第3讲势的定义-可数集合与连续势

1、第3讲 势的定义 -可数集合与连续势 目的：熟悉常见的两类集合的势，掌握其 基本性质。重点与难点：可数集合的性质，连续势的 性质。一可数集合 定义定义 凡是与自然数对等的集称为可数集或可列集，凡与R1对等的集称为具有连续势。可数集性质： 定理定理2 2 任何无穷集都包含一个可数子集。任何无穷集都包含一个可数子集。 证明：假设 是一个无穷集，任取 ，因 无穷，故 亦无穷，因此又可以从 中任取一个元素 ，显然 ，假如已从 中取出 个元素 ，则由 是无穷集知 仍是无穷集，从而可从中取出一个元素 ，由归纳法知可从 中取出互不相同得元素MMMx 1nM1nx1xM1xM 2x12xx MMniix1ni

2、ixM1排成一无穷序列： ，显然 是 的可数子列。证毕。,21nxxx,21nxxxM定理定理3 3 可数集合的无穷子集仍是可数的。可数集合的无穷子集仍是可数的。 证明：假设 是可数集， 是 的无穷子集，由定理2， 含可数子集 ，于是 ，但 ，故 ，从而 也是可数的。证毕。 M2M1MM1MMM2MMM12MM 11M定理定理4 4 设设 是可数集，是可数集， 是有限集或可数是有限集或可数 集，则集，则 可数。可数。 证明：由于 有限或可数，故 有限或可数，所以 可以写成 ，或 ，又因 可数，从而 可以写成 ，将 按如下方法排列：当 时，将 排成 BAABBBAA1iibABAB,21nbbb

3、A1iiaBAniibAB1当 将 排成无论哪种情形， 显然都是可数的。证毕。,2121mnaaabbb1iibAB,2211nnbababaBABA定理定理5 5 有限个或可数个有限集或可数集的有限个或可数个有限集或可数集的 并仍是有限集或可数集。并仍是有限集或可数集。 证明：不妨假设 是一列有限或可数集（有限个集合情形证明相仿）。将 中元素排列成 ，（如果 是有限集，则排列成 ）。于是 表示 中的,21nAAAiAija,21iniiiaaaA iA,21iniiiaaaAiA第 个元素，记 ，则对任意自然数 ，满足 的数组 必为有限个，首先按 从小到大的顺序进行编号，即将 编为对每个 ，

4、将 重新写成 jnjinnjinn),(ji1iiA1iijnjianjiija,1 , 12211nnnaaa即按第一个下标 从小到大的顺序排列，应该注意的是 中可能含一些重复的元素，暂且将重复元素留着，最后将 排成在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的是有限集或可数集。证毕。 i1iiAija,1 , 111211312213211211nnnaaaaaaaaa 如果说 表示正整数， 表示一个有限集与可数集之并的势， 表示 个可数集之并的势， 表示可数个可数集之并的势，则定理5蕴含了下列各式：（1）（2）（3）（4）0C0C00CC 00CC 00CC 000CCC000CCC 定理定理6

5、6 。 证明：记 ，显然 是可数集，故 可数；同理每个 也可数，从而 可数，于是0CQ , 3 , 2 , 1,mnmAn,1,2,3, nmAmn 1nnAnA1()nnA0) )(11nnnnAAQ是可数的，即 。证毕。 定理6告诉我们，尽管有理数全体在数轴上处处稠密，然而，它和自然数集却是对等的，这与我们的直觉是多么不同！0QC 问题问题1 1：可数集合的性质与有限集合的性：可数集合的性质与有限集合的性 质有何异同？其本质差别是什么？质有何异同？其本质差别是什么？ 前面已经看到，可数集是无穷集中势最小者，下面的命题指出，任一无穷集并上一个可数集不影响它的势。 命题命题1 1 假设假设 是

6、无穷集，是无穷集， 是可数集是可数集或有限集，则或有限集，则 。 证明：由 可数或有限知 也可数或有限，且 ，故不妨假设 与 不相交。由定理2知 含可数子集，不妨记为 ，则 仍可数，于是 与 ABAABBBBA()AB AA0AA0AB0AB 对等，又 与自身对等，不妨设 是 与 的1-1对应， 是 到自身的恒等映射，则令 ，易知 是 0A0AB0A0AA0AA00)()()(AAaaAaaa当当)()()(0000AABABAAAAAA与的1-1对应，从而 。证毕。 二无限集的特征 问题问题2:2: 有限集与无限集的本质差别是否也有限集与无限集的本质差别是否也 体现在一般的无限集？这种差别是

7、体现在一般的无限集？这种差别是 否正是无限集的特征？否正是无限集的特征？ABA命题命题2 2 是无穷集当且仅当它可以与其是无穷集当且仅当它可以与其 真子集对等。真子集对等。 证明：先证必要性，若 可数，则结论显然，故不妨设 不是可数集，由定理2， 含可数子集 ，由于 非可数，所以 仍是无穷集，由命题1立知 AAA0AAA0AA000)(AAAAAA即 与其真子集 对等。 为证充分性，我们要证，若 与其真子集对等， 必是无穷集。假若不然， 是有限集，不妨设为 ， 与其真子集对等，记与 对等的真子集为 ， 是 与 之间的1-1对应。则 ，注意0AAAAA12 ,nAa aaAAA120,miiiA

8、a aamnA0()AA0A且因 是一一的，故对不同的 ， 。故 是 中 个不同的元素，于是 。然而 。这说明 。这个矛盾意味着 必是无穷集。证毕。120() (), (),(),miiiAaaa()()kjiiaa, k j()kaAmmA)(0An0()AAA 在例2中，我们已经看到 与 是不对等的，因此 是一个不可数集合，我们也知道 是最小的无穷集，所以 。有一个很有意思的问题，存不存在这样的集合 ，其势位于 与 之间？即 。Cantor首先考虑了这个问题，但他未能解决。他猜测，没有这个中NAC0C1R1RN1RN0CAC间势，这就是著名的连续统假设，严格说来，至今没有人能证明是否存在这

9、种势，但大家普遍承认Cantor的猜测，并将此作为集合论的一条公理。人们已经证明，这条公理与集合论的其它公理是相互独立的，换言之，无论是承认还是否认这条公理，都不会与其它公理发生冲突。 三具有连续势的集合例3 只要ab则 。 令 则 是(a,b)到 的一个1-1对应，故 。显然当 的势均为C。同样 的势也为C。 Cba),()2()(abaxtgx),(Cba),(),(,babababa时),),(aa 定理定理7 7 如果如果 都是势小于或等都是势小于或等 于于 的集合，且其中至少有一个的的集合，且其中至少有一个的 势是势是 ，则，则 的势是的势是 。 证明：不失一般性，假设 ，令 ，则

10、)3 , 2 , 1(iAi1iiACCA 1CC11*1*1)2(,ijjIIiAAAAA1*1*,)(iiiiiijiCACAAAjiAA知由且因此一定存在 的子集 ，使 ， 设 是 与 之间的一个11对应关系，定义 ，当 。易见 便是 和 之间的一个11对应关系，因而 。另一方面iiB), 1ii iiBA *iAiB)()(xxi), 3 , 2 , 1(*iAxiiiiiBA1*1和1iiB1*iiA), 011iiiiBA ，由Bernstein定理知 的势为 。证毕。 定理7实际是说，可数个势不超过 的集合之并，其势也不超过 ，用公式表示就是： 。 AA 1),01iiAACCC

11、CCC0 以上看到的都是直线上的点集，平面内点集的势又有多大呢？我们先来看整个平面 的势。有一点是显然的，即 。问题在于 是大于 还是等于 。我们可以把 看作 ，其中的元素是数组 ，由于 与 有相同的势，故 与 有相同的势，因而只需考察 的势。如果将 与 按适当顺序排成一个新的数，便 CCR2RCR 22R2RRR),(yx 1 , 02R2 1 , 02 1 , 0 xy有可能将 与 的一个子集对等。不妨设 。显然我们可以按下述方式来排列 ，即令 。 到 的这种对应关系是不是一对一的呢？如果 确定，对应的2 1 , 01R321321.0,.0yyyyxxxxzyx,nnyxyxyxz2211.0),(yxnnyyyxxx2121,显然也是唯一确定的，但是，用小数表示一个数，其表示法不一定唯一，比如1也可以表示成 ，因此，这里要作一个规定，即不允许出现只有有限个数字非零的情况，在这种规定下