直接开平方、因式分解

1、下列各数有平方根吗下列各数有平方根吗?若有若有,你能求出它你能求出它的平方根吗的平方根吗? 25 ; 0 ; ; 2 ; - 3 ;162543一个数一个数x的平方的平方等于等于a，这个数，这个数x叫做叫做a的什的什么？么？即（即（a0）则）则x叫做叫做a的的平方根，表示为：平方根，表示为：ax 2ax例例1、解方程、解方程042x先移项，得先移项，得：42x因此：因此： 24xx以上解一元二次方程的方法叫做以上解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。直接开平方法。例题解析例题解析用直接开平方法解下列方程：用直接开平方法解下列方程：（4）（2）（1） 025162x(3)将方程化成将方程化成(b

2、0）的形）的形式式,再求解再求解bx 202122x022x01212y初试锋芒初试锋芒11y 2x 54x 12x 例例2、 解方程解方程: (1) (2) 0412x09)2(122 x将方程化成(b0）的形式,再求解bax2)(再显身手再显身手解下列方程解下列方程注意：直接开平方法解方程时应先把方程变形为：注意：直接开平方法解方程时应先把方程变形为：。或0 0 22bbaxbbx 045 t2 2;2516 62x; 0365 52x; 532 42x ; 04916 32x ; 09 12x1、用直接开方法解方程：、用直接开方法解方程： 45221252322xx2、用直接开方法解方程

3、：、用直接开方法解方程： 035392m31253m; 0532mm取何值，无论此方程无解。你会变你会变吗？吗？拓展练习拓展练习3、用直接开方法解方程：用直接开方法解方程：22211xx0 02acax; 0 2acxa ;0 1 acacx时，方程的根是当 时，原方程无实数根。当0 2ac; 313 (2) ; 34 ) 1 (22xx提问：下列方程有解吗？提问：下列方程有解吗？方程 一定有解吗?用直接开平方法可解下列类型用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：的一元二次方程：;0 ax 0 22bbbbx或根据平方根的定义，要特别注意：根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，由

4、于负数没有平方根，所以，当所以，当b0时，原方程无解。时，原方程无解。归纳小结归纳小结(ax+b)2c (c0)试一试解方程： （1） x2+2x5（2）x2-4x+20提示提示:能否经过适当变形，将它们转化为能否经过适当变形，将它们转化为 (ax+b)2c的的形式，然后用直接开平方法？形式，然后用直接开平方法？ 这种解一元二次方程的方法叫做配方法.小结：小结：观察以上两题的变形，可以发现它的左边是一观察以上两题的变形，可以发现它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解这样，就能应用直接开平方的方法求

5、解. 例：用配方法解方程：（1） x2-6x7（2） x2+3x+10例题讲解例题讲解例题例题1. 用配方法解下列方程用配方法解下列方程 x2+6x-7=0762 xx：解97962 xx1632x43x7121xx用配方法解一元二次方程的步骤用配方法解一元二次方程的步骤1、 移到方程右边移到方程右边.2、将方程左边配成一个、将方程左边配成一个 式。式。(两边两边都都加上加上 )3、用、用 解出原方程的解。解出原方程的解。 常数项常数项完全平方完全平方一次项系数一半的平方一次项系数一半的平方直接开平方法直接开平方法关于关于x的的完全平方公式：完全平方公式： 试一试：对下列各式进行配方： 22_

6、)(_8xxx2210 _(_)xxx22_)(_5xxx22_)(_23xxx22_(_)xbxx2222)(aaxxax2222)(aaxxax22)(26xxx配方的关配方的关键是在方键是在方程两边同程两边同时添加的时添加的常数项等常数项等于一次项于一次项系数一半系数一半的平方。的平方。 +164+2554252518231694342b2b练习1：解方程282 xx0652 xxxx67210622xx例题讲解例题讲解例题例题2. 用配方法解下列方程用配方法解下列方程 2x2+8x-5=02542 xx：解425442 xx21322x2262x2226222621xx小结：小结：关键

7、是把二次项系数关键是把二次项系数不为不为1的一元二次方程的一元二次方程转化为二次项系数为转化为二次项系数为1的一元二次方程。的一元二次方程。 练习练习2. 用配方法解下列方程用配方法解下列方程1.5x2+2x-5=0 2.3y2-y-2=03.3y2-2y-1=0 4.2x2-x-1=0综合应用综合应用例题例题3. 用配方法解决下列问题用配方法解决下列问题1.用配方法说明：不论用配方法说明：不论k取何实数，多取何实数，多项式项式k23k5的值必定大于零的值必定大于零.2.证明证明:代数式代数式x2+4x+ 5的值不小于的值不小于1. 3.证明证明:代数式代数式-2y2+2y-1的值不大于的值不

8、大于 .21思考：先用配方法解下列方程：思考：先用配方法解下列方程：（1） x22x10 （2） x22x40 （3） x22x10 然后回答下列问题：然后回答下列问题： （1）你在求解过程中遇到什么问题？你）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？是怎样处理所遇到的问题的？ （2）对于形如）对于形如x2pxq0这样的方程，这样的方程，在什么条件下才有实数根？在什么条件下才有实数根？直接开平方法直接开平方法1、若能把方程化为、若能把方程化为(ax+b)2c (c0)的形式，的形式，就可归结为就可归结为用直接开平方法解方程。用直接开平方法解方程。 2.把一元二次方程的左边配成一个

9、把一元二次方程的左边配成一个完全平方完全平方式式,然后用然后用开平方法求解开平方法求解,这种解一元二次方程的这种解一元二次方程的方法叫做方法叫做配方法配方法. 注意注意:配方时配方时, 等式两边同时加上的是一次项等式两边同时加上的是一次项系数系数的平方的平方.配方法配方法例例3、解方程、解方程042x2221xx以上解一元二次方程的方法叫做以上解一元二次方程的方法叫做因式分解法。因式分解法。例题解析例题解析解：解：0)2)(2xx（0202xx或解下列方程解下列方程（1） x2-1000 ； （2）(2x+3)2-250;解:将方程左边分解因式 得 (x-10)(x+10)0 x-10=0,或

10、或x+10=0 x1=10, x2=-10解:将方程左边分解因式 得 (2x-2)(2x+8)02x-2=0,或或2x+8=0 x1=1, x2=-4注意注意: :用用因式分解法因式分解法解一元二次方程时解一元二次方程时, ,先要把方先要把方程化为一般形式程化为一般形式, ,即方程的右边为即方程的右边为0 0. .再把左边分解再把左边分解为几个因式的为几个因式的乘积乘积形式形式 (ax+b)(cx+d)0.解下列方程：解下列方程：（3）3x22x=0； （4）x2- 3x -2.（1）16x20 ； （2）x2- 4x +40;练习练习1.解下列方程（解下列方程（1）x2169；（；（2）45x20；（3）12y2250； （4）x22x0；（5）(t2)(t+1)=4； （6）x(x1)5x0.2. 2.解下列方程：解下列方程：)2(3)2() 1 (2xx22) 1() 12()2(xx02)2()3(2xx4912)4(2 xxyyy39)3(2)5(232)6(2 xx3.小明在解方程小明在解方程x23x时，将方程两边同时除时，将方程两边同时除以以x，得，得x=3，这样做法对吗？为什么？，这样做法对吗？为什么？今天我们学到了今天我们学到了一元一次方程的有关概念一元一次方程的一般形式：ax2bx