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 因此由因此由21,zvuv 2,1,vvxxy根据链式法则得到根据链式法则得到 22221e2xyuxuvuv zzuzvxuxvx222( e),xyuxuv 221( 4e1).xyuyuv zzuzvyuyvy2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 例例2 ( , ),cos ,uu x

12、yxr 设设可可微微 在在极极坐坐标标变变换换222221.uuuurxyr 因此有因此有 sin,yr 之下 证明:之下 证明:uuxuyrxryruuxuyxy2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 cossin ,uuxy(sin )cos .uurrxy于是于是 2221uurr 221sincosuurrxyr22.uuxy2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 2cossinuuxy解解 复合后仅是自变量复合后仅是自变量 t 的一元函数的一元函数ddddddddzzuzvzttutvttt例例3 dsin ,e ,cos ,.dtzzuvtuvtt设其中

13、求设其中求e( sin )costvutte (cossin )cos .tttt注注 上面第一个等式中，左边的上面第一个等式中，左边的 ddzt是作为一元函数是作为一元函数的复合函数对的复合函数对 t 求导数求导数 (又称又称“全导数全导数”);是外函数是外函数 (是是 u, v, t 的三元函数的三元函数) 对对 t 求偏导求偏导.注意区分注意区分 zuvtttzuzvztutvt2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 于是于是zt 右边的右边的 例例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数用多元复合微分法计算下列一元函数的导数: 2(1)ln(2).sincosxxyxx

14、 ddddyyuyxuxv11lnlnxxxxxxxxxxx x xxx21ln(ln ).xxxxxxxx1lnvvvuuu 2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 (1);xxyx ddvwvwxx1lnxxxwww ,sincos,vwyuxxu 令令解解则有则有 ddddyyuxux 221(sincos ) (1)ln(sincos)xxxxxx 2(cossin)vwxxu 21(sincos)( 2 ln).xxxxxx 2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 2(1)ln(2).sincosxxyxx 21,ln,vxwx ddyvvx ddywwx

15、 2wxu1vu x由此可见，以前用由此可见，以前用 “对数求导法对数求导法” 求一元函数导数求一元函数导数 的问题的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算如今可用多元复合函数的链式法则来计算. (1,1),( )( ,( ,( , ),(1).yfbxf x f x f x x 试试求求解解 令令( )( , ),( , ),( , ),xf x yyf x zzf x uux d( )dxyyxffx 则则有有d.dxyxzxuuffffffx2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 ddxyxzzffffx23(1)().ab ab abaababb 因因此此d1,(1

16、,1),(1,1)(1,1)(1,1),dxyzuufa fffbx由由而实用的写法而实用的写法 (省去了引入中间变量省去了引入中间变量):说明说明 上面的解法是通过引进中间变量上面的解法是通过引进中间变量 , ,y z u后后, 借借 助链式法则而求得的助链式法则而求得的; 121212( )(1) ,xffffff ().ab ab ab121(1)(1,1)(1,1) (1,1)fff 212(1,1) (1,1)(1,1)fff2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 上述过程还有一种比较简洁上述过程还有一种比较简洁 , ,.uf x y zyx ttx zuuxz设设都都

17、有有一一阶阶连连续续偏偏例例6 6导导数数，求求 uxzyxtzxfxfyfzx t x z 代代入入中中间间变变量量解解 ，得得复复合合函函数数,uf xxx zzx z为为的的函函数数 见见图图 ，ufxxufzytz ,uuf xxx zzx注注意意，这这里里用用表表示示复复合合函函数数2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 得得到到：fyx fytx fz( , )( , ).xyy fx yx fx y 0.f 证明证明: 在极坐标系里在极坐标系里 f 只是只是 r 的函数的函数为此设为此设 ( , ),cos ,sin ,uf x yxry 则则得得证证 本题是要证明

18、本题是要证明: 经极坐标变换后经极坐标变换后, f 满足满足 2Rf例例7 设在设在 上的可微函数上的可微函数 满足方程满足方程 , ,fxuf x y zx对对 的的偏偏导导数数, ,而而用用表表示示函函数数对对第第一一.x个个变变量量 的的偏偏导导数数，以以区区别别两两者者的的不不同同2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 (sin )( cos )uurrxy uuyxxy 是是 r的函数的函数 f2R f从而从而 在在上的上的极坐标系里与极坐标系里与无关无关, , 于是于是 只只 0.ffyxxy 2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 uuxuyxy分为分

19、为 ( , ) ,( , ),xs tys t ddd .zzzxyxy(11),x y, s t如果如果 作为中间变量作为中间变量, 又是自变量又是自变量 的可微函数的可微函数 则由定理则由定理17.5 知道知道, 复合函数复合函数 ( , ) ,( , )fs ts t 是是 可微的可微的, 其全微分为其全微分为 2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 复合函数的全微分 dzxzysxsysdddzzzstst将将 (13) 式代入式代入 (12) 式式, 得到与得到与 (11) 式完全相同的结式完全相同的结 果果, 2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 dzxzytxtytddzxxstxst (12)dd.zyystystddd , ddd .xxyyxstyststst(13)这就是多元函数的这就是多元函数的一阶一阶 (全全) 微分形式不变性微分形式不变性. 利用微分形式不变性利用微分形式不变性, 能更有条理地计算复合函数能更有条理地计算复合函数 的全微分的全微分ddd .zzzxyxy(11)2 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分 dx 和和dy各自独立取值各自独立取值; ,x y作为中间变量时作为中间变量时,当当ddduvzzuzvddd ,uyxx y因此因此 de sin (