第3章 行列式

1、第三章第三章 行列式行列式3.1 行列式的定义行列式的定义3.2 行列式的性质及应用行列式的性质及应用3.3 克莱姆（克莱姆（Cramer）法则）法则3.4 行列式的计算行列式的计算 3.5 应用实例应用实例 3.6 习题习题3.1 行列式的定义行列式的定义3.1.1 二、三阶行列式的定义二、三阶行列式的定义引入记号： ，称它为二阶行列式二阶行列式其值规定为： 22211211aaaa2112221122211211aaaaaaaa把 的连线称为二阶行列式的主对角线，把 的连线称为二阶行列式的副对角线，那么二阶行列式的值就等于主对角线上元素二阶行列式的值就等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上

2、元素的乘积的乘积减去副对角线上元素的乘积。例例3.2 在平面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的坐标分别为： 、 ，如图3.1所示，求平行四边形OACB的面积。2211, aa2112, aa11,ba22,ba图3.1 二阶行列式等价于平行四边形面积解：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过点B做平行x轴直线与过点C做平行y轴直线相交于点D。显然可以得到三角形CDB和三角形AEO全等，则有： （3-2） 1221babaSSSSSSSAEDCOEDBAEDCAEOCDBOEDBOACB根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面积刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列式：例例3.3 求下面三元线性

3、方程组的解：2211baba333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa解：利用消元法可以得到： （3-3）当 之前的系数不为零时，可以解出 的值但这个结果很难记忆，为此引进三阶行列式的定义，我们称：是一个三阶行列式三阶行列式 1322311332112312213322113312312332211xaaaaaaaaaaaaaaaaaa322313321232213322133231233221aabababaaababaaaab1x1x333231232221131211aaaaaaaaa其值规定为： （3-4）图3.2给出了它的图

4、示计算规则（称为沙路沙路法法）。图3.2 三阶行列式的计算规则322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa有了三阶行列式的定义，我们可以把式（3-3）写为：当方程组（3-2）的系数行列式 时，可以得到它的解。 3332323222131211333231232221131211aabaabaabxaaaaaaaaa0333231232221131211aaaaaaaaaD3.1.2 n阶行列式的定义把三阶行列式定义式（3-4）改写为如下形式：则有： （3-5） 31223221

5、1331233321123223332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa定义定义3.1 在n阶行列式中，划去元素 所在的第i行和第j列元素后，余下的元素按原来次序构成的n-1阶行列式，称为元素 的余子式余子式记作 ，称为元素 的代数余子式代数余子式。根据定义3.1，可以把式（3-5）变为：jiajiajiMjia131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaa

6、aa定义定义3.2 由 个数组成的 阶行列式 是一个算式，当 时， ；当 时， （3-6）2nnnnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111n11aD 2nnkkknnAaAaAaAaD11111121211113.1.3 行列式定义的进一步讨论行列式定义的进一步讨论 定义定义3.3 由n个自然数1、2、3、n组成的一个有序数组，称为一个n元排列元排列。例如，1 2 3、132、213、231、312、321都是3元排列。 在n元排列的n！个排列中，123n是唯一一个按从小到大排列的n元排列，称为标准排列标准排列（或自然排列自然排列）定义定义3.4 一个排列中任两个数，如果排在前

7、面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个逆序逆序。一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数逆序数。排列的逆序数记为例如，五元排列25341，1和2、5、3、4有四个逆序，4和5有一个逆序，3和5有一个逆序，则排列25341的逆序数为4116。niii,21定义定义3.5 （行列式的另一种定义方法）（行列式的另一种定义方法）：由 个数组成的 阶行列式： (3-7) 其中 是一个n元排列， 表示对所有n元排列（n！个）求和。 2nnnnnpppnppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaa212121212122221112111nppp21nppp21例例3.4 写出四阶行列式中含有

8、的项。解：四阶行列式共有24项，其中含有 的项 为： ，我们只要分析列标排列 1x2y的各种情况，显然有1324和1423两种情况，1324逆序数为1，1423逆序数为2，则四阶行列式中含有 的项为： 和 。3211aa3211aayxaaaa4322113211aa44322311aaaa43322411aaaa3.1.4 矩阵与行列式的关系矩阵与行列式的关系 矩阵是一个数表，而行列式是一个算式，即它是一个值。在比较两个矩阵是否相等时，不仅要求两个矩阵同型，而且要求两个矩阵所有对应元素相等。 而两个行列式是否相等，只需分析其值是否相等。 矩阵是由一对方括号（或圆括号）括起，而行列式是由一对竖

9、线括起。 矩阵的行数和列数不做任何限制，而行列式的行数与列数必须相等。当讨论的矩阵A是方阵时，把A的一对方括号去掉，加上一对竖线，就变成了行列式，我们把这个行列式称为方阵方阵A的行列式的行列式，记作： 或 。 A det A例例3.5 证明n阶下三角矩阵 的行列式 。证明：用数学归纳法证明，当 、 时，结论显然成立。 假设结论对 阶下三角行列式成立，则由定义3.2得： nnnnaaaaaa21222111nAnnaaa2211detnA1n2n1n右端行列式是 阶下三角行列式，根据归纳假设得：同理可证，n阶对角矩阵的行列式（也称n阶对角行列式） 1nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa3

10、23332221111212221111detnAnnaaa2211detnAnnnnaaaaaa221122113.1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 定理定理3.1 n阶行列式阶行列式D等于它的任一行（列）等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：即：或：nkikikininiiiiAaAaAaAaD12211ni, 2 , 1nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAaD12211nj, 2 , 1例例3.6 计算行列式解：此行列式第3列只有一个非零元素，故应把行列式按第三列展开。得到的三阶行列式中的第3列又只有一个非

11、零元素，再得：0011153200236012D 1501213301123165011023612153133D3.2 行列式的性质及应用行列式的性质及应用3.2.1 行列式的性质行列式的性质 性质性质1 行列式 与它的转置行列式 相等。行列式的转置和矩阵的转置概念相同。 如：DTD862540321853642201T性质性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。如：推论推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。推论推论2 n阶行列式D的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：nkjkikjninjijiAaAaAaAa122110ji 或

12、：例例3.7 已知四阶行列式 ，求 ，（其中 为行列式D的代数余子式）。解：可以先求出行列式D的第四行各元素的代数余子式，然后再进一步求得题目的答案。也可以利用代数余子式的性质来分析此题。 012211nkkjkinjnijijiAaAaAaAaji 44434241432AAAAijA构造行列式 ，行列式 按第四行的展开式，刚好就是 1D44434241432AAAA432102000061201021 D 9661202124200061210214334434展按展按rc性质性质3 用数k乘以行列式D，等于D中某一行（列）的所有元素同乘以数k。如下等式中，把数3乘到了行列式的第二列中：推

13、论推论1 行列式某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 推论推论2 如果行列式的任意两行（列）对应元素成比例，则行列式为零。下列行列式的第一行和第三行所有对应元素成比例，故知：性质性质4 行列式可以按某一行（列）拆分成两个行列式之和。00197129153672286102具体拆分方法用4阶行列式说明如下：性质性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式值不变。如：3.2.2 方阵行列式的性质方阵行列式的性质 设A、B为n阶方阵，k是数，根据行列式的性质可以得到方阵的行列式有如下性质：（1） （2） （3） （4） （5） AATAAn

14、kkBAAB kkA= A11 AA3.2.3 方阵可逆的充要条件方阵可逆的充要条件 定义定义3.6 设矩阵 ,且 的代数余子式为 ，则称矩 为 的伴伴随矩阵随矩阵。记为 ，或 。 ijaijAAadj(A)*A伴随矩阵的重要性质伴随矩阵的重要性质：定理定理3.2 n阶方阵阶方阵 为可逆矩阵的充要条件为可逆矩阵的充要条件是是 。当。当 可逆时，可逆时， 。证：充分性，当 时，知 故结论成立；必要性， 设 可逆，有 ，两边同取行列式 ，故A adj(A)adj(A) AA IA0AA11Aadj(A)A0A11Aadj(A)adj(A) AIAAA1AAI11A AI0A推论推论 若若 和和 为

15、同阶方阵，且满足为同阶方阵，且满足 ， 则则 ，即矩阵，即矩阵 和矩阵和矩阵 互逆。互逆。例例3.8 判断三阶方阵 ，是否可逆；若可逆，求解：因为 ，所以 可逆。 中各元素的代数余子式分别为AABBAB = IBA = I1228206638A1AAA411A5612A1213A2421A4822A823A631A2032A1833A1280A则：例例3.9 设 为n阶可逆方阵，证明（1） 也是可逆矩阵且 （2）证证：（1）因为矩阵 为可逆方阵，则 又根据伴随矩阵的性质142461156482012812818Aadj(A)Aadj(A)11adj(A)AA1nadj(A)AA0AA adj(

16、A) = adj(A) A = A I知 ，故 是可逆矩阵且（2）对等式 两边取行列式，有又因为矩阵 为可逆方阵，则故有 AAadj(A)adj(A)IAAadj(A)11adj(A)AAA adj(A)A InnAOA adj(A)A IAIAOAA0A1nadj(A)A3.3 克莱姆（克莱姆（Cramer）法则）法则讨论用行列式来求解含有n个方程n个变量的线性方程组 （3-7）方程组（3-7）也可以写成矩阵形式： （3-8） nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111Axb其中：行列式 ，称为方程组（3-7）的系数行系数行列式列式

17、。定理定理3.3（克莱姆法则）（克莱姆法则） 若方程组（若方程组（3-7）的）的系数行列式系数行列式 ，则该方程组有唯一解：，则该方程组有唯一解： ， ， ， （3-9） 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaAnbbb21bnxxx21xD A0DDDx11DDx22DDxnn其中 是把 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即： 第 列定理定理3.3的逆否定理为：如果线性方程组（的逆否定理为：如果线性方程组（3-7）无解或有超过一个以上的解，则它的系数）无解或有超过一个以上的解，则它的系数行列式必为零。行列式必为零。njDj, 2, 1Djj把常数项全

18、为零的线性方程组 称为齐次线性方程组齐次线性方程组；把常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组。推论推论1 对于对于nn齐次线性方程组齐次线性方程组 ，当，当系数行列式系数行列式 时时， 只有一个零解只有一个零解。推论推论2 若若nn齐次线性方程组齐次线性方程组 ，有，有非零解，则必有非零解，则必有 。0Ax bAx 0Ax 0A0Ax 0Ax 0A例例3.10 已知齐次线性方程组有非零解，问 应取何值？解：根据推论2，知方程组系数行列式必为零，故有： 得： 或 0)1 (2202)2(4024)2(321321121xxxxxxxxx322020104221222420

19、24221222242422332ccrrD2r按展开2( 2)( 3)20220-+7273.4 行列式的计算行列式的计算 3.4.1 行列式的笔算技巧行列式的笔算技巧 主要的方法是把矩阵变换为行阶梯形（三角形），然后计算其主对角线元素的连乘积；其次是充分利用含零元素较多的行或列进行展开；其他还有加边法、公式法、递推法、数学归纳法等等。 例例3.12 计算四阶行列式解：利用行列式性质把行列式化为三角行列式（性质法、三角化法）42111223921656281066D420062000361042116) 1(420024166036104211696281066122392165642112

20、3214131241rrrrrrrrrrrD683400042003610421110620004200361042113443rrrr例例3.13 证明：证：利用行列式性质及行列式按列展开（性质法、展开法） 3424231413123433323124232221432141111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD14241323122214413312214131211221331434333231242322214321400011111111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaararrarraraaaaaaaaaaaaD242322432141312111a

21、aaaaaaaaaaa并提取公因子按第一列展开此例中的四阶行列式，称为四阶范德蒙范德蒙（Vander Monde）行列式行列式, n阶范德蒙行列式为： 234233242314131212222300111aaaaaaaaaaaaaaaararrar43242314131211aaaaaaaaaaaa并提取公因子按第一列展开342423141312aaaaaaaaaaaanijjinnnnnnaaaaaaaaaaa1112112222121111例例3.14 计算n阶行列式（空白处都为零） ：解：其中只有n个非0元素，这n个元素之积正是行列式唯一的非零项，再由列下标全排列（n-1,n-2,2,

22、1,n）的逆序数确定该项的正负。 nnDn121!12)2)(1(nDnnn例例3.15 计算5阶行列式：解：由分块矩阵行列式公式：则得 000109000876540003200001005DBAOBAOnmnnmm136109876540320011235D例例3.16 计算5阶行列式：解：该行列式称为三对角行列式，通常可以用递推法来求解 41000341000341000341000345D345344100341003410003410034100341003441DDDc展开按512323234453333DDDDDDDD5432543545333333DDDD36433335432

23、1 D例例3.17 设 ， 均为n阶方阵，求：解：由于 ， 则有： A B3A5BAAnkkBAAB 1n* AAAAT1n21nnTnT353*3*3BABABAT*3A例例3.18 设矩阵 ， 矩阵 满足： ，其中 为单位矩阵， 是 的伴随矩阵，求 。解：由于 ，则存在 ，且有 即有：两边取行列式，有：而 则 101210021ABBAIBAA34*I*AAB03 A1AIAAA*ABIB343IBAI433343BAIAI40012000202716B例例3.19 设 ， 为三阶方阵且 ， ，求 。解：根据分块矩阵的乘法概念，有：则 ),(321aaaAA5A),2,3(133221aa

24、aaaaBB),2,3(133221aaaaaaB),(321aaa12001310125)5(5120013101A3.4.2 用用MATLAB计算行列式计算行列式考虑的问题主要是计算速度和计算精度问题一初等矩阵的行列式一初等矩阵的行列式对于第一类初等矩阵E1，即行交换变换，它的行列式等于-1。 det(E1)=-1 (3-11) 对于第二类初等矩阵E2，即行数乘变换，它的行列式等于k。 det(E2)=k (3-12）对于第三类初等矩阵E3，即行的乘加变换，它的行列式仍等于1。det(E3)=1 (3-13） 二把方阵变换为上三角矩阵二把方阵变换为上三角矩阵LU分解分解如果不考虑出现基准元

25、素为零或很小的情况时，连第一类初等变换都用不到。这样，通过N=(n-1)2/2次使用第三类初等矩阵E3，就可以把主对角线左下方的N个元素全变为零。写成 (3-14） 其中U是一个上三角矩阵，所有的E3矩阵也是上三角矩阵。 Nii=1E3A = U由于初等变换矩阵都是可逆的，其乘积也是可逆的，设其逆矩阵为L，它应该是一个下三角矩阵，于是此式可写成 (3-15）这种把矩阵A通过第三种初等矩阵左乘分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵乘积的变换称为LU变换变换。 其中下三角矩阵L的行列式为1，因而上三角矩阵的行列式就等于原矩阵的行列式，即 det(A)= det(L)*det(U)= det(U)A

26、= L*U在实际工程中为了保证计算结果的精度，计算软件在做行阶梯变换时还是要把基准元素取为每列的绝对值最大项，所以还是使用了行交换变换。因为其行列式等于-1，每多一次交换，就改变一次符号。它并不影响行列式的绝对值，但影响其正负号。另外在(3-14）式左端的连乘积中，多了若干个交换矩阵。会使得最后的下三角矩阵L不那末标准，各行有些颠倒，常常称之为准下三准下三角矩阵角矩阵。 MATLAB提供了矩阵的三角分解函数lu.m，其调用格式为： L,U=lu(A) 它返回的结果就是一个准下三角矩阵L和一个上三角矩阵U。因为这个函数并不专为行列式计算之用，有一定的普遍性，所以它不限定A为方阵。另一种调用格式能

27、同时给出真正的下三角矩阵L和交换矩阵P,其形式为： L,U,P = lu(A) 此时，它满足 P*A = L*U （3-16）三求出上三角方阵的行列式三求出上三角方阵的行列式 由(3-15）式知道，det(U)决定了det(A)的绝对值。因U是一个上三角矩阵，它的行列式为其对角元素的连乘积。 在不计正负号的时候，可以写出：用MATLAB语句表示为 D=prod(diag(U)niii=1A = det(U ) =u在必须知道行列式的正负号时，必须知道lu分解过程中进行了多少次交换，每一次交换就改变一次正负号。lu子程序没有给出这个数据，所以解决不了问题。其实MATLAB已经把上述过程集成在一起

28、，给出了直接计算方阵行列式的函数det.m其调用格式为： D=det(A) 这个函数要求输入变元必须是方阵 3.5 应用实例应用实例 3.5.1 用用LU分解计算行列式分解计算行列式 例例3.14 用化简为三角矩阵的方法求下列矩阵的行列式解：列出程序： A10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1;L,Ulu(A), % 分解为上三角矩阵U和准下三角矩阵LdU diag(U); % 取上三角矩阵U主对角线上元素向量 10 8 6 4 12 5 8 9 46 0 9 9 85 8 7 4 09 4 2 9 1ADprod(dU)% 求主对

29、角元素的连乘积程序运行的结果如下：dU 104.8 10.6259.4824 1.2349 D 5.9720e003 5972 1.0000 0 0 0 0 0.2000 0.7083 1.0000 0 0= 0.6000 1.0000 0 0 0 0.5000 0.8333 0.8000 0.2953 1.000L0 0.9000 0.6667 0.6588 1.0000 0 10.00008.0000 6.0000 4.0000 1.0000 0 4.8000 5.4000 6.6000 7.4000 0 0 10.6250 12.8750 9.0417 0 0 0 9.4824 1.12

30、35 U 0 0 0 0 1.23493.5.2 行列式奇异性对计算精度的影响行列式奇异性对计算精度的影响例例3.15 设线性方程组 中， 是一个6阶的hilbert矩阵，就是说它的下标为(i,j)的元素值为1/(i+j-1)，系数A,b1及其增量b2=b1+b如下：计算解x1,x2，分析两个解的差与系数差之间的关系。 Ax = bA 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/4 1/5 1/6 1/7 1/A112211,8 1/9 1.7321.7321 1/5 1/6 1/7 1/8 1

31、/9 1/10 11 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 22b1b2解解：用MATLAB写出程序ea344如下：A=hilb(6),b1=1;2;1;1.732;1;2; b2=1;2;1;1.7321;1;2;x1=inv(A)*b1, x2= inv(A)*b2dx=x2-x1, db=b2-b1程序运行的结果为：66-0.0089-0.0089-0.750 0.2530 0.2530 210-1.7050-1.7051 -141010 ,10 , 4.4253 4.4257 3630.0001-4.8785-4.8789 -397 1.9208 1.9209 155x1

32、x2dxdb00由于系数b的万分之一的变化，引起解x的误差dx最大可达近400。主要因为行列式D=det(A)很接近于零。本题中的矩阵系数是hilbert矩阵，它的主要特点就是行列式很接近于零。这样的矩阵方程，我们就称之为病态的，或很接近于奇异的，对它的解是否正确，要保持一定的怀疑。为了定量地分析解的误差和可信度，应该用相对误差做标准。b的相对误差是x的相对误差是 db/ bdx/ x两者之间是以条件数(Condition Number)相关联的，条件数与行列式有关，它随着行列式的减小而减小： （3-17）例例3.16 设 ，求其逆阵V解：输入A的数据后，键入Vinv(A)，程序为：A=-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9, V=inv(A)15()() 10condconddx/ xAdb/ bA16 4 615 3 918 0 9A1A运行后得到警告信息：Warning: Matrix is close to singular or badly scaledResults may be inaccurate. RCOND 6.042030e018.det(A)=0，故它是一个奇异矩阵，其逆不存在。在用数值方法求矩阵的逆时，由于计算 中存在方法和截断误差，故矩阵是否奇异，结果不是绝对的。为了评价矩阵接近“奇异