立体几何中的向量方法一新人教选修学习教案

1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(fngf)一新人教选一新人教选修修第一页，共32页。第1页/共32页第二页，共32页。研究(ynji) 从今天开始,我们将进一步来体会向量(xingling)这一工具在立体几何中的应用.第2页/共32页第三页，共32页。，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量共线向量(xingling)定理定理:复习复习(fx)：共面向共面向(min xin)量定理量定理:0/aa b babb 对空间任意两个向量 、 （），的充要条件是存在实数 ，使 。第3页/共32页第四页，共32页。思考思考(sko)1

2、：1、如何确定一个点在空间的位置？、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量和一个定方向（向量(xingling)），能确定一条直线在空间的位置吗？），能确定一条直线在空间的位置吗？3、给一个定点和两个定方向（向量、给一个定点和两个定方向（向量(xingling)），能确定一个平面在空间的位置吗？），能确定一个平面在空间的位置吗？4、给一个定点和一个定方向（向量、给一个定点和一个定方向（向量(xingling)），能确定一个平面在空间的位置吗？），能确定一个平面在空间的位置吗？第4页/共32页第五页，共32页。OPOPOPP 在空间中，我们取一

3、定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量来表示。我们把向量称为点 的位置向量。OP一、点的位置一、点的位置(wi zhi)向量向量第5页/共32页第六页，共32页。aABP二、直线的向量二、直线的向量(xingling)参数方程参数方程 对于对于直线直线 l上上的任一的任一点点P, , 存在实数存在实数t使得使得 APtAB (1，）OP OA taOPxOA yOB xy 此方程称为此方程称为直线的向量参数方程。直线的向量参数方程。这这样点样点A和向量和向量 不仅可以确定直线不仅可以确定直线 l的的位置，还可以具体写出位置，还可以具体写出l上的任意一点。上的任意一点。a l第6

4、页/共32页第七页，共32页。1 -2 321 -3ABAB例1：已知两点（， ， ），（ ， ， ），求 ， 连线与 三坐标平面的交点。517 10,0)334 4（ ，），(110AByozCyz分析：设连线与平面的交点为（ ， ， ），1OCt OAtOB 由（）得111101(1,-2,3)(2,1,-3)0(1-23 3-6yzttyzttt（ ， ， ）（）（ ， ， ），）5 9OC（0， ， ）第7页/共32页第八页，共32页。12 3212112ABPQOPQA QBQ 练习：已知两点（， ， ），（ ， ， ），（， ， ），点 在上运动，求当取得最小值时，点 的坐标。(

5、, ,2 ),OQOP 设261610QA QB 4233QA QB 当时，取得最小值。4 4 83 3 3Q此时（ ，）第8页/共32页第九页，共32页。 Pb a OOPxayb 除除 此之外此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向还可以用垂直于平面的直线的方向向量量(这个平面的法向量这个平面的法向量)表示空间表示空间(kngjin)中平面的位中平面的位置置.n 这样，点这样，点O与向量与向量 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位的位置，还可以具体表示出置，还可以具体表示出 内的任意一点。内的任意一点。a b 、三、平面三、平面(pngmin)的法向量的法向量第9页/共32页第十页，共

6、32页。A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向

7、量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m n l第10页/共32页第十一页，共32页。问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(第11页/共32页第十二页，共32页。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nAB nACxyz

8、xyz 则，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的单位法向量为， ，）第12页/共32页第十三页，共32页。 因为方向向量与法向量可以确定直线和因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们平面的位置，所以我们(w men)应该可以利应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平你能用直线的方向向量表示空间两直线平行

9、、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？思考思考(sko)2：第13页/共32页第十四页，共32页。线线面面平平行行 面面面面平平行行 四、平行四、平行(pngxng)关系：关系：111222(,),(,),laa b cua b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/00;laua abbcc第14页/共32页第十五页，共32页。五、垂直五、垂直(chuzh)关系：关系：1112222

10、22,0, /abca b cauabc当时111222(,),(,),aa b cua b c若则121212/,.lauakuaka bkb ckc第15页/共32页第十六页，共32页。1.设设 分别是直线分别是直线(zhxin)l1,l2的方向向的方向向量量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行(pngxng)垂直垂直平行平行第16页/共32页第十七页，共32页。1.设设 分别分别(

11、fnbi)是平面是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直(chuzh)平行平行相交相交第17页/共32页第十八页，共32页。巩固(gngg)性训练31、设平面、设平面(pngmin) 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面(pngmin) 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向

12、向量为(2,m,1)，平面，平面(pngmin)的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面(pngmin) 的法的法向量为向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m= ./llll第18页/共32页第十九页，共32页。例例3、用向量法证明：一条、用向量法证明：一条(y tio)直线与一个平面内直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。已知：直线已知：直线m，n是平面是平面 内的任意两条相交直线，内的任意两条相交直线，且且,.lm ln求证：求证：.l, , .l m

13、na b c 解：设直线的方向向量分别为,0.lm lnab a b 0.a c 同理,m nm n且相交，p 内任一向量 可以表示为如下形式：, ,.pxbyc x yR ()0,a paxbycxa bya c .ll与 内的任一直线垂直.即第19页/共32页第二十页，共32页。直线直线l与平面与平面 所成的所成的角为角为( (02 ) ), ,sina ua u ； 六、夹角六、夹角(ji jio)：第20页/共32页第二十一页，共32页。lmabml /baba /第21页/共32页第二十二页，共32页。 lua /l0 uaua第22页/共32页第二十三页，共32页。 u v /vuvu /第23页/共32页第二十四页，共32页。lamb ml0 baba第24页/共32页第二十五页，共32页。 l uuaua /la第25页/共32页第二十六页，共32页。 u v 0 vuvu第26页/共32页第二十七页，共32页。