高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

1、线面角的求法1直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段， 垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段 的作用。例1如图1四面体 ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，/ SBA=45 , / SBC=60 , M 为 AB的中点,求1BC与平面SAB所成的角。2SC与平面ABC所成的角。解：1/ SC± SB,SC丄 SA,图1 SCX平面SAB 故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，/ SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。2连结 SM,CM，贝U SM 丄 AB,又

2、SC±AB, AB 丄平面 SCM,面ABC丄面SCM过S作SH丄CM于H, 那么SH丄平面ABC CH即为SC在面ABC内的射影。/ SCH为SC与平面ABC所成的角。sin / SCH=SH /SC SC与平面ABC所成的角的正弦值为V 7/ 7“垂线是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面 ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，那么得面的垂线。2. 利用公式sin 0 =h/ I其中B是斜线与平面所成的角，h是 垂线段的长，i是斜线段的长，其中求出垂线段的长即斜线上的点到面的距离既是关键又是难点，为此可

3、用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例 2 如图 2 长方体 ABCD-A 1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB 与面 AB CD 所成的角。解：设点 B 至U AB iCiD 的距离为 h, / Vb-abici=V a-bbc.，. 1/3Sabici h= 1/3 SAbbc AB，易得 h=12/ 5 , 设AB与面A B1C1D所成的角为0 ,那么sin 0 =h/AB=4 /5, . AB与面ABiCiD所成的角为arcsin0.83. 利用公式 cos0 =cos 0 1 cos 0 2如图3假设OA为平面的一条斜线,0为斜足，OB为0A在面a内的

4、射影，0C为面a内的一条直线，其中0为0A与0C所成的角,0 i为0A与0B所成的角，即线面角，02为0B与0C所成的角，那么 cos0 =cos 0 i cos 0 2,它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角常称为最小角定理i.平面的斜线和平面所成的角:，如图，A0是平面 的斜线，A是斜足，0B垂直于平面，B为垂足，那么直线 AB是斜线在平面 内的射影。设AC是平面 所成角为i , AB与AC所成角为2,内的任意一条直线，且 BCA0与AC所成角为，那么易知:AC，垂足为C，又设A0与AB| AB | | A0 | cos i, | AC | | AB

5、| cos 2 | A0 | cos i cos 2 又 | AC| |A0 |cos ,可以得至U： cos cos i cos 2 ,注意：2(0,)假设2,那么由三垂线定理可知，2 2OA AC，即；与“ AC是平面 内的任意一条直线，且2易得：coscos 1又，1 (0,)即可得：12那么可以得到:1平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角; 2斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角或 叫斜线和平面的夹角。说明：1.假设a，那么规定a与 所成的角是直角;所成的角为0 ;90 ；2假设a 或a，那

6、么规定a与cos cos 1 cos 2。3.直线和平面所成角的范围为：04直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值例3如图4直线OA,OB,OC两两所成的角为60° ,求直线OA与面OBC所成的角的余弦值。A解：/ AOB= / AOC OA 在面 OBC内的射影在/ BOC 的平分线 OD上，那么/ AOD即为OA与 面 OBC 所成的角，可知/ DOC=3° ,cos/ AOC=cos / AOD cos/ DOC , cos60°cos/ AOD cos30° cos/ AOD= V3/3 OA与 面OBC所成的角的余弦值为V 3/3

7、。2.例题分析：例1如图， AB是平面 的一条斜线，B为斜足，AOABC 60, OBC 45，求斜线AB和平面解：AO，由斜线和平面所成角的定义可知,又 cos cos 1 cos 2 ,- cos ABOcos ABCcos CBOcos60 1 2cos45 22,O为垂足，BC为 内的一条直线,BAO 45，即斜线 ABh平面 所成角为45,.例2 如图，在正方体 ACi中，求面对角线 AB与对角面BBDiD所成的角。解法一连结A1C1与B1D1交于O，连结OB ,T DD1 A|C1, B1D1 AC1, AO 平面 BB1D1D , - ABO是AB与对角面BB1D1D所成的角，1

8、在 Rt ABO 中，AO -A1BABO 30 .2法二由法一得 ABO是AB与对角面BB1D1D所成的角,又t cos A1BB1cos45cosB1BO- cos ABOcos A1BB1 cos B1 BOB1BBOABO_63，30 .ACOB说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在 条件允许的情况下，用公式cos cos 1 cos 2求线面角显得更加方便。例3空间四边形 ABCD的各边及对角线相等，求 AC与平面BCD所成角的余弦值。解：过A作AO 平面BCD于点O，连接CO, BO, DO ,/ AB AC AD , O是正三

9、角形BCD的外心,设四面体的边长为 a，那么COAOC 90 , ACO即为AC与平面BCD所成角,二 cos ACO，所以，AC与平面BCD所成角的余弦值为<33PC 24,PB PD 6.10，求 PC 和平面 ABCD 所空r可中的角主要包括两条异面直践所甌的肃，直珪和平面所成的角*二面角等 线面角：平面的一乗斜红和它在平而上的射影所成的锐角口口做这条斜线和这个平 面所阪的甫，特别地.一直线垂直于平面.所成的珀是直角.一直线平行于平面或在平面內，所7T成甬为口诵.因此,直线和平面所成:®范圉：0, -I本文举例探讨线面诺的两种求解策略."直接法线面角的常规解法是

10、先找到直线在平面內的射歆直线与其在这个平而內的射影 所成的角就是绽面角.此时,大多需娶过直娃上一点作平面的垂线.例1.正方体ABCD-EFGH的棱长为肚点P在AG匕Q在BG上，且APEQ=a, 求直线P0与平面ABCE所成的瀚的正切值；分析！先作出PQ在面ABCD内的射豁 由于而EFGC丄而ABCD,作QWLL BC于地 那么MP就是QP在面AECD内的射熟MQF1VI就是要求的鸡解：作QM丄BC于M,逹MP,那么艺QMP就是直绕PQ与平五ABUD所成的第那么易得：QM=-旦 I MP=卜-a.«'tanQPM 2 十 1*22"MP解后反思:求竝面角的當规解法是：

11、"一作、二证、三求3"作'是解題的关键.二向量祛空间中的需大多都能用向童方袪求解.凡可建立坐标系的利用向歳歩解更沖简捷 直线和平面所成角的帀量公式；玄线吕的方向向量和平面。的法向垫:分别対鴉和H .当斥与&的夹坤不大于 卿时,直趺 店平面匚所成們弟等于斥与访夬角的余崩当金 与幷的来角大于呻时，直疑a与平面口所成的角等于加2碎夹角的互补的余角，所 以直钱趨的方向向量和平面II所咸.的角日藕足；血日=.fI律I I曲I例2.如图.长7-ABCD -人耳qq ,AB- 2,A 1直娃与平面恥再丑所成的角为70S 血1垂直RD于民FAB.的中点.求直绽业与平面召DF

12、所感 的角.絹在长方体型CQ-/问C"中,A£所在的直线为忙轴，回也所 在的亘魏渝釉，禍所在的亘线 为假设轴建立如图示空间直角坐标系， 由血=2也1 = 1,可得越0.04/(204 F(1Q1)又卫。丄平E AAB ,从而BD平面AAB所成的垢两£卫用£ =和°,又込2,血丄妙込“皿芋从而易得韦少.- Di0耳丄1I血二0,斗31又T K二1,击是平面的一个法向重，-.十二亟r严*哩L =型耳，二爲，巫为锐助直线血与平窗 hllil 35所咸的践面角为远sin壬叵 越兰-3523105 xarccosJ .35解石反思：求缕面角的常规解法&q

13、uot;作' 二证、三求還很多同学感棘手'灌 在不易找到所求的甫，利用向童解法可U堪免朋作和证S只剩下单纯的向量计聲， 而且有了画定跑解题摸式，夏卑的空頂M求解间题戏可以非常简便地得到解決了.直 线与平茴所成的角9主彗可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夬第否求得卫卩 sia 9 二 | cos 召 | 或 cas 目=sin .例3在正四面体ABCD中E为他的中点'求直线CE与平面BCD成K角. 分析求线而角的美键在于找出耕缠在平而內的射影，即找垂而，育了垂面貝阿在 垂面内作兗连朋垂鮭线而第即可作出然后转化到三角形中求解.解法一：取BCB9中点F,连结AF、DF. 丁正四面体 ABCD /.BC±AF, EC±DF 'BC丄面AFD,而 BU0 平面 BCD, -.ffiAFD丄面 BCD 过已作EH_LDF于H,而DF0平面BCD,那么EH丄面BCD 那么2TCH次CE与面BCD所成的垢.行在 R1ACEH 中，siiiZECH= 37?职CE与平面BCD矶的角沖axcsin .3C解法二 如图建立以三角形BCD的中心0为,OD.OA依袂为y轴心磁 轴平行于那么OF =竿心汕考g琴设正四面体AECD的棱长为口 'U(? 一嬖® Q0婪®心0耍h2633飞为AD的中点，二S(flt又因为平面BCD